河北省衡水中学2023届高三数学上学期一模试卷（Word版附解析）

河北省衡水中学2023届上学期高三年级一调考试数学本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则A．B．C．D．(1，3)2．若，，，则的大小关系为A．B．C．D．3．设，则使成立的一个充分不必要条件是A．B．C．D．4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得，由此可知的近似值为A．-1.519B．-1.726C．-1.609D．-1.3165．已知关于的函数图象如图所示，则实数满足的关系式可以是A．B．C．D． 6．已知函数是定义在R上的单调函数．若对任意，都有，则A．9B．15C．17D．337．已知函数的最大值为，最小值为，则A．3B．4C．6D．与值有关8．已知正实数满足，则的最小值为A．1B．2C．4D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知集合为全集，集合均为的子集．若，，，则A．B．C．D．10．已知定义域为的偶函数在区间上单调递增，且，使，则下列函数中符合上述条件的是A．B．C．D．11．记的三边长分别为，且，则下列结论正确的是A．B．C．D． 12．某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限、劳累程度劳动动机相关，并建立了数学模型已知甲、乙为该公司的员工，下列结论正确的是A．若甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长、劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B．若甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长、劳动动机高，则甲比乙工作效率低C．若甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高、工作年限短，则甲比乙劳累程度弱D．若甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高、劳动动机低，则甲比乙劳累程度强第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题．每小题5分，共20分。13．若命题“”是假命题，则实数的最大值为．14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，已知，则函数的值域为．15．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则=.16．已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知函数(1)求不等式的解集；(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．（12分）已知函数(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)若关于的方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.19．（12分）设为正实数，且.证明：(1)；(2)20．（12分）已知函数(1)已知的图象存在对称中心的充要条件是的图象关于原点中心对称，证明：的图象存在对称中心，并求出该对称中心的坐标；(2)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值． 21．（12分）经过市场调研发现，某企业生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（单位：百件）与时间第天的关系如下表所示：第天1310…30日销售量／百件236.5…16.5未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（单位：元）与时间第天的函数关系式为，且，而后15天此商品每天每件的利润（单位：元）与时间第天的函数关系式为，且(1)现给出以下两类函数模型：①为常数）；②为常数，，且）．分析表格中的数据，请说明应选择哪类函数模型，并求出该函数模型的解析式；(2)若这30天内该企业此商品的日销售利润均未能超过40000元，则考虑转型．请判断该企业是否需要考虑转型，并说明理由．22．（12分）已知函数(1)当，且时，求的取值范围；(2)是否存在正实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由. 数学参考答案一、选择题1．B【解析】由题意得集合，，所以2．A【解析】因为，，，所以3．B【解析】对于，故A不符合题意；对于B，，故B符合题意；对于C，，不一定能推出，故C不符合题意；对于D，，若，则，故D不符合题意．4．C【解析】因为，所以，所以，所以5．A【解析】对于A，由，得，所以，即，所以．将函数的图象向右平移1个单位长度得到题中所给图象，故A正确；对于B，取，则由，得，与题中图象不符，故B错误；由，得，其图象是将函数的图象向右平移1个单位长度得到的，如图： 与题中所给的图象不符，故C错误；由，得，该函数为偶函数，图象关于轴对称，显然与题中图象不符，故D错误．6．C【解析】因为是R上的单调函数，所以存在唯一的，使由方程，得，则，所以设，则在R上是增函数，且3，所以，所以，故7．C【解析】由题意可知，令，则的定义域为，，所以为奇函数，所以，故8．B【解析】因为，所以．令，，易知在区间上单调递增，故，即．又，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为2．二、选择题9．AD【解析】如图所示： 由图可得，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D正确．10．AC【解析】对于A，的定义域为R，，所以为偶函数．又在区间上单调递增，故A符合；对于B，恒成立，故B不符合；对于C，的定义域为，所以为偶函数．又，在区间上单调递增，故C符合；对于D，因为的定义域为，所以为奇函数，故D不符合.11．ABC【解析】对于A，，在中，，，则成立，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D，当时，满足，但，故D错误．12．AC【解析】设甲与乙的工作效率分别为，工作年限分别为，劳累程度分别为，劳动动机分别为，对于A，，，，所以，则，所以，即甲比乙工作效率高，故A正确；对于B，，，，所以，所以，则 ，所以，即甲比乙工作效率高，故B错误；对于C，，，，又，所以，所以，所以，即甲比乙劳累程度弱，故C正确；对于D，，，，则，又，所以，所以1，所以，即甲比乙劳累程度弱，故D错误.三、填空题13．【解析】由题知命题的否定“”是真命题．令，则解得，故实数的最大值为14．【解析】令，，即，故的值域为15．1【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以．又为偶函数，所以，则，故是以4为周期的函数，故16．【解析】令，则因为有三个零点，所以有两个实数根，其中有两个实数根， 有且仅有一个实数根.①当时，的大致图象如图：令，得由，得，由图可知直线与曲线有两个交点．由，得，此时要使直线与曲线有且仅有一个交点，则解得所以；②当时，的大致图象如图.只有一个实数根，没有三个实数根；③当时，的大致图象如图：令，得，由，得 ，由图可知直线与曲线有两个交点．由，得，此时要使直线与曲线有且仅有一个交点，则，解得所以④当时，的大致图象如图．只有一个实数根，没有三个实数根.综上，四、解答题17．解：(1)由，得，（1分）所以，即解得，（3分）所以不等式的解集为（4分）(2)由题知对任意，恒成立.令，当时，；（6分）当时，，（7分）所以的最小值为，所以，即，（9分） 所以实数的取值范围为（10分）18．解：(1)为奇函数，理由如下：由题意得解得，即函数的定义域为（-2，2）．（2分）又，故为奇函数．（4分）(2)由，得，所以，所以，故方程有两个不同的实数根可转化为方程在区间(-2，2)上有两个不同的实数根，即函数与在区间（-2，2）上的图象有两个交点．（7分）设则作出函数的图象如图所示．（9分）当时，函数与的图象有两个交点，即关于的方程有两个不同的实数根， 故实数的取值范围是(1，2)．（12分）19．证明：(1)，当且仅当时，等号成立．（6分）(2)，，，（10分）三式相加，得，即，当且仅当时，等号成立．（12分）20．解：(1)假设的图象存在对称中心，则的图象关于原点中心对称．（1分）因为的定义域为R，所以恒成立，即恒成立，（4分）所以解得 所以的图象存在对称中心.（6分）(2)因为对任意，都存在及实数，使得，所以，即所以，即（8分）因为，所以因为，所以，所以即（10分）所以，所以故实数的最大值为2．（12分）21．解：(1)若选择函数模型①，将(1，2)，(3，3)分别代入，得解得则经验证，符合题意．（2分）若选择模型②，将(1，2)，(3，3)分别代入，得解得 则当时，，故此函数模型不符合题意．（4分）综上，应选择函数模型①，其解析式为（5分）(2)该企业需要考虑转型．理由如下：记该企业此商品的日销售利润为（单位：元），当，且时，，当时，函数的图象开口向下，对称轴，故当时，取得最大值，且最大值为39200；（8分）当，且时，，当时，函数单调递减，故当时，取得最大值，且最大值为37525，（11分）所以这30天内该企业此商品的日销售利润均未能超过40000元，该企业需要考虑转型．（12分）22．解：(1)由题知在区间(0，1)上单调递减，在区间上单调递增，由，且，得，（1分）故令，则，函数在区间上单调递增，所以， 即的取值范围是（4分）(2)存在满足条件的实数，且①当时，在区间(0，1)上单调递减，则即解得因为，故此时不存在符合条件的正实数（7分）②当时，在区间上单调递增，则即所以是方程的两个实数根．所以此时存在符合条件的正实数（10分）③当，时，由于，而，故此时不存在符合条件的正实数（11分）综上，存在符合条件的正实数，且（12分）