广东省七校联合体2022届高三数学上学期第一次联考试卷文含解析

2022-2022学年广东省七校联合体高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（3i﹣1）i的共轭复数是()A．﹣3+iB．﹣3﹣iC．3+iD．3﹣i2．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=()A．（1，2）B．（1，2]C．C．D．9．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()A．x2﹣=1B．x2﹣y2=15C．﹣y2=1D．﹣=1-15-\n10．函数y=﹣的最大值是()A．1B．3C．D．2﹣5二、填空题（共3小题，每小题3分，满分13分）11．函数y=（2x﹣1）3的图象在（0，﹣1）处的切线的斜率是__________．12．如图是一个算法的流程图，则最后输出的S是__________．13．由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为__________．【坐标系与参数方程选做题】14．设曲线C的参数方程为（θ是参数，a＞0），直线l的极坐标方程为3ρcosθ+4ρsinθ=5，若曲线C与直线l只有一个公共点，则实数a的值是__________．-15-\n【几何证明选讲选做题】15．如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于__________．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．设函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间．17．某数学老师对本校2022届高三学生的高考数学成绩按1：200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：分数段（分）总计频数b频率a0.25（1）求表中a，b的值及分数在内为及格）．（2）从成绩大于等于110分的学生中随机选两人，求这两人成绩的平均分不小于130分的概率．-15-\n18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．（1）求证：AP∥平面MBD；（2）若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．19．（14分）已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上是否存在点Q，使得△MNQ的面积？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（14分）已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2﹣2nx+bn=0（n∈N*）的两实根，且a1=1．（1）求证：数列是等比数列；（2）设Sn是数列{an}的前n项和，求Sn；（3）问是否存在常数λ，使得bn＞λSn对∀n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．-15-\n21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．（I）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2有＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．2022-2022学年广东省七校联合体高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（3i﹣1）i的共轭复数是()A．﹣3+iB．﹣3﹣iC．3+iD．3﹣i考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：先化简复数（3i﹣1）i，再根据共轭复数的定义求出其共轭复数．解答：解：∵复数（3i﹣1）i=﹣3﹣i，∴复数（3i﹣1）i的共轭复数是﹣3+i，故选A．点评：本题考查两个复数的乘法法则，以及共轭复数的定义．2．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=()-15-\nA．（1，2）B．（1，2]C．点评：此题考查了三角形的面积公式，熟练掌握三角形面积公式是解本题的关键．8．如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为()A．B．C．D．考点：几何概型．分析：本题考查几何概型的计算．几何概型的解题关键是求出两个区间的长度（面积或体积），然后再利用几何概型的概率计算公式求解．解答：解：因为大正方形的面积是34，所以大正方形的边长是，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4．所以小花朵落在小正方形内的概率为．故选：B．点评：本题考查几何概型的计算．几何概型的解题关键是求出两个区间的长度（面积或体积），然后再利用几何概型的概率计算公式求小花朵落在小正方形内的概率，关键是求出小正方形的面积和大正方形的面积．-15-\n9．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()A．x2﹣=1B．x2﹣y2=15C．﹣y2=1D．﹣=1考点：双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，建立方程组，求出几何量，即可求得双曲线的标准方程．解答：解：抛线线y2=4x的焦点（，0）∴c2=a2+b2=10，e==．∴a=3，b=1，∴该双曲线的方程为．故选C．点评：本题考查抛物线的性质，考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．10．函数y=﹣的最大值是()A．1B．3C．D．2﹣5-15-\n考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：化简y=﹣=﹣，令（x+2）2=t，（t≥0）；从而可得故y=﹣=，从而确定最值．解答：解：y=﹣=﹣，令（x+2）2=t，（t≥0）；故y=﹣=，故易知当t=0时有最大值1，故选A．点评：本题考查了函数表达式的化简与最值的求法．二、填空题（共3小题，每小题3分，满分13分）11．函数y=（2x﹣1）3的图象在（0，﹣1）处的切线的斜率是6．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求得函数的导数，由导数的几何意义，将x=0代入即可得到所求切线的斜率．解答：解：函数y=（2x﹣1）3的导数为y′=6（2x﹣1）2，即有图象在（0，﹣1）处的切线的斜率是6×（﹣1）2=6．故答案为：6．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，理解导数的几何意义和正确求导是解题的关键．12．如图是一个算法的流程图，则最后输出的S是﹣9．-15-\n考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=7时不满足条件n≤6，退出循环，输出S的值为﹣9．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=1满足条件n≤6，S=﹣1，n=3满足条件n≤6，S=﹣4，n=5满足条件n≤6，S=﹣9，n=7不满足条件n≤6，退出循环，输出S的值为﹣9．故答案为：﹣9．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基础题．13．由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为．考点：圆的切线方程；直线和圆的方程的应用．分析：从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．解答：解：从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，-15-\n显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．圆心到直线的距离为：．切线长的最小值为：，故答案为：点评：本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，考查转化的数学思想，是基础题．【坐标系与参数方程选做题】14．设曲线C的参数方程为（θ是参数，a＞0），直线l的极坐标方程为3ρcosθ+4ρsinθ=5，若曲线C与直线l只有一个公共点，则实数a的值是7．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C的参数方程为（θ是参数，a＞0），利用sin2θ+cos2θ=1化为（x﹣a）2+（y﹣1）2=16．直线l的极坐标方程为3ρcosθ+4ρsinθ=5，利用化为3x+4y﹣5=0．由于曲线C与直线l只有一个公共点，可得直线与圆相切，因此圆心到直线l的距离d=r，a＞0，解出即可．解答：解：曲线C的参数方程为（θ是参数，a＞0），化为（x﹣a）2+（y﹣1）2=16．直线l的极坐标方程为3ρcosθ+4ρsinθ=5，化为3x+4y﹣5=0．∵曲线C与直线l只有一个公共点，∴直线与圆相切，∴圆心到直线l的距离d==r=4，a＞0，解得a=7．故答案为：7．点评：本题考查了把参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．-15-\n【几何证明选讲选做题】15．如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于5．考点：直角三角形的射影定理．专题：计算题；压轴题．分析：先利用AB为圆的直径，判断出△ABC为直角三角形，进而利用射影定理求得AD，最后根据AB=AD+BD求得AB，则圆的半径可求．解答：解：AB为圆的直径，∴∠ACB=90°在Rt△ABC中由射影定理可知CD2=BD×AD，∴16=8×AD，∴AD=2，∴半径==5故答案为：5点评：本题主要考查了直角三角形中射影定理的应用．应熟练掌握射影定理中的公式及变形公式．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．设函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由二倍角公式化简可得解析式f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由三角函数的周期性及其求法即可求值．-15-\n（2）由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可解得：x∈（k∈Z）解答：解：（1）∵f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）=sin2x﹣1﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1．∴T==π．（2）由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可解得f（x）的单调递减区间．点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象与性质，属于基础题．17．某数学老师对本校2022届高三学生的高考数学成绩按1：200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：分数段（分）总计频数b频率a0.25（1）求表中a，b的值及分数在内为及格）．（2）从成绩大于等于110分的学生中随机选两人，求这两人成绩的平均分不小于130分的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布表；茎叶图．专题：计算题；概率与统计．-15-\n分析：（1）结合频率分布表与茎叶图给出的数据，先求a、b的值，再根据频率和为1，求分数在范围内的频率为=0.25，所以分数在∵．故数列是首项为，公比为﹣1的等比数列．（2）由（1）得，即∴=．（3）由（2）得要使bn＞λSn，对∀n∈N*都成立，即（*）①当n为正奇数时，由（*）式得：即∵2n+1﹣1＞0，∴对任意正奇数n都成立，故为奇数）的最小值为1．∴λ＜1．（13分）②当n为正偶数时，由（*）式得：，即∵2n﹣1＞0，∴对任意正偶数n都成立，故为偶数）的最小值为．-15-\n∴．综上所述得，存在常数λ，使得bn＞λSn对∀n∈N*都成立，λ的取值范围为（﹣∞，1）．（16分）点评：本小题主要考查等比关系的确定、数列的求和、不等式的解法、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．（I）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2有＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出a=1时函数f（x）的导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（Ⅱ）对a讨论：①当a=﹣2，②﹣2＜a＜0时，③当a＜﹣2时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（Ⅲ）假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x1＜x2．条件转化为f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1成立，令g（x）=f（x）﹣ax=x2﹣2alnx﹣2x，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g′（x）=x﹣﹣2≥0，即2a≤x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1在（0，+∞）上恒成立．求出不等式右边的最小值，令2a不大于它即可．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，f′（x）=x﹣+（a﹣2）=（x＞0）当a=1时，f′（x）=，f′（1）=﹣2，则所求的切线方程为：y﹣f（1）=﹣2（x﹣1），-15-\n即4x+2y﹣3=0；（Ⅱ）①当﹣a=2，即a=﹣2时，f′（x）=≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当﹣a＜2，即﹣2＜a＜0时，由0＜x＜﹣a，或x＞2时，f′（x）＞0，﹣a＜x＜2时，f′（x）＜0．则f（x）在（0，﹣a），（2，+∞）单调递增，在（﹣a，2）上单调递减；③当﹣a＞2，即a＜﹣2时，由0＜x＜2或x＞﹣a时，f′（x）＞0；2＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2），（﹣a，+∞）上单调递增，在（2，﹣a）上单调递减；（Ⅲ）假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x1＜x2．由知f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1成立，令g（x）=f（x）﹣ax=x2﹣2alnx﹣2x，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g′（x）=x﹣﹣2≥0，即2a≤x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1在（0，+∞）上恒成立．，则a≤﹣，故存在这样的实数a满足题意，其范围为（﹣∞，﹣]．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，同时考查构造函数，运用导数求单调性和最值，考查分类讨论和参数分离的思想方法，属于中档题．-15-