河南省平顶山市2021-2022学年高二数学（理）上学期期末试卷（Word版附解析）

2021-2022学年第一学期高二期末调研考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若a，b，c为实数，且，则以下不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质直接推导和取值验证相结合可解.【详解】取可排除ABD；由不等式的性质易得C正确.故选：C2.若命题为“，”，则为（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“，”的否命题为“，”，故选：B3.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）A.25.5尺B.34.5尺C.37.5尺D.96尺【答案】A【解析】【分析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公 差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，从而得到答案．【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.由题可知，所以，，，，故选：A．4.已知实数，满足不等式组，若，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，然后根据线性规划的几何意义求得答案.【详解】作出不等式组所对应的可行域如图三角形阴影部分， 平行移动直线直线，可以看到当移动过点A时，在y轴上的截距最小,联立，解得，当且仅当动直线即过点时，取得最小值为，故选：B5.已知命题：，，命题：，，则（）A.是假命题B.是真命题C.是真命题D.是假命题【答案】C【解析】【分析】先分别判断命题、的真假，再利用逻辑联结词“或”与“且”判断命题的真假.【详解】由题意，，所以，成立，即命题为真命题，，所以不存在，使得，即命题为假命题，所以是假命题，为真命题，所以是真命题，是假命题，是假命题，是真命题. 故选：C6.设为椭圆上一点，，为左、右焦点，且，则（）A.为锐角三角形B.为钝角三角形C.为直角三角形D.，，三点构不成三角形【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程求出，然后结合椭圆定义和已知条件求出并求出，进而判断答案.【详解】由题意可知，，由椭圆的定义可知，而，联立方程解得，且，则6+2=8，即不构成三角形.故选：D.7.设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（）A.越大，双曲线开口越小B.越小，双曲线开口越大C.越大，双曲线开口越大D.越小，双曲线开口越大【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的性质结合离心率对双曲线开口大小的影响即可得解.【详解】解：对于A，越大，双曲线开口越大，故A错误；对于B，越小，双曲线开口越小，故B错误；对于C，由，越大，则越大，双曲线开口越大，故C正确；对于D，越小，则越小，双曲线开口越小，故D错误.故选：C. 8.已知，为正实数，且，则的最小值为（）A.B.C.D.1【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式可求的最小值.【详解】可化为，由基本不等式可得，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：D.9.在中，，，且BC边上的高为，则满足条件的的个数为（）A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】【分析】利用等面积法求得，再利用正弦定理求得，利用内角和的关系及两角和差化积公式，二倍角公式转化为，再利用正弦函数的性质求满足条的的个数，即可求解.【详解】由三角形的面积公式知，即由正弦定理知所以，即，即，即 利用两角和的正弦公式结合二倍角公式化简得又，则，，且由正弦函数的性质可知，满足的有2个，即满足条件的的个数为2.故选：B10.某海关缉私艇在执行巡逻任务时，发现其所在位置正西方向20nmile处有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏东30°的方向逃窜，若缉私艇突然发生机械故障，20min后才以的速度开始追赶，则在走私船只不改变航向和速度的情况下，缉私艇追上走私船只的最短时间为（）A.1hB.C.D.【答案】A【解析】【分析】设小时后，相遇地点为，在三角形中根据题目条件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.【详解】以缉私艇为原点，建立如下图所示的直角坐标系.图中走私船所在位置为，设缉私艇追上走私船的最短时间为，相遇地点为.则，走私船以的速度向北偏东30°的方向逃窜，60°.因为20min后缉私艇才以的速度开始追赶走私船，所以20min走私船行走了，到达.在三角形中，由余弦定理知：，则，所以.在三角形中，，，有：，化简得：，则. 缉私艇追上走私船只的最短时间为1h.故选：A.点睛】11.在平行六面体中，，，，则（）A.B.5C.D.3【答案】B【解析】【分析】由，则结合已知条件及模长公式即可求解.【详解】解：，所以，所以，故选：B. 12.已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，前项和为．若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】用基本量表示可得基本量的关系式，从而可得，故可得正确的选项.【详解】若，则，而，此时，这与题设不合，故，故，故，而，故，此时不确定， 故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在正项等比数列中，，，则的公比为___________.【答案】3【解析】【分析】由题设知等比数列公比，根据已知条件及等比数列通项公式列方程求公比即可.【详解】由题设，等比数列公比，且，所以，可得或（舍），故公比为3.故答案为：314.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，且，则的离心率为___________.【答案】【解析】【分析】由双曲线定义可得a，代入点P坐标可得b，然后可解.【详解】由题知，故，又点在双曲线上，所以，解得，所以.故答案为：15.如图，已知正方形边长为，长方形中，，平面与平面互相垂直，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出，后可求异面直线所成角的余弦值.【详解】长方形可得，因为平面与平面互相垂直，平面平面，平面，故平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，故.故答案为：16.若，，都为正实数，，且，，成等比数列，则的最小值 为______．【答案】##【解析】【分析】利用等比中项及条件可得，进而可得，再利用基本不等式即得.【详解】∵，，都为正实数，，，成等比数列，∴，又，∴，即，∴，∴，当且仅当，即取等号.故答案为：.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，.（1）求的大小及△的面积；（2）求的值.【答案】（1），△的面积为；（2）.【解析】【分析】（1）应用余弦定理求的大小，由三角形面积公式求△的面积； （2）由（1）及正弦定理的边角关系可得，即可求目标式的值.【小问1详解】在△中，由余弦定理得：，又，则.所以△的面积为.【小问2详解】由（1）得：，由正弦定理得：，则，所以.18.设：，：.（1）若命题“，是真命题”，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到解集，根据题意列出不等式组，求出的取值范围；（2）先解不等式，再根据充分不必要条件得到是的真子集，进而求出的取值范围.【小问1详解】因为，由可得：，因为“，”为真命题，所以， 即，解得：.即的取值范围是.【小问2详解】因为，由可得：，，因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，所以（等号不同时取），解得：，即的取值范围是.19.已知在等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设的公差为，由等差数列的通项公式结合条件可得答案.（2）由（1）可得，由错位相减法可得答案.【小问1详解】设的公差为，由已知得且，解得，，所以的通项公式为．【小问2详解】 由（1）可得，所以，所以，两式相减得：，所以，所以20.如图，在长方体中，，若点P为棱上一点，且，Q，R分别为棱上的点，且.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角；（2）用空间向量法求二面角．【小问1详解】以D为坐标原点，射线方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.当时，，所以，设平面的法向量为，所以，即不妨得，，又，所以，则【小问2详解】在长方体中， 因为平面，所以平面平面，因为平面与平面交于，因为四边形为正方形，所以，所以平面，即为平面的一个法向量，，所以，又平面的法向量为，所以.21.已知椭圆：的离心率为，且经过点.（1）求的方程；（2）设的右焦点为F，过F作两条互相垂直的直线AB和DE，其中A，B，D，E都在椭圆上，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率为，及经过点建立等式可求解；（2）分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，计算与后再求范围即可.【小问1详解】由题意知的离心率为，整理得，又因为经过点，所以，解得， 所以，因此，的方程为.小问2详解】由已知可得，当直线AB或DE有一条的斜率不存在时，可得，或，，此时有或.当AB和DE的斜率都存在时且不为0时，设直线：，直线：，，，，由得，所以，，所以，用替换可得.所以，综上所述，的取值范围为.22.已知抛物线：（）的焦点为，点在上，点在的内侧，且的最小值为．（1）求的方程； （2）过点的直线与抛物线交于不同的两点，，直线，（为坐标原点）分别交直线于点，记直线，，的斜率分别为，，，若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出抛物线的准线，作于由抛物线的定义，可得，从而当且仅当，，三点共线时取得最小，得出答案.（2）设，，设：与抛物线方程联立，得出韦达定理，设出直线的方程分别与直线的方程联立得出点的坐标，进一步得到，的表达式，由条件可得答案.【小问1详解】的准线为：，作于，则，所以，因为点在的内侧，所以当且仅当，，三点共线时取得最小值，所以，解得，所以的方程为．【小问2详解】 由题意可知的斜率一定存在，且不为0，设：（），联立消去得，由，即，得，结合，知．记，，则直线的方程为．由得．易知，所以．同理可得．由，可得，即，化简得，