浙江省杭州第十四中学2022-2023学年高一数学上学期期中试卷（Word版附解析）

杭十四中二○二二学年第一学期阶段性测试高一年级数学学科试卷一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多远进､错选均不得分1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据定义求交集即可.【详解】由题，集合有公共元素5，所以.故选：A2.已知点在幂函数的图像上，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的系数为可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而可求得的值.【详解】由于函数为幂函数，则，解得，则，由已知条件可得，得，因此，.故选：A.3.下列说法正确的是（）A.命题“若，则”假命题 B.“”是“”的必要不充分条件C.命“若实数x满足，则或”为假命题D.命题“，使得”的否定是：“，均有”【答案】A【解析】【分析】解出判断A选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断B选项；解方程可判断C选项；利用存在量词命题的否定可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，所以或，故命题为假命题，所以A选项正确.对于B选项，解方程可得或，所以，“”是“”的充分不必要条件，B错；对于C选项，解方程可得或，所以，命题“若实数满足，则或”为真命题，C错；对于D选项，命题“，使得”否定是：“，均有”，D错故选：A.4.关于的不等式的解集为，则的最小值是（）A.4B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】先求得不等式解集，再运用基本不等式求得最值. 【详解】不等式的解集为，所以，所以（当且仅当时取“=”）.故选：A.【点睛】利用基本不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．5.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据函数值的情况判断即可.【详解】解：因为函数的定义域为，， 所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；当时，，当时，，排除C．故选：D．6.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可比较.【详解】在为增函数，，即，为减函数，，即，，故选：C.【点睛】本题考查了指数函数和幂函数的单调性，属于基础题.7.已知函数，，设，，若存在，，使得，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】由题意，先求出，则有，从而将原问题转化为方程在上有解，分离参数转化为求函数值域即可得答案.【详解】解：因为，所以，由，即，得，因为，所以原问题转化为方程在上有解，即在上有解，因为，所以，所以实数的取值范围是，故选：C.8.已知函数.若对于任意，都有，则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先利用换元法求出的解析式，依题意等价于，令，则在上单调递减，根据反比例函数的性质即可得到不等式，解得即可；【详解】解：令，则，所以，即，因为时等价于 ，即.令，则在上单调递减，所以或，解得或，即.故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，9.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（）A.函数有3个单调区间B.当时，C.函数有最小值D.不等式的解集是【答案】BC【解析】【分析】利用奇偶性求出的表达式，再逐项求出单调区间、最值以及不等式的解集即可判断.【详解】解：当时，，因为时，所以，又因为是定义在上的偶函数所以时，即如图所示： 对A，由图知，函数有个单调区间，故A错误；对B，由上述分析知，当时，，故B正确；对C，由图知，当或时，函数取得最小值，故C正确；对D，由图知，不等式的解集是，故D错误.故选：BC.10.已知，则下列四个命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AC【解析】【分析】根据不等式的性质判断即可．【详解】解：由不等式的性质知当，故A对；若，则，故B错；， ，，故C对；，故D错．故选：AC．11.已知集合A中含有6个元素，全集中共有12个元素，中有m个元素，已知，则集合B中元素个数可能为（）A.2B.6C.8D.12【答案】BC【解析】【分析】根据中有m个元素，中有个元素，设集合B中元素个数为x，再根据集合A中含有6个元素，中共有12个元素，由求解.【详解】解：因为中有m个元素，所以中有个元素，设集合B中元素个数为x，又集合A中含有6个元素，则，即，因为，所以，又中共有12个元素，所以，则，故选：BC12.形如的函数，我们称之为“对勾函数”．“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增．已知函数在 上的最大值比最小值大1，则a的值可以是（）A.4B.12C.D.【答案】AD【解析】【分析】结合已知条件，利用与区间的位置关系以及对勾函数单调性即可求解.【详解】由对勾函数性质可得，在上单调递减，在上单调递增．①当，即时，在上单调递增，，解得，满足题意；②当，即时，在上单调递减，，解得，不满足题意，舍去；③当，即，在上单调递减，在上单调递增，，(i)当时，即时，，故，解得或，均不满足题意，舍去；(ii)当时，即时，，从而，解得，满足题意.综上所述，a的值所组成的集合为.故选：AD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.求值：______.【答案】6【解析】【分析】利用对数恒等变换及分数指数幂运算得解【详解】解：原式.故答案为：6.【点睛】掌握对数恒等变换是解题关键14.设函数则___________.【答案】16【解析】【分析】利用分段函数的定义，即可求得的值.【详解】由题意得，.故答案为：16.15.如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a升水，后剩余的水符合指数衰减曲线，那么桶2中的水就是．假设过后，桶1和桶2的水量相等，则再过后桶1中的水只有升，则m的值为___________．【答案】10【解析】【分析】根据5分钟后桶1和桶2的水量相等求得的值，将其代入解析式，令函数值为 ，解方程即可计算出时间．【详解】解：由题意得，解得，再经过后，桶1中的水只有升，则，即，，解得．故答案为：10．16.已知正实数满足，则的最小值是________【答案】【解析】【分析】由题意得出，令，结合基本不等式得出最小值.【详解】由题意得，令，则当且仅当，即时，取等号，则的最小值是故答案为： 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合.（1）当时，求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先解分式不等式求解出集合，然后将代入求解出集合，然后根据交集的运算定义进行求解即可；（2）由，可得，然后分和两种情况分类讨论，根据子集的定义求解参数的取值范围.【小问1详解】，当时，，因此.小问2详解】，，若，则，解得；若，则，解得.综上所述得，故的取值范围为.18.已知是定义在上的奇函数，，当时的解析式为.（1）写出在上的解析式；（2）求在上的最值. 【答案】（1）（2）最大值为0，最小值为【解析】【分析】（1）先求得参数，再依据奇函数性质即可求得在上的解析式；（2）转化为二次函数在给定区间求值域即可解决.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，所以，即，由，得，由，解得，则当时，函数解析式为设，则，，即当时，【小问2详解】当时，，所以当，即时，的最大值为0，当，即时，的最小值为.19.已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；（3）若实数，（，）满足，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）2．【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式； （2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解；（3）由基本不等式求得最小值．【详解】解析：（1）．，，（）即或在上单调递增，为偶函数即（2），，，∴（3）由题可知，，当且仅当，即，时等号成立．所以的最小值是2．20.已知函数.（1）当时，解关于的不等式.（2）不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据题意，等价于，进而分，，三种情况讨论求解；（2）由题知对任意恒成立，进而结合基本不等式求解即可.【小问1详解】解：等价于，所以，等价于，因为，所以，当时，，的解集为，当时，，的解集为，当时，，的解集为，综上，当时的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为.【小问2详解】解：因为不等式对任意恒成立，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，所以， 所以对任意恒成立，因为，当且仅当，即，时等号成立，所以，，即实数的取值范围为21.某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为am的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点A，B分别在这两墙角线上，现有三种方案：方案甲：如图1，围成区域为三角形；方案乙：如图2，围成区域为矩形；方案丙：如图3，围成区域为梯形，且.（1）在方案乙、丙中，设，分别用x表示围成区域的面积，;（2）为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由.【答案】（1），；，.（2）农户应该选择方案三，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据矩形面积与梯形的面积公式表示即可得答案； （2）先根据基本不等式研究方案甲得面积的最大值为，再根据二次函数的性质结合（1）研究，的最大值即可得答案.【小问1详解】解：对于方案乙，当时，，所以矩形的面积，；对于方案丙，当时，，由于所以，所以梯形的面积为，.【小问2详解】解：对于方案甲，设，则，所以三角形的面积为，当且仅当时等号成立，故方案甲的鸡圈面积最大值为.对于方案乙，由（1）得，，当且仅当时取得最大值.故方案乙的鸡圈面积最大值为； 对于方案丙，，.当且仅当时取得最大值.故方案丙的鸡圈面积最大值为；由于所以农户应该选择方案丙，此时鸡圈面积最大.22.给定函数．且用表示，的较大者，记为．（1）若，试写出的解析式，并求的最小值；（2）若函数的最小值为，试求实数的值．【答案】（1），；（2）或．【解析】【分析】由的定义可得，（1）将代入，写出解析式，结合分段区间，求，的最小值并比较大小，即可得的最小值；（2）结合的解析式及对称轴，讨论、、分别求得对应最小值关于的表达式，结合已知求值.【详解】由题意，当时，，当时，， ∴（1）当时，，∴当时，，此时，当时，，此时，.（2），且对称轴分别为，①当时，即时，在单调递减，单调递增； ，即，（舍去），②当，即时，在单调递减，单调递增；，有，故此时无解.③当，即时，在单调递减，单调递增；，即，（舍去）综上，得：或.【点睛】关键点点睛：写出的解析式，第二问需结合各分段上的函数性质-对称轴，讨论参数范围求最小值关于参数的表达式，进而求参数值.