河北省衡水中学2022-2023学年高三数学上学期四调考试试题（Word版带解析）

河北省衡水中学2023届上学期高三年级四调考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。뫀ܿ률쇨1．已知已，则在复平面内对应的点位于tA．实轴上B．虚轴上C．第一、三象限的角平分线上D．第二、四象限的角平分线上2．已知向量，满足已，已뫀䁠，䁠쇨，t已䁠，则向量在向量上的投影向量的坐标为A．뫀쇨B．뫀䁠䁠쇨C．뫀률䁠률䁠쇨D．뫀률쇨3．在䁞中，已䁪，已h，已，则䁞已A．률B．C．률D．4．已知，，䁞为平面内任意三点，则“与䁞的夹角为钝角”是“t䁞t䁞”的A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割，所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分률䁠割比为．如图，在矩形䁞中，䁞与相交于点，䁞，䁞，，䁞，且点为线段的黄金分割点，则已ܿ률tܿ률률A．tB．t䁠䁠률䁠률ܿ률C．tD．t䁠6．已知复数z满足t已t൅，则实数൅的取值范围是A．률B．률hhC．률D．률䁠䁠 7．已知点是䁞所在平面内一点，有下列四个等式：①tt䁞已；②⋅뫀−쇨已䁞⋅뫀−쇨；③已已䁞；④⋅已⋅䁞已䁞⋅如果只有一个等式不成立，则该等式为A．①B．②C．③D．④8．对于给定的正整数，设集合已ሼ䁠ܿ，，且∅．记뫀쇨为集合中的最大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的所有뫀쇨的和记为뫀쇨，则뫀ܿ쇨已A．ܿ×ܿt䁠B．ܿt䁠C．×t䁠D．ܿt䁠二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．设非零向量，的夹角为，为任意非零向量，定义运算已sin，则下列结论正确的是A．若已，则B．뫀t쇨已tC．뫀쇨뫀쇨已sinD．若已已䁠，则的最大值为110．已知复数䁠，满足䁠，则下列结论正确的是A．若䁠已，则䁠已±B．䁠t䁠tC．若已，则已D．已䁠䁠䁠䁠11．如图放置的边长为1的正方形䁞的顶点，分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑动，则䁞的值可能是A．䁠B．률䁠C．D．률12．已知函数뫀쇨及其导函数뫀쇨的定义域均为R．若对任意的，，都有뫀t쇨t뫀률쇨已뫀쇨뫀쇨，则下列结论正确的是A．뫀쇨已䁠B．뫀쇨t뫀쇨䁠ܿ䁠C．若뫀䁠쇨已，则뫀쇨已D．뫀쇨必为奇函数已䁠 第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本题共4小题，每小题5分，共20分。률䁠13．已知已，则的虚部是_______．䁠t14．若函数뫀쇨已൅sintcos的图象关于直线已对称，则实数൅已_______．h15．在䁞中，已䁞已률䁞，是线段䁞上的动点，有下列三个结论：①ܿ；②·䁞·䁞；③·䁞·．则所有正确结论的序号是__________．16．已知向量，，满足已䁠，已률，률已률，则向量률与的夹角的最大值是_______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）设复数䁠已䁠률，已costsin，其中．(1)若复数已䁠·为实数，求的值；(2)求䁠t的取值范围．18．（12分）记䁞的内角，，䁞的对边分别是൅，，，已知䁞的外接圆半径已，sin且tanttan䁞已cos䁞(1)求和的值；(2)求䁞面积的最大值．19．（12分）如图，在平行四边形䁞中，已，已ܿ，已，为䁞的中点，ܿ已뫀䁠쇨.(1)若，求实数的值；(2)求的取值范围． 20．（12分）已知函数뫀쇨已൅ܿt−ܿt为奇函数，且在区间뫀−∞−䁠쇨上单调递增，在区间뫀−䁠䁠쇨上单调递减．(1)求뫀쇨的解析式；(2)若过点뫀䁠쇨뫀≠−쇨可作曲线已뫀쇨的三条切线，求实数m的取值范围．21．（12分）治理垃圾是某市改善环境的重要举措．2021年该市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从2022年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%．(1)写出该市从2022年开始的年垃圾排放量与治理年数뫀쇨的表达式；(2)设An为从2022年开始年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效．试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．22．（12分）已知函数뫀쇨已ln뫀t䁠쇨−䁠．(1)证明：뫀−䁠쇨≤−ܿ；䁠(2)设函数뫀쇨已뫀t䁠쇨뫀쇨−൅t䁠，若뫀쇨在区间뫀t∞쇨上存在最大值，求实数൅的取值范围． 数学参考答案 一、选择题䁠tܿ뫀䁠tܿ쇨뫀률쇨t1．C【解析】因为已已已已䁠t，所以在复平面内对应的点的坐标t뫀t쇨뫀률쇨为뫀䁠䁠쇨，位于第一、三象限的角平分线上．2．B【解析】由已뫀䁠䁠쇨，得已䁠t䁠已，则൅t已൅tt൅已൅tt൅已䁠，即tt൅已䁠，则൅已，所以向量൅在向量൅上的投影向量的坐标为뫀쇨已已뫀䁠䁠쇨.3．A【解析】因为䁞为直角三角形，且已䁪，已h，已，所以䁞已，且䁠t䁞已䁠，所以䁞已䁞cos䁠已××뫀률쇨已률.4．B【解析】设与䁞的夹角为뫀쇨，当为钝角时，t䁞률䁞已t䁞률䁞률已䁞t，所以t䁞t䁞；当t䁞t䁞时，t䁞t䁞률，所以䁞t，即䁞t，故cost，所以t，所以“与䁞的夹角为钝角”是“t䁞t䁞”的充分不必要条件．률䁠䁠5．D【解析】由题意得已，显然已，已已，所以已뫀률률䁠률쇨已，故已已，因为已t已t률뫀률䁠쇨률䁠률䁠ܿ률률䁠ܿ률已t뫀률쇨已t，所以已t.6．D【解析】设已t，，，则tt뫀률쇨已t൅，整理得ttttt已൅已t൅，所以即tt률已．因为此方程有实根，所以已൅䁠h൅已䁠h률뫀률쇨，解得률䁠൅䁠.䁠h7．B【解析】对于①，设䁞的中点为，连接，则t䁞已.又tt䁞已，所以t䁞已률，所以已률，故点为䁞的重心；对于②，由뫀률쇨已䁞뫀률쇨，得뫀률쇨䁞已䁞已，故䁞，即䁞为直角三角形；对于③，由点到䁞三个顶点的距离相等，得点为䁞的外心；对于④，由已䁞，得뫀률䁞쇨已䁞已，同理可得䁞已䁞已，所以䁞，䁞，䁞，即点为䁞的垂心，当䁞为等边三角形时，重心、外心、垂心重合，此时①③④均成立，②不成立，满足要求；当②成立时，其他三个均不一定成立． 8．D【解析】根据题意知为集合的非空子集，满足뫀쇨已䁠的集合只有1个，即ሼ䁠；满足뫀쇨已的集合有2个，即{2}，{1，2}；满足뫀쇨已ܿ的集合有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；……；满足뫀쇨已的集合有률䁠个，所以뫀쇨已䁠t×tܿ×tt률䁠，则뫀쇨已䁠ttܿ×ܿtt뫀률䁠쇨률䁠t，两式相减得률뫀쇨已䁠ttt...t률䁠률已률䁠률，所以뫀쇨已뫀률䁠쇨t䁠，所以뫀ܿ쇨已×ܿt䁠.二、选择题9．ACD【解析】对于A，因为൅已൅sin已，所以sin已，解得已或已，所以൅，故选项A正确；对于B，不妨取൅已뫀䁠쇨，已뫀䁠쇨，已뫀률䁠쇨，设൅与t的夹角为，൅与的夹角为，则൅뫀t쇨已൅tsin已䁠已൅t൅已൅sint൅sin已䁠×䁠×䁠t䁠×䁠×䁠已，此时൅뫀t쇨൅t൅，故选项B错误；对于C，뫀൅쇨뫀൅쇨已뫀൅sin쇨뫀൅cos쇨已൅sincos已൅sin，故选项C正确；对于D，当൅已已䁠时，൅已൅sin已sin䁠，当且仅当已时取等号，所以뫀൅쇨max已䁠，故选项D正确．10．BD【解析】设已䁠t，已，则已已已뫀䁠t쇨已已뫀쇨已률䁠䁠䁠，不满足已±，也不满足已，故选项AC错误；对于B，设，在复平面䁠䁠䁠内对应的向量分别为䁠，，且䁠≠，由向量加法的几何意义知䁠t≤䁠t，故䁠t䁠t，故选项B正确；对于D，设䁠已൅t，已t൅，൅，，，൅，且൅，，，൅，则䁠已뫀൅t쇨뫀t൅쇨已뫀൅률൅쇨t뫀൅൅t쇨，所以䁠已뫀൅률൅쇨t뫀൅൅t쇨已뫀൅쇨t뫀൅쇨t뫀൅൅쇨t뫀쇨，䁠已൅tt൅已뫀൅쇨t뫀൅쇨t뫀൅൅쇨t뫀쇨已䁠，故选项D正确．11．AC【解析】设∠已뫀t쇨，因为已䁠，所以已cos已sin∠已률，故已costcos뫀률쇨已costsin，已sin뫀률쇨已cos，所以已뫀costsincos쇨．同理可得䁞뫀sincostsin쇨，所以䁞已뫀sincostsin쇨，所以䁞已뫀costsincos쇨뫀sincostsin쇨已䁠tsin．因为t，所以sin䁠，则䁠䁞，故䁞的值可能是l，2．12．BC【解析】对于A，令已已，由뫀t쇨t뫀률쇨已뫀쇨뫀쇨，得뫀쇨已뫀쇨，故뫀쇨已或뫀쇨已䁠，故选项A错误；对于B，令已，则뫀쇨t뫀쇨已뫀쇨，故뫀쇨t뫀쇨．因为，令已，，所以뫀쇨t뫀쇨，即뫀쇨t뫀쇨䁠，故选项B正确；对于C，令已䁠，已，则뫀䁠쇨t뫀䁠쇨已뫀䁠쇨뫀쇨，若뫀䁠쇨已， 䁠䁠则뫀쇨已䁠；令已已䁠，则뫀쇨t뫀쇨已뫀䁠쇨，即뫀쇨t䁠已，所以뫀쇨已률；䁠䁠令已，已䁠，则뫀ܿ쇨t뫀䁠쇨已뫀쇨뫀䁠쇨，即뫀ܿ쇨t已률，所以뫀ܿ쇨已률䁠；䁠䁠令已ܿ，已䁠，则뫀쇨t뫀쇨已뫀ܿ쇨뫀䁠쇨，即뫀쇨률已률䁠，所以뫀쇨已률；䁠䁠令已，已䁠，则뫀쇨t뫀ܿ쇨已뫀쇨뫀䁠쇨，即뫀쇨률䁠已률，所以뫀쇨已；令䁠䁠已，已䁠，则뫀h쇨t뫀쇨已뫀쇨뫀䁠쇨，即뫀h쇨률已，所以뫀h쇨已䁠；令已䁠䁠h，已䁠，则뫀쇨t뫀쇨已뫀h쇨뫀䁠쇨，即뫀쇨t已䁠，所以뫀쇨已，……由此可得뫀쇨的值有周期性，且周期为6．又뫀䁠쇨t뫀쇨t뫀ܿ쇨t뫀쇨t뫀쇨t뫀h쇨已ܿ䁠，所以뫀쇨已ܿܿ뫀䁠쇨t뫀쇨t뫀ܿ쇨t뫀쇨t뫀쇨t뫀h쇨t뫀䁠쇨已，故选已䁠项C正确；对于D，令已，则뫀쇨t뫀률쇨已뫀쇨뫀쇨，当뫀쇨已时，뫀쇨t뫀률쇨已，即뫀쇨t뫀률쇨已，则뫀쇨률뫀률쇨已，即뫀쇨已뫀률쇨，所以뫀쇨为偶函数，故选项D错误．三、填空题ܿ률䁠13．【解析】设已൅t뫀൅쇨，由已，得뫀൅t쇨률䁠已뫀䁠t൅t쇨，即൅률䁠t䁠t䁠൅已൅률䁠已률䁠ܿܿ已률t뫀൅t䁠쇨，所以解得，所以已t，故z的虚部是．已൅t䁠已ܿܿ14．【解析】因为函数뫀쇨已൅sintcos的图象关于直线已对称，所以뫀쇨已ܿh䁠ܿ൅sintcos在已时取得最值，结合辅助角公式得뫀쇨已൅t䁠，即൅t已hh൅t䁠，整理得ܿ൅률ܿ൅t䁠已뫀ܿ൅률䁠쇨已，解得൅已ܿ．ܿ15．①【解析】因为已䁞已률䁞已䁞，所以䁞是等边三角形，取BC的中点为O，连接AO，以O为坐标原点，BC所在的直线为轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图．设已，则뫀ܿ쇨，뫀률䁠쇨，䁞뫀䁠쇨，뫀쇨뫀률䁠䁠쇨，所以已뫀률ܿ쇨已뫀률䁠률ܿ쇨，所以률ܿ已，即ܿ，故①正确；䁞률䁞已률䁠tܿ률뫀tܿ쇨已률䁠률률，故②错误；률䁞已률tܿ률뫀tܿ쇨已률률，故③错误．16．【解析】由률已률൅，得률已률t률൅．又由已률൅，得뫀률쇨률hܿ൅已률，则뫀률쇨률h൅뫀률쇨t䁪൅已뫀률쇨，即뫀률쇨률൅뫀률쇨t뫀률쇨t䁠൅뫀률쇨뫀률쇨t䁠䁠뫀률쇨䁠已，即൅뫀률쇨已，所以cost൅률已已已൅률률률ܿ，当且仅当뫀률쇨已䁠时取等号，所以向量률与൅的夹角的最大值是.h 四、解答题17．解：(1)已䁠已뫀䁠t쇨뫀costsin쇨已뫀cos률sin쇨t뫀costsin쇨（2分）若复数已䁠为实数，则costsin已故tan已률䁠.（3分）ܿ又，所以已（4分）(2)因为䁠已䁠률，已costsin所以䁠t已䁠률tcostsin已뫀䁠tcos쇨t뫀률䁠tsin쇨已뫀䁠tcos쇨t뫀률䁠tsin쇨已ܿtcos률sin已ܿtcos뫀t쇨（6分）又，所以t所以률䁠cos뫀t쇨（8分）则ܿ률䁠t即률䁠䁠t故䁠t的取值范围是률䁠.（10分）sinsinsin䁞sin18．解：(1)因为tanttan䁞已，所以t已cos䁞coscos䁞cos䁞即sincos䁞tcossinC已sincos故sin뫀t䁞쇨已sincos（2分）因为tt䁞已，所以sin已sincos又sin，所以cos已，因为tt，所以已（4分）由正弦定理得已，则已×已.sin（6分）(2)由余弦定理已൅t률൅cos，得已൅t률൅ 由基本不等式得已൅t률൅൅률൅，当且仅当൅已时取等号，所以൅已뫀t쇨률（10分）䁠所以䁞已൅sin已൅×뫀t쇨已䁠t故䁞面积的最大值为䁠t（12分）19．解：(1)在平行四边形ABCD中，已，䁞已已ܿ，∠已，ܿ建立如图所示的平面直角坐标系，则뫀쇨，뫀ܿ쇨，뫀䁠ܿ쇨，䁞뫀ܿ쇨.（2分）ܿܿ又E为CD的中点，所以뫀쇨则已뫀쇨因为已，所以뫀ܿ쇨，则已뫀ܿ률䁠률ܿ쇨.（4分）因为，所以已ܿ䁠即×뫀ܿ률䁠쇨t×뫀률ܿ쇨已，解得已䁠（6分）ܿܿ(2)由(1)知뫀ܿ쇨，뫀쇨，已뫀ܿ률䁠률ܿ쇨，则已뫀률ܿ쇨（8分）ܿܿ䁠所以已뫀ܿ률䁠쇨뫀률ܿ쇨률已률䁪t률已률䁪뫀률쇨t䁠hܿ䁠因为䁠，所以当已时，取得最大值为；䁠h当已时，取得最小值为률，䁠故的取值范围是률䁠h（12分）20．解：(1)因为函数뫀쇨已൅ܿt률ܿt为R上的奇函数，所以뫀쇨已，即已，所以뫀쇨已൅ܿt률ܿ又뫀률쇨已률뫀쇨所以률൅ܿttܿ已률൅ܿ률tܿ，则已（2分） 又뫀쇨在区间뫀−∞−䁠쇨上单调递增，在区间뫀률䁠䁠쇨上单调递减，所以뫀쇨在已률䁠处取得极大值，因为뫀쇨已൅ܿ률ܿ，뫀쇨已ܿ൅률ܿ所以뫀률䁠쇨已，即ܿ൅률ܿ已，解得൅已䁠（4分）所以뫀쇨已ܿ률ܿ，经检验符合题意．（5分）(2)由(1)知뫀쇨已ܿ률ܿ，所以点뫀䁠쇨뫀률쇨不在曲线已뫀쇨上，且뫀쇨已ܿ률ܿ.设切点为뫀쇨，则已ܿ률ܿ，뫀쇨已ܿ뫀률䁠쇨ܿ률ܿ故切线的斜率满足ܿ뫀률䁠쇨已률，整理得ܿ률ܿttܿ已.률䁠因为过点뫀䁠쇨可作曲线已뫀쇨的三条切线，所以关于的方程ܿ률ܿttܿ已有三个实根．（7分）设뫀쇨已ܿ률ܿttܿ，则뫀쇨已h률h令뫀쇨t，得tt䁠；令뫀쇨，得t或䁠所以뫀쇨在区间뫀률∞쇨뫀䁠t∞쇨上单调递增，在区间뫀䁠쇨上单调递减，所以뫀쇨的极大值点为已，极小值点为已䁠（9分）所以关于的方程ܿ률ܿttܿ已有三个实根的必要条件是뫀쇨已tܿ뫀䁠쇨已tt解得률ܿtt률（10分）此时뫀률䁠쇨已률t률t，뫀쇨已t所以当률ܿtt률时，关于的方程ܿ률ܿttܿ已有三个实根．故实数的取值范围是뫀률ܿ률쇨.（12分）21．解：(1)设治理年后，该市的年垃圾排放量构成数列ሼ൅当䁠时，ሼ൅是首项为൅䁠已률已䁠，公差为률的等差数列，所以൅已൅䁠t뫀률䁠쇨൅已䁠률뫀률䁠쇨已률.（2分）ܿ当时，数列ሼ൅是以൅为首项，公比为的等比数列， 률ܿ률所以൅已൅已䁠뫀쇨（4分）률䁠所以൅已ܿ쇨률h.䁠뫀（5分）(2)现有的治理措施是有效的，理由如下：设为数列ሼ൅的前项和，则已률䁠t䁠률뫀t䁠쇨뫀t൅t䁠쇨률뫀t䁠쇨൅t䁠률所以t䁠률已률已已已t䁠뫀t䁠쇨뫀t䁠쇨뫀t䁠쇨뫀൅t䁠률൅䁠쇨t뫀൅t䁠률൅쇨tt뫀൅t䁠률൅쇨已.뫀t䁠쇨（8分）由(1)知当䁠时，൅已률，所以ሼ൅为递减数列；（9分）ܿ률当h时，൅已䁠×뫀쇨，所以ሼ൅为递减数列，且以൅t൅，所以当时，ሼ൅为递减数列，h故൅t䁠률൅䁠t，൅t䁠률൅t，，൅t䁠률൅t所以t䁠률t（11分）所以数列ሼ൅为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的．（12分）22．(1)证明：要证明뫀률䁠쇨률ܿ，只需证明률률.䁠䁠률䁠设뫀쇨已률률，，则뫀쇨已률已（1分）令뫀쇨t，得tt䁠；令뫀쇨，得䁠所以뫀쇨在区间뫀䁠쇨上单调递减，在区间뫀䁠t∞쇨上单调递增，所以뫀쇨뫀䁠쇨已，即률률即률䁠률ܿ，故뫀률䁠쇨률ܿ（4分）䁠(2)解：由题意得뫀쇨已뫀t䁠쇨뫀t䁠쇨률൅률，则뫀쇨已뫀t䁠쇨률൅ 䁠令뫀쇨已뫀쇨已뫀t䁠쇨률൅，，则뫀쇨已률൅.t䁠（5分）当൅时，뫀쇨，뫀쇨在区间뫀t∞쇨上单调递增，所以뫀쇨뫀쇨已，所以뫀쇨在区间뫀t∞쇨上单调递增，无最大值，不符合题意；（6分）䁠当൅䁠时，뫀쇨已률൅t䁠률൅，뫀쇨在区间뫀t∞쇨上单调递减，t䁠所以뫀쇨t뫀쇨已，所以뫀쇨在区间뫀t∞쇨上单调递减，无最大值，不符合题意．（7分）䁠䁠当t൅t䁠时，由뫀쇨已률൅已，得已률䁠t䁠൅䁠䁠当뫀률䁠쇨时，뫀쇨，뫀쇨在区间뫀률䁠쇨上单调递增൅൅䁠䁠当뫀률䁠t∞쇨时，뫀쇨t，뫀쇨在区间뫀률䁠t∞쇨上单调递减൅൅（9分）由(1)知뫀률䁠쇨所以当时，뫀쇨t䁠률률൅tt䁠률൅뫀t䁠쇨已t䁠뫀률൅t䁠쇨.（10分）䁠取已률䁠，则률䁠，且뫀쇨tt䁠뫀률൅t䁠쇨已൅൅䁠䁠又뫀률䁠쇨뫀쇨已，所以由零点存在定理，得存在뫀률䁠쇨，使得൅൅뫀쇨已所以当뫀쇨时，뫀쇨，即뫀쇨；当뫀t∞쇨时，뫀쇨t，即뫀쇨t，所以뫀쇨在区间뫀쇨上单调递增，在区间뫀t∞쇨上单调递减，所以뫀쇨在区间뫀t∞쇨上存在最大值뫀쇨，符合题意，综上，实数൅的取值范围是뫀䁠쇨．（12分）