浙江省十校联盟2023届高三数学上学期10月联考试题（Word版含解析）

2022年10月浙江省十校联考（解析）一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则()A.B.C.D.2.已知复数(为虚数单位),则()A.B.C.D.3.展开式中的项的系数为()A.15B.20C.30D.354.源于探索外太空的渴望,航天事业在21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件,宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中,宇航员们负责的科学实验要经过5道程序,其中两道程序既不能放在最前,也不能放在最后,则该实验不同程序的顺序安排共有()A.18种B.36种C.72种D.108种5.设平面向量均为单位向量,则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.同时具有以下性质:“①最小正周期是;②在区间上是增函数”的一个函数是()A.B.7.已知定义在R上的函数满足.若函数与的图 象的交点为,则()A.5B.10C.15D.208:在△OAB中,OA＝AB,∠OAB＝120°.若空间点P满足,则直线OP与平面OAB所成角的正切的最大值是()A.B.C.D.1二、多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的的0分.9.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下,下列说法正确的是()A.若甲、乙两组数据的平均数分别为,则B.若甲、乙两组数据的方差分别为,则C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差D.甲成绩比乙成绩稳定【答案】AD10：某车间加工同一型号零件,第一、二台车床加工的零件分别占总数的,各自产品中的次品率分别为.记“任取一个零件为第台车床加工"为事件任取一个零件是次品"为事件,则()11.如图，已知正四棱台的上下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，且该球的表面积为，则侧棱长为（）A.B.C.D. 12.已知，，且，则（）A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若,则__________.14.台风中心从地以的速度向东北方向移动,离台风中心内的地区为危险区,城市在地正东处,求城市处于危险区内的持续时间为__________h15.已知双曲线恰好满足下列条件中的两个：①过点;②渐近线方程为；③离心率.则双曲线的方程为_________.16.若对任意都有（其中为自然对数的底数）恒成立,则实数的最小值为为________________.四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.已知的三个内角,,的对边分别为,,,．(1)若,求的大小；(2)若不是钝角三角形,且,求的面积取值范围．18.已知数列的前项和为,,(1)证明：数列为等比数列；(2)设,记数列的前项和为,,证明：19.现将某校高三年级不同分数段（满分150分)的学生对数学感兴趣程度进行调查(只有感兴趣和不感兴趣两个选项且每人必须选择其中一项),随机抽调了50人,各分数段频数(单位:人)及对数学感兴趣人数如下表:成绩 频数510151055感兴趣人数135745(1)根据以上统计数据完成下面的列联表,并判断能否有的把握认为“该校高三学生对数学的兴趣程度与成绩110分为分界点有关”?成绩低于110分成绩不低于110分合计感兴趣不感兴趣合计(2)若在成绩为分数段并且对数学感兴趣的人中随机选取4人,求成绩来自这一分数段人数的分布列及数学期望.附:.20.在斜三棱柱中,.(1)证明:在底面上的射影是线段中点;(2)求平面与平面夹角的余弦值.21.如图,已知拋物线的焦点,且经过点.(1)求和的值; (2)点在上,且.过点作为垂足,证明:存在定点,使得为定值.22.已知函数与有相同的最大值（其中为自然对数的底数）.(1)求实数的值;(2)证明:,都有;(3)若直线与曲线有两个不同的交点,求证:2022年10月浙江省十校联考（解析）一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】：故选A2.已知复数(为虚数单位),则()A.B.C.D.【答案】D【解析】：故选D 3.展开式中的项的系数为()A.15B.20C.30D.35【答案】C【解析】：∵展开式中含的项为,∴的系数为30.故选C4.源于探索外太空的渴望,航天事业在21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件,宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中,宇航员们负责的科学实验要经过5道程序,其中两道程序既不能放在最前,也不能放在最后,则该实验不同程序的顺序安排共有()A.18种B.36种C.72种D.108种【答案】B【解析】：5道程序,对应5个位置.先放A,B,中间三个位置任选,有种,再安排其余3道程序,有种,则共有种安排.故选B.5.设平面向量均为单位向量,则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】：⇔⇔⇔.故选C.6.同时具有以下性质:“①最小正周期是;②在区间上是增函数”的一个函数是() A.B.C.D.【答案】B【解析】：A项:,A不正确;B项:,且时,,此时在上单调递增,B正确;C项:,且时,,而在上递减,C不正确;D项:,且时,,当时,,单调递增,当时,,单调递减,∴在上先增后减,D不正确.故选B.7.已知定义在R上的函数满足.若函数与的图象的交点为,则()A.5B.10C.15D.20【答案】A【解析】：∵,则,∴关于(0,1)中心对称.又 也关于(0,1)中心对称,则两函数的图象的交点关于(0,1)中心对称,故,,所以.故选A8:在△OAB中,OA＝AB,∠OAB＝120°.若空间点P满足,则直线OP与平面OAB所成角的正切的最大值是()A.B.C.D.1【答案】C【解析】：不妨取OA＝AB＝2,因为,则,∴,即点P在以AB为轴的圆柱面上,如图,当OP与圆柱面相切时,所成角最大,此时.故选C二、多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的的0分.9.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下,下列说法正确的是()A.若甲、乙两组数据的平均数分别为,则B.若甲、乙两组数据的方差分别为,则C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差D.甲成绩比乙成绩稳定【答案】AD【解析】：由折线图可知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都高于乙同学,∴,故A正确； 由折线图的变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,∴,故选项B错误,D正确；极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故C错误.故选AD.10：某车间加工同一型号零件,第一、二台车床加工的零件分别占总数的,各自产品中的次品率分别为.记“任取一个零件为第台车床加工"为事件任取一个零件是次品"为事件,则()A.B.C.D.【答案】BCD【解析】：依题意,,故C正确；,所以,故A错误；,∴,故B正确；,故正确.故选BCD.11.如图，已知正四棱台的上下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，且该球的表面积为，则侧棱长为（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】由已知得，经过的小圆的直径为，设圆心为，经过 的小圆的直径为，设圆心为，球心为，则，球的半径为，∴,①如图1，若平面与平面居于圆心的两侧，则，；②如图2，若平面与平面居于圆心的同侧，则，.故选AD.12.已知，，且，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】对于A，，当且仅当时等号成立；对于B，由于，∴，∴，故B错误；对于C，，，而在上单调递减，∴，故C正确；对于D，，∵当时，，∴，故D正确.综上：选ACD三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若,则__________.【答案】:【解析】：.故填： 14.台风中心从地以的速度向东北方向移动,离台风中心内的地区为危险区,城市在地正东处,求城市处于危险区内的持续时间为__________h【答案】:【解析】：建系如图,则台风路径方程为,,影响半径,则台风中心进过弦时B在危险区,由弦长公式得,从而影响时间为故填：115.已知双曲线恰好满足下列条件中的两个：①过点;②渐近线方程为；③离心率.则双曲线的方程为_________.【答案】：.【解析】：若满足条件③,则双曲线为等轴双曲线,等轴双曲线渐近线方程为,不满足条件②,此时点在渐近线上方,不符合题意,故双曲线恰好满足的条件为①②.由双曲线渐近线方程为可设双曲线C方程为：,把点代入解得,故双曲线C方程为：，故填.16.若对任意都有（其中为自然对数的底数）恒成立,则实数的最小值为为________________.【答案】：.【解析】：可变形为,令,则原不等式变形为：时，恒成立，在上单调递增,∴恒成立对两边取对数得,即恒成立 令,由知在上单调递增；在上单调递减,故,所以.故填：四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.已知的三个内角,,的对边分别为,,,．(1)若,求的大小；(2)若不是钝角三角形,且,求的面积取值范围．【解析】：(1)由题意得,,因为,所以,化简得,因为,所以,即,代入上式可得,化简得,解得,∵,∴．(2)由(1)得,,∵不是钝角三角形,∴,代入上式得,∴,即,∴,根据正弦定理可得,∵,,∴,,∵,∴,又∵,则,∴的面积取值范围为．18.已知数列的前项和为,,(1)证明：数列为等比数列；(2)设,记数列的前项和为,,证明： 【解析】：(1)∵,∴,∴,故数列为等比数列,公比为2.（2）由(1)可知,∴,于是,19.现将某校高三年级不同分数段（满分150分)的学生对数学感兴趣程度进行调查(只有感兴趣和不感兴趣两个选项且每人必须选择其中一项),随机抽调了50人,各分数段频数(单位:人)及对数学感兴趣人数如下表:成绩频数510151055感兴趣人数135745(1)根据以上统计数据完成下面的列联表,并判断能否有的把握认为“该校高三学生对数学的兴趣程度与成绩110分为分界点有关”?成绩低于110分成绩不低于110分合计感兴趣不感兴趣合计(2)若在成绩为分数段并且对数学感兴趣的人中随机选取4人,求成绩来自这一分数段人数的分布列及数学期望.附:. 【解析】：（1)成绩低于110分成绩超过(包含)110分合计感兴趣91625不感兴趣21425合计302050因此有的把握认为“该校高三学生对数学的兴趣程度与成绩110分为分界点有关”.(2)根据题意知,,所以的分布列为:0123数学期望为:.20.在斜三棱柱中,.(1)证明:在底面上的射影是线段中点;(2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】：(1)证明:取线段中点,连.为中点,.又已知,,得平面.则在Rt中,,则.在中,,则.在Rt中,,则.在中,,则又,得平面.(2)以点为坐标原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系如图.则，.设平面的法向量则,即,取得.取平面的法向量.记平面与平面夹角为,则.21.如图,已知拋物线的焦点,且经过点.(1)求和的值;(2)点在上,且.过点作为垂足,证明:存在定点,使得为定值. 【解析】：(1)由题意得,解得.(2)抛物线.设直线.联立,得.∵，∴，得,即即,即.当时,直线,则直线过点,舍去.当时,直线,则直线过定点.在以为直径的圆上.存在的中点,使得.22.已知函数与有相同的最大值（其中为自然对数的底数）.(1)求实数的值;(2)证明:,都有; (3)若直线与曲线有两个不同的交点,求证:【解析】：(1)∵,∴当时有最大值为，，∴在递增,递减,∴，∴.(2)由于,记,等价于证明:∵，，∴在上单调递减，∴，∴在上单调递增，∴.(3)由(2)可知.记直线与曲线的两个交点的横坐标为（），则,不妨设，由题意可知，，又,所以，∵在递增，∴，同理可得，于是， 而是方程即的两个根;所以，∴