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浙江省宁波市镇海中学2022-2023学年高一数学上学期期中试卷(Word版附解析)

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镇海中学2022学年第一学期期中考试高一年级数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,给出下列四个对应关系,其中能构成从M到N的函数的是()AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据映射,带值检验即可解决.【详解】对于,当时,,故B错;对于,当时,,故C错;对于,当时,,故D错;故选:A.2.已知,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】A令即可判断;B、C应用作差法判断大小关系;D利用基本不等式,注意等号成立条件判断即可.【详解】A:当时,错误;B:,而,故,错误; C:,而,若时,错误;D:,当且仅当时等号成立,而,故,正确.故选:D3.设,则“”是“关于x的不等式有解”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先分,,讨论,求出不等式有解时的范围,再通过充分性和必要性的概念得答案.【详解】关于x的不等式有解当时,,得,符合有解;当时,或,解得或关于x不等式有解得,故“”是“关于x的不等式有解”的必要不充分条件故选:B.4.已知集合,集合,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据4和6的最小公倍数为12,得,而,易得两集合之间关系.【详解】,且,,,又,则集合中的元素应为12的正整数倍,集合中的元素为24的整数倍,故,.可知,当元素满足为24的整数倍时,必满足为12的正整数倍,则故A,B错误,对D选项,若,则此元素既不在集合中,也不在集合中,故D错误,故选:C.5.下列判断正确的是()A.函数既是奇函数又是偶函数B.函数是非奇非偶函数C.函数是偶函数D.函数是奇函数【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性的定义和性质,逐项判断即可.【详解】解:对于A,,所以,故函数是偶函数,不是奇函数,故A错误;对于B,函数的定义域为,所以,则为奇函数,故B错误;对于C,函数定义域满足,定义域不关于原点对称, 则函数非奇非偶,故C错误;对于D,函数的定义域为,所以,则函数是奇函数,故D正确.故选:D.6.已知函数,则函数的图象关于y轴对称的图象是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先对时,函数单调性进行分析,然后得到其图像关于轴对称后的单调性,再讨论时,利用基本不等式等到它在此范围内的最值,然后得到其图像关于轴对称后的最值.【详解】当时,,设,,根据减函数加上减函数为减函数,则在单调递减,故当其关于对称后,变为当时,对称后的函数在 上单调递增,故A,B,D错误,当时,,当且仅当时等号成立,故当其关于对称后,变为,应有最小值2,故选:C.7.已知定义在上的偶函数在区间上单调递增,则满足的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据为偶函数得出的对称轴,单调性得出的单调性,由根据题意列不等式求解即可.【详解】由题知:是在上的偶函数,所以关于轴对称,因为在区间上单调递增,所以在区间上单调递减,所以关于轴对称,在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以,因为,所以,解得:, 所以取值范围为,故选:A.8.已知集合,,,.若,则集合A中元素个数的最大值为()A.1347B.1348C.1349D.1350【答案】C【解析】【分析】通过假设,求出相应的,通过建立不等关系求出相应的值.【详解】设满足题意,其中,则,,,,,,中最小的元素为1,最大的元素为,,,,实际上当时满足题意,证明如下:设,则, 由题知,即,故的最小值为674,于是时,中的元素最多,即时满足题意,终上所述,集合中元素的个数的最大值为1349故选:C.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.函数,,若,则实数的值可能为()A.1B.2C.3D.0【答案】BD【解析】分析】首先求出,再代入中,解指数方程即可.【详解】依题意得,,则,即,解得或者.故选:BD10.下列说法错误是()A.命题“存在,使得不等式成立”的否定是“任意,都有不等式成立”B.已知,,则C.“成立”是“成立”的充要条件D.关于x的方程有一个正根,一个负根的充要条件是【答案】AD【解析】【分析】A.利用存在命题的否定式全称命题,并否定结论来判断;B.利用不等式的性质判断;C.根据充分性和必要性的概念来判断; D.利用判别式和韦达定理来判断.【详解】A.命题“存在,使得不等式成立”的否定是“任意,都有不等式成立”,A错误;B.,则,又,根据不等式的性质,两式相加得,可推出,B正确;C.由得,对于,有当时,,故“成立”是“成立”的充要条件,C正确;D.关于x的方程有一个正根,一个负根,则,解得,D错误.故选:AD.11.下列函数中满足性质:“存在两个不等实数、,使得成立”的是()A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用特殊值法可判断AC选项,利用作差法可判断B选项,利用图象法可判断D选项.【详解】对于A选项,取,,则,A选项中的满足满足条件; 对于B选项,对任意的、且,,所以,,B选项中的函数不满足条件;对于C选项,取,,则,,所以,,C选项中的函数满足条件;对于D选项,,该函数的定义域为,作出函数图象,如图,若要使,则需找,使得D为BC的中点,所以D选项中的函数满足条件.故选:ACD.12.已知定义在R上的函数,满足对,有,则称为“好函数”.下列说法中正确的是()A.若,则为“好函数”B.若为“好函数”,则为偶函数 C.若为“好函数”,则不一定是周期函数D.若为“好函数”,且,,则【答案】BCD【解析】【分析】利用赋值法,结合“好函数”、函数的奇偶性、周期性对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】令,则,故,令,则,可得,(则)或,即为偶函数,B正确;A选项中,不是偶函数,所以A错误.令,则,若,则,若,则,无法构成周期函数,C正确;若,,则,,,令则,故,则,故,令则,故,则,故,综上,,,,,,,,…可知是周期为4的函数,则,D正确.故选:BCD【点睛】关于新定义的抽象函数,解题关键点有三个,一个是赋值法,一个是新定义中“定 义”的理解和运用,一个是函数的基本性质的综合运用.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数的值域是______.【答案】【解析】【分析】利用判别式法即可求出函数的值域.【详解】由题知函数的定义域为,所以,将整理得,所以,当时,;当时,,解得,所以,,即函数的值域是故答案为:14.给定集合A和B,定义运算“”:.若,,则集合的子集的个数为______.【答案】8【解析】【分析】根据集合新定义确定集合的元素,按照子集概念求得集合的子集,即可得子集得个数.【详解】解:因为,,所以,则集合的子集有:共8个.故答案为:8. 15.已知实数x,y满足,则的最小值是______.【答案】【解析】【分析】由得,设,得,代入目标式整理,利用基本不等式求解最值.【详解】由得,设,得,,,当且仅当,即或,即或时等号成立的最小值是故答案为:.16.已知,函数,其中是自然对数的底数.若函数有且仅有三个零点,则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】首先作出的函数图像,令,将零点问题转化为二次函数零点,再一 步转化为与的图像交点问题,结合图像分析的范围,即可间接求出参数的范围.【详解】令,则的有且仅有三个零点,等价于与的图像有且仅有三个交点.①当只有一解时,此时,即.而时,代入,解得,此时与没有三个交点,舍去;当时,代入解得,由图像可知,此时与图像有有三个交点,符合题意,;②当有两个解时,即或.设解分别为和,则与以及两条直线有三个交点即可.,当时,由图形可知,不符合题意,故,此时.当,时,此时函数图像共有三个交点,则此时,由韦达定理知,,解得,与矛盾,不符合题意;当,时,由二次函数根分布的条件可知有,解得.综上所述,有三个零点时,范围为.故答案为:三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.17.计算求值:(1);(2). 【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据指数幂的运算性质计算即可;(2)根据对数的运算性质及换地公式计算即可.【小问1详解】【小问2详解】18.已知全集,设集合,.(1)若,求;(2)若Ü,求实数a的取值范围.【答案】(1)或;(2)或.【解析】【分析】(1)解一元二次不等式求集合A,应用集合补、并运算求结果.(2)由集合的包含关系,讨论、求参数范围,然后取并.【小问1详解】由题设,,故或,所以或. 【小问2详解】由Ü,若,即,可得或;若,则(区间端点等号不同时成立),可得;综上,或.19.二十大正式开幕,二十大报告中,“推动绿色发展,促进人与自然和谐共生”作为一章被单独罗列了出来,过去十年是生态文明建设和生态环境保护认识最深、力度最大、举措最实、推进最快、成效最显著的十年,而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题.目前,居民用户综合水价按三档分阶梯计价(如下表所示),阶梯水量以年为计价周期,周期之间不累计、不结转.阶梯用户用水量(吨)综合水价(元/吨)其中自来水费(元/吨)污水处理费(元/吨)第一阶梯0~144(含)3.502.501.00第二阶梯144~204(含)7.006.00第三阶梯204以上9.008.00(1)若一户家庭一年所交水费为756元,问其一年用水多少吨;(2)将居民缴纳的污水处理费视为污水处理厂的收入,一个中型污水处理厂的月处理污水量在30万吨到300万吨之间,中型污水处理厂的月处理成本y(万元)与月处理量x(万吨)之间的函数关系可近似地表示为,问该厂每月污水处理量为多少万吨时,才能使每万吨的处理利润最大?【答案】(1)吨;(2)每月处理万吨时处理利润最大.【解析】 【分析】(1)根据题设写出水费的分段函数表达式,再根据求对应用水量值即可;(2)由,结合二次函数性质求其最大值即可.【小问1详解】设用水量为吨,则:当,水费元;当,水费元;当,水费元;由题设,水费,当元,而,,所以,可得吨.【小问2详解】由题意,处理利润且,所以,在上递增,当万吨时,最大万元.20.已知函数是指数函数.(1)求a(2)设函数,,记在上的最小值为,求的最小值.【答案】(1)(2)1 【解析】【分析】(1)根据指数函数定义建立方程组即可求解.(2)首先根据题意求出的表达式,再利用换元法,将其转化成二次函数,讨论二次函数对称轴在区间的位置,分别求最小值,然后利用分段函数以及二次函数研究的最小值即可.【小问1详解】为指数函数,根据定义得,解得.此时.【小问2详解】由(1)可知,,则.令,,则只需求在上的最小值.当,即时,在上单调递增,此时在处取得最小值;当,即时,开口向上,在对称轴处取得最小值,即时,此时;当,即时,在上单调递减,此时在处取得最小值,. 综上,可得.由可得,当时,单调递减,在处取最小值;当时,;当时,单调递增,在处取最小值.综上的最小值为1.21.设函数是定义在R上的奇函数,当,.(1)求时,函数的解析式;(2)判断在R上的单调性;(3)解关于x的不等式,其中.【答案】(1);(2)在上单调递减;(3)见解析.【解析】【分析】(1)令,根据其为奇函数,则;(2)因其是奇函数,则只需证明在上单调性,利用定义法证明其单调性,取值,作差,因式分解,判定符号,得到结论.(3)根据其为奇函数移项得,根据其为单调减函数,则,接下来对分类讨论即可.【小问1详解】当,则,根据为奇函数, 则,【小问2详解】在上单调递减,理由:为奇函数,且,故我们证明其在上单调性,任取,且,,所以,,,即,在上单调递减,又因为为分段函数的衔接点,且为奇函数,则在上单调递减.【小问3详解】,则,因为为奇函数,则,因为在上单调递减,则,,即,即,①当时,,解得,②当时,,不等式化为,解得或;③当时,,不等式为,解得;④当时,,不等式为,解得;⑤当时,,不等式为,解得;综上知,时,不等式的解集为; 时,不等式的解集为时,不等式的解集为时,不等式的解集为.22.已知函数,其中.(1)当时,函数在区间和上单调递增,求a的取值范围;(2)若对任意的实数a,都存在,使得不等式成立,求实数b的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)令,知,设两个零点为,去掉绝对值后,得,根据函数在区间和上单调递增,列出不等式,求出即可.(2)原问题中的命题为全称命题,可先求出满足其命题的否定形式的实数b的取值范围,求出的取值范围的反面就是满足原题命题要求的实数b的取值范围.【小问1详解】当时,令,,所以一定有两个零点,设为,且,则,则当或时,有,则; 当时,有,则.所以,函数,因为在题中区间单调递增,所以,当时,函数在上单调递减,则要使,函数在区间上单调递增,应满足,即有,解得;又函数在区间上单调递增,显然在R上连续,则应满足,解得.所以,a的取值范围为.【小问2详解】问题条件“对任意的实数a,都存在,使得不等式成立”,由此可先确定问题条件得反问为“存在实数a,对于任意,使得不等式成立”,只要,的最大值和最小值之差小于2即可,因为在为增函数,所以,,解得且故满足问题(2)的实数b的取值范围为:

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-02-13 10:23:03 页数:21
价格:¥2 大小:1.29 MB
文章作者:随遇而安

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