重庆市七校2021-2022学年高二数学上学期期末试卷（Word版附答案）

2021-2022学年度第一学期期末七校联考高二数学试题命题学校：重庆市合川中学试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3.答非选择题时，必须使用毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上．4.考试结束后，将答题卷交回．第I卷（选择题共60分）一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案请涂写在机读卡上.1.（原创）若直线与直线互相平行，则（）A.B.　C.　D.2.（原创）双曲线的渐近线方程是（）　　A．B.C.　D.3.（原创）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（）A．31B．32　　C．63　　D．644.（原创）已知直线与圆相交于两点，则弦长的值为（　）A.B.　C.　　D.5.（原创）已知圆，圆，则圆与圆　　的位置关系是（　）　　Ａ．相离B．相交　C．内切　　D．外切6.（改编）已知数列的前项和为，若，，则等于（　）　A．　　　B．　　　C．　　　　D．7.（改编）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家 和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基　 米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，且当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）；（3）．若经过抛物线　的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点在直线上，则直线的方程为（　）A.　B.　C.D.1.（改编）已知圆与轴的交点分别为点是直线上的任意一点，椭圆以为焦点且过点，则椭圆的离心率的取值范围为（　）A.　　　　　B.　　　　C.　　　　D.一、多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.2.（原创）下列说法中，正确的是（　）A.直线在轴上的截距是3　B.直线的倾斜角为C.三点共线　　　D.直线与垂直3.（改编）已知递减的等差数列的前项和为，，则（　）A.　B.　C.　D.最大4.（改编）已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差直线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（　）A．B．　C．D．12.（改编）在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的有（　） A．直线平面B．三棱锥体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最小值为第II卷（非选择题共90分）一、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中的横线上.13.（原创）若，则的值为.14.（改编）中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，　　月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入　　25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第10月营收贯数为.15.（原创）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为.16.（改编）已知抛物线的焦点与双曲线的左焦点相同，为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，的中点为，若，且直线的斜率为，则，双曲线的离心率为.（本题第一空为2分，第二空为3分）四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明　　过程或演算步骤.）17.（原创）（本小题满分10分）已知公差不为零的等差数列中，为其前项和，　　，成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.18.（原创）（本小题满分12分）已知圆以直线和的交点为圆心，且过点.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）若过点的直线与圆相切，求直线的方程. 13.（改编）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，，，为中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离.14.（改编）（本小题满分12分）已知抛物线的焦点到准线的距离与双曲线的离心率相等.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若点在抛物线上，过作抛物线的两弦与，若两弦所在直线的斜率之积为，求证：直线过定点.15.（改编）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，点在上，且，点在上，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值；（III）在第（Ⅱ）问条件下，线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.22.（改编）（本小题满分12分）设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们斜率之积为.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为(其中)的直线过点，且与曲线交于点，弦的中点为，为坐标原点，直线与曲线交于点，求四边形的面积的取值范围. 　 2021-2022学年度第一学期期末七校联考高二数学试题参考答案一、选择题题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＢＤＣＡＤＣＡＡＢＣＡＣＤＡＤＡＢＤ二、填空题13、414、6015、316、4；三、解答题17.解（Ⅰ）由，有①.......................................1分又，有②.......................................2分又因为公差不为零，由①②解得，.......................................4分从而........................................5分（Ⅱ）由已知，.......................................7分.......................................8分.......................................10分18.解（Ⅰ）由，得圆心........................................2分又圆过点，则，......................................4分从而圆的标准方程为.....................................5分（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，此时与圆相切，则直线的方程为........................................7分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.由已知，圆心到直线的距离，解得.......................................10分则直线的方程为........................................11分综上所述，直线的方程为或.......................................12分19.（Ⅰ）证明：取线段的中点，连接､.因为在中，，且，.......................................2分所以，所以四边形是平行四边形，.......................................4分 所以，又平面平面，所以平面........................................5分（Ⅱ）因为，所以.因为平面平面，所以.所以､､两两垂直，所以以为原点，､､所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系........................................6分设平面的法向量为，，，，，则，从而有令，得，所以.......................................9分又，则...............................11分所以点到平面的距离为.......................................12分（注：本小问用等体积法求解也可.）20.（Ⅰ）由已知，双曲线的离心率......................................1分则.....................................2分所以抛物线的方程为......................................3分（Ⅱ）因为点在上，则，从而......................................4分设点，显然直线的斜率不为0......................................5分设直线，由，有所以，，.....................................6分因为，则......................................7分又因为在抛物线上，所以则， 所以，即.....................................10分从而，即......................................11分即直线，即，所以直线过定点......................................12分21.（Ⅰ）由，即△为等腰直角三角形，又是直角梯形且，且，所以，因为，故为等腰直角三角形，所以，，，又，，∴，，又，即，∴四边形为平行四边形，则.又，故，.....................................2分由底面，面，则......................................3分又，∴面，而面，∴平面平面.....................................4分（Ⅱ）直线与平面所成角的平面角为，则，.....................................5分如下图，以为原点，､､所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系.∴，，∴，若是面的一个法向量，则，令有，....................................7分易知，是面的一个法向量，∴.又二面角为锐二面角， ∴当直线与平面所成的角为时，二面角的余弦值为.....................................9分（III）在第（Ⅱ）问条件下，线段上不存在点，使得平面，理由如下：，是面的一个法向量.....................................10分设，则，从而.若平面，则，解得，不合题意，所以线段上不存在点，使得平面.....................................12分21.（Ⅰ）设，则，从而有....................1分化简得，....................................2分又因为，所以点的轨迹方程为....................................3分（Ⅱ）由消，得设，则，恒成立.....................................5分则，....................................6分由得所以，则. 由得，即为两点的坐标....................................8分所以点到直线的距离之和为=2，...................................10分则=××=又因为，故的取值范围为....................................12分