北京市第四中学2023届高三数学上学期期中考试试卷（Word版附解析）

北京四中2022-2023学年度第一学期期中试卷高三数学（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再与集合求交集.【详解】因为，=，所以．故选：D2.已知复数z满足，则（）A.B.1C.D.5【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法及模长公式运算求解．【详解】由题意，所以，故选：B.3.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的定义和常见函数的单调性逐项分析即得.【详解】对于A，因为，所以为奇函数，故A不符合，对于B，根据二次函数的性质可得在上单调递减，故B不符合，对于C，的定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，故C不符合，对于D，因为函数的定义域为，且，故为偶函数，在上，，函数在区间上单调递增，所以D符合，故选：D.4.数列满足（，），，其前n项和为，若，则（）A.47B.46C.45D.44【答案】C【解析】【分析】由题意可知数列是首项为1，公差为2的等差数列，进而可得，从而有，求解即可【详解】数列满足（，），即，，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以，又，则，因为，又，且， 所以，故选：C5.若点在角的终边上，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出点M的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求出tan的值,再利用二倍角公式求解【详解】即为，则故选：D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，以及二倍角公式，属于容易题．6.在中，若，，，则角的大小为（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小.【详解】由正弦定理得，即，所以或.故选：D 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.7.如果是公比为q的等比数列，为其前n项和，那么“”是“数列为单调数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】分别从充分性和必要性结合等比数列的性质入手进行分析即可得解.【详解】充分性：当，时，，显然数列是递增数列，当，时，，显然数列是递减数列，综上可得充分性成立；必要性：当数列为递增数列时，对恒成立，可得，；当数列为递减数列时，对恒成立，可得，；综上可得必要性成立；“”是“数列为单调数列”的充分必要条件.故选：C.8.函数，则函数零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】复合方程求解时，先求得的解有，再解即可.【详解】下面解方程：， 当时，，得或1（舍去），当时，，得，所以的两根为，由得或，若，则当时，无解，当时，无解；若，则当时，解得，当时，解得所以的零点个数共有两个.故选：B9.声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的A.倍B.倍C.倍D.倍【答案】B【解析】【分析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为、，根据题意得出，，计算出和值，可计算出的值.【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为、，由题意可得，解得，，解得，所以，，因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍， 故选：B.【点睛】本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属于中等题.10.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】不妨设，则，，,，然后分和两种情况讨论求解.【详解】不妨设，则，，当时，，，所以不存在非零实数，使得成立；当时，若存在非零实数，使得成立，则方程有正根，即函数与有交点，先考虑函数的图象与直线相切的情况，设切点为，则，得，令，则，所以函数在上单调递增，则，所以方程的根只有一个，即，所以，所以函数的图象与直线相切时，切点为原点， 所以要使函数的图象与直线有交点，只需，即，所以实数k的取值范围为，故选：A.【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为当时，函数与有交点，然后利用导数有几何意义求解函数的图象与直线相切的情况，从而可得答案，考查数学转化思想，属于较难题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数的定义域是______.【答案】.【解析】【分析】由对数真数大于零，且分式的分母不为零，从而可求出函数的定义域.【详解】由题意得，解得且，所以函数的定义域为，故答案为：.12.计算：______.【答案】1【解析】【分析】根据对数运算法则即可求解．【详解】故答案为：113.已知等比数列满足：，，则数列的公比______；______. 【答案】①.或；②.【解析】【分析】由等比数列的通项公式直接计算公比，根据等比数列的性质可得，从而判断得数列是等比数列，再利用等比数列前项和公式计算即可得答案.【详解】在等比数列中，，，所以，得或；因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，由等比数列前项和公式可得.故答案为：或；14.若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到，求出在给定区间的最大值，进而可求出结果.【详解】因为，所以由得，因为关于的不等式在区间上有解，所以只需小于等于的最大值，当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为1，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.15.已知函数在区间上有且仅有5个零点，则下列结论中正确的是______.①在区间上单调递增；②在区间上有且仅有3个极大值点；③在区间上有且仅有2个极小值点；④的取值范围是.【答案】①②④【解析】【分析】根据题中所给范围确定，解出的取值范围；在运用整体代入得思想，分别求出在②③④条件下得范围，，结合的取值范围即可判断②③④是否正确.【详解】当时，，令由题可知在仅有五个零点，故解得，故④正确 ①当时，而，，故①正确②③当时，，其中令，可取0、1、2，故在区间有3个极大值点故②正确；同理令，若，可取0、1；若，可取0、1、2，故③错误；故答案为：①②④三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.已知函数，.（1）求的最小正周期；（2）求在区间，上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】(1)先对函数进行降幂，再逆用两角差的正弦公式将函数化简为，即可求得周期；(2)首先求出函数的单调区间，则在，上递减，在，上递增，即可求得最大值与最小值.【详解】⑴ ∴函数的最小正周期为.⑵令，函数的单调递增区间是，，.由，得，.记，，，，，则，∴当，时，在，上递减，在，上递增又，，∴在区间，内的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查降幂公式，两角差的正弦公式，正弦型函数的单调区间，属于基础题.17.在中，，.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：（1）a的值；（2）的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选②，；选③，；（2）选②，；选③，.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理即得；（2）根据三角形面积公式结合条件即得.【小问1详解】选条件①：，在中，由余弦定理得，， ，即.解得或，满足条件的三角形有两个，不符合题意，舍去；选条件②：即，在中，由余弦定理得，，，解得；选条件③：，在中，由正弦定理得，，所以；【小问2详解】选条件②：由题可知，，所以的面积；选条件③：，则，，所以的面积.18.某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值是这种新材料的含量x（单位：克）的函数，且性能指标值越大，该产品的性能越好.当时，y和x的关系为以下三种函数模型中的一个：①；②（且）；③（且）；其中k，a，b，c均为常数.当时，，其中m为常数.研究过程中部分数据如下表：x（单位：克）02610…… y88……（1）指出模型①②③中最能反映y和x（）关系的一个，并说明理由；（2）求出y与x的函数关系式；（3）求该新合金材料的含量x为多少时，产品的性能达到最佳.【答案】（1）模型①；（2）；（3）当克时产品的性能达到最佳．【解析】【分析】（1）根据题中数据结合条件即得；（2）结合待定系数法，代入数据运算即得；（3）按，分类，结合指数函数、二次函数的性质分别求最值，进而即得.【小问1详解】模型①最能反映y和x（）的关系，由题可知时，，显然模型③不合题意，若为模型②，则，不合题意，故模型①最能反映y和x（）的关系；【小问2详解】当时，，由可得，由得，由得，解得，所以； 当时，y＝，由，可得，解得，即有y＝.综上，可得；【小问3详解】当时，，即有时，性能指标值取得最大值12；当时，单调递减，所以当x＝7时，性能指标值取得最大值3；综上可得，当x＝4克时产品的性能达到最佳．19已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最小值；（3）求证：“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件.【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即得；（2）由题可得，然后分，，讨论，根据导数与函数的单调性的关系即得；（3）根据函数的单调性可得，然后根据充分条件，必要条件的定义即得.【小问1详解】 当时，，∴，∴，，所以曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】由，可得，由，可得，当，即时，时，恒成立，单调递增，所以函数在区间上的最小值为；当，即时，时，恒成立，单调递减，所以函数在区间上的最小值为；当，即时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以函数在区间上的最小值为；综上，当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为；【小问3详解】由函数在区间上单调递增，可得，即在区间上恒成立，又时，，所以，由可推出，而由推不出， 所以“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件.20.已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数存在两个极小值点，，求证：.【答案】（1）在上递减，在上递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导后，，令，再求导后可判断出恒成立，所以的符号与的符号相同，从而可求出其函数的单调区间；（2）由（1）知，当时，只有一个极小值点，不合题意，当时，的最小值为，结合零点存在性定理可求出函数的极小值，从而可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，由，得，令，则，当时，，所以，恒成立，当时，令，则，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，即， 由于当时，，综上恒成立，所以的符号与的符号相同，所以当时，，当时，，所以在上递减，在上递增；【小问2详解】由（1）知，当时，只有一个极小值点，不合题意，当时，的最小值为，因为，所以存在，使得，因为，，所以存在，使得，1000递减极小值递增极大值递减极小值递增因此为的两个极小值点，且，即，因为，所以，即，所以.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，解题的关键是当时，根据极值的求法和零点的存在性定理求解证明，考查数学转化思想，属于较难题. 21.已知正整数，集合.对于中的元素，，定义，令.（1）直接写出的两个元素及的元素个数；（2）已知，，…，，满足对任意，都有，求m的最大值；（3）证明：对任意，，…，，总存在，使得.【答案】（1），；个（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题可知中的n个数中有任意3个数字为1，数字为0，根据排列组合数可列的元素个数通式为；（2）第二小问等价于同时满足的元素个数最多几个，首先需要线分析最多几个不同元素同一位置的分量可以同时为1，在以此极限情况找到m的不等式关系求出m最大值；（3）由题可知共有个非空子集，并且由题意可知当时，因此证明存在等式，即证明的值必有奇数即可.【小问1详解】，；，即中6个分量中恰有3个1，故的元素个数为；【小问2详解】对于的非空子集，设，这里为的第j个分量，定义，规定 .设，令我们先证明引理：.（反证），令，不妨设，，…，满足，其中又因，且，，故，故，这与矛盾，引理证毕.回到原题，由引理，得，，，符合题意，综上，当时，m的最大值为4【小问3详解】共有个非空子集，记为，，则在每个分量得奇偶性下恰有种不同得状态，由知由抽屉原理，存在两个不同的的非空子集，设，，有与奇偶性相同，令，由于，故令，则且都为偶数，不妨设，则为偶数而为奇数，故且为奇数故必存在一个，使得为奇数，又由于，从而 【点睛】本题以新定义结合集合进行考查，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.