湖南省 2022-2023学年高一数学上学期期末考试试卷（Word版带解析）

衡阳市八中2022级高一上学期期末考试试题数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．与角终边相同的角是（）A．B．C．D．2．不等式的解集是（）A．B．C．D．3．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数的零点所在的一个区间是（）A．B．C．D．5．已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（）A．B．C．D．6．函数（，）的部分图象如图所示，则 （）A．B．C．D．7．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A．，，B．C．，，D．，，试卷第3页，共4页 8．已知，，，则a，b，c的大小关系为()A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列说法中正确的是（    ）A．若a>b，则B．若-2<a<3，1<b<2，则-3<a-b<1C．若a>b>0，m>0，则D．若a>b，c>d，则ac>bd10．下列各式中，值为的是（    ）A．B．C．D．11．已知函数，，则（    ）A．函数为偶函数B．函数为奇函数C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0D．设，则的解集为12．已知函数，则（    ）A．函数的最小正周期为B．直线是图象的一条对称轴C.是图象的一个对称中心D．若时，在区间上单调，则的取值范围是或三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）13．若函数的最小正周期是，则的取值可以是______.（写出一个即可）.14．已知函数，若，则_____________.15．已知:设函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取试卷第3页，共4页 值范围是______．16.设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知f（α）＝．（1）化简f（α）；（2）若α＝，求f（α）的值．18．（本小题满分12分）已知集合A＝{x∈R|≥}，集合B＝{x∈R|（x﹣1）（x﹣a）＜0}．a∈R（1）求集合A；（2）若B⊆∁RA，求a的取值范围．19．（本小题满分12分）已知函数，，且该函数的图象经过点，.（1）求a，b的值；（2）已知直线与x轴交于点T，且与函数的图像只有一个公共点.求的最大值.（其中O为坐标原点）20．（本小题满分12分）比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：01040600142044806720试卷第3页，共4页 为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；．(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从衡阳行驶到长沙，其中，国道上行驶，高速上行驶．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？21．（本小题满分12分）已知，.(1)当且是第四象限角时，求的值；(2)若关于的方程有实数根，求的取值范围.（）22．（本小题满分12分）已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.(1)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：(2)若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；(3)若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.试卷第3页，共4页 参考答案：1．D【分析】由终边相同的角的性质即可求解.【详解】因为与角终边相同的角是，，当时，这个角为，只有选项D满足，其他选项不满足.故选：D.2．C【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．【详解】解：解得：.故选：C.3．A【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为，所以，，，或，当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4．B【分析】由零点的存在性定理求解即可【详解】∵，，，，根据零点的存在性定理知，函数的零点所在区间为．故选：B答案第11页，共12页 5．D【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.【详解】由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数，又因为，所以，，整理可得，因为且，解得.故选：D.6．A【解析】由函数的部分图像得到函数的最小正周期，求出，代入求出值，则函数的解析式可求，取可得的值.【详解】由图像可得函数的最小正周期为，则.又，则，则，，则，，，则，，则，.故选：A.【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图像求函数解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函数的最小正周期，进而得出；（3）取特殊点代入函数可求得的值.7．C【分析】先用分离常数法得到，由单调性列不等式组，求出实数的取值范答案第11页，共12页 围.【详解】解：根据题意，函数，若在区间上单调递减，必有，解可得：或，即的取值范围为，，，故选：C．8．D【详解】分别对，，两边取对数，得，，．．由基本不等式，得:，所以，即，所以．又，所以.故选：D．9．AC【分析】利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.【详解】对于A，因c2+1>0，于是有>0，而a>b，由不等式性质得，A正确；对于B，因为1<b<2，所以-2<-b<-1，同向不等式相加得-4<a-b<2，B错误；对于C，因为a>b>0，所以，又因为m>0，所以，C正确；对于D，且，而，即ac>bd不一定成立，D错误.故选：AC答案第11页，共12页 10．ABD【分析】利用诱导公式、指数幂的运算以及特殊角的三角函数值计算各选项中代数式的值，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，；对于B选项，；对于C选项，；对于D选项，.故选：ABD.11．BCD【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案【详解】对于A：，定义域为，，则为奇函数，故A错误；对于B：，定义域为，，则为奇函数，故B正确；对于C：，，都为奇函数，则为奇函数，在区间上的最大值与最小值互为相反数，必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C正确；对于D：，则在上为减函数，，则在上为减函数，则在上为减函数，答案第11页，共12页 若即，则必有，解得，即的解集为，故D正确；故选：BCD12．BCD【详解】因为函数的最小正周期为，而函数周期为，故A错误；当时，，所以直线是图象的一条对称轴，故B正确；故C正确时，在区间上单调，即，所以或解得或，故D正确.故选：BCD.【点睛】(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．13．2或-2（写一个即可）14.0答案第11页，共12页 15．【分析】根据函数新定义求出函数解析式，画出函数的图象，利用转化的思想将方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出t的范围.【详解】由题意知，令，解得，根据，得，作出函数的图象如图所示，由方程有3个不等的根，得函数图象与直线有3个不同的交点，由图象可得，当时函数图象与直线有3个不同的交点，所以t的取值范围为.故答案为：16.：.【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.【详解】令，则令，则则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.答案第11页，共12页 作出和的图像，观察交点个数，可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，由题意列不等式的：解得：.【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便.17、解：（1）f（a）＝＝＝sinα•cosα…5分（2）∵α＝﹣＝﹣6×，∴f（﹣）＝cos（﹣）sin（﹣）＝cos（﹣6×）sin（﹣6×）＝cossin＝＝﹣…10分18、解：（1）根据题意，集合A＝{x∈R|2log2x≥log2（2x）}，即，则，得x≥2，则集合A＝{x∈R|x≥2}，（2）∁RA＝{x∈R|x＜2}，又集合B＝{x∈R|（x﹣1）（x﹣a）＜0}，①当a＝1时，（x﹣1）2＜0，则无解，故B＝∅，满足B⊆∁RA，②当a＞1时，由（x﹣1）（x﹣a）＜0，得1＜x＜a，若B⊆∁RA，则a≤2，得1＜a≤2，③当a＜1时，由（x﹣1）（x﹣a）＜0，得a＜x＜1，显然满足B⊆∁RA，综上所述，a的取值范围是（﹣∞，2]．答案第11页，共12页 19．（Ⅰ）;（Ⅱ）1.【分析】（Ⅰ）根据已知点的坐标，利用函数的解析式，得到关于的方程组，求解即得;（Ⅱ）设,则直线方程可以写成,与函数联立，消去，利用判别式求得，利用二次函数的性质求得取得最大值1，进而得到的最大值.【详解】（Ⅰ）由已知得，解得;（Ⅱ）设,则直线方程可以写成,与函数联立，消去，并整理得由已知得判别式,当时，取得最大值1，所以.20.【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.【详解】（1）解：对于③，当时，它无意义，故不符合题意，对于②，当时，，又，所以，故不符合题意，故选①，由表中的数据可得，，解得∴．（不需要说明理由，写对解析式即可）（2）解：高速上行驶，所用时间为，则所耗电量为，由对勾函数的性质可知，在上单调递增，答案第11页，共12页 ∴，国道上行驶，所用时间为，则所耗电量为，∵，∴当时，，∴当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，该车从衡阳行驶到长沙的总耗电量最少，最少为．21．(1)(2)【分析】（1）由同角三角函数的平方关系求出、的值，再结合立方差公式可求得所求代数式的值；（2）由已知可得出，，分、两种情况讨论，在时直接验证即可，在时，由参变量分离法可得出，结合基本不等式可求得实数的取值范围，综合可得结果.【详解】（1）解：因为，即，则，即，所以.因为是第四象限角，则，，所以，所以，所以.（2）解：由，可得，则方程可化为，.答案第11页，共12页 ①当时，，显然方程无解；②当时，方程等价于.当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，又，故，所以要使得关于的方程有实数根，则.故的取值范围是.22．(1)不是，理由见解析；(2)；(3)或.【分析】(1)假定函数是“自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.(1)假定函数是“自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，答案第11页，共12页 所以函数不是“自均值函数”.(2)依题意，存在，对于，存在，有，即，当时，的值域是，因此在的值域包含，当时，而，则，若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，于是得，，要在的值域包含，则在的最小值小于等于0，又时，递减，且，从而有，解得，此时，取，的值域是包含于在的值域，所以的取值范围是.(3)依题意，存在，对于，存在，有，即，当时，的值域是，因此在的值域包含，并且有唯一的a值，当时，在单调递增，在的值域是，由得，解得，此时a的值不唯一，不符合要求，答案第11页，共12页 当时，函数的对称轴为，当，即时，在单调递增，在的值域是，由得，解得，要a的值唯一，当且仅当，即，则，当，即时，，，，，由且得：，此时a的值不唯一，不符合要求，由且得，，要a的值唯一，当且仅当，解得，此时；综上得：或，所以函数，有且仅有1个“自均值数”，实数的值是或.【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集.答案第11页，共12页