河南省南阳市2021-2022学年高二数学（文）上学期期末试卷（Word版附解析）

2021年秋期高中二年级期终质量评估数学试题（文）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，命题“若，则，全为0”的否命题是（）A.若，则，全不为0.B.若，不全为0，则.C.若，则，不全为0.D.若，则，全不为0.【答案】C【解析】【分析】根据四种命题的关系求解.【详解】因为否命题是否定原命题的条件和结论，所以命题“若，则，全为0”的否命题是：若，则，不全为0，故选：C2.已知数列是公差为等差数列，，则（）A.1B.3C.6D.9【答案】D【解析】【分析】结合等差数列的通项公式求得.【详解】设公差，.故选：D3.春秋时期孔子及其弟子所著的《论语·颜渊》中有句话：“非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动.”意思是：不符合礼的不看，不符合礼的不听，不符合礼的不说，不符合礼的不做.“非礼勿听”可以理解为：如果不合礼，那么就不听.从数学角度来说，“合礼”是“听”的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】如果不合礼，那么就不听.转化为它的逆否命题.即可判断出答案.【详解】如果不合礼，那么就不听的逆否命题为：如果听，那么就合理.故“合礼”是“听”的必要条件.故选：B.4.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A.B.0C.6D.8【答案】C【解析】【分析】画出可行域，利用几何意义求出目标函数最大值.【详解】画出图形，如图所示：阴影部分即为可行域，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值.故选：C5.已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点到椭圆中心的距离的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】不妨设椭圆的焦点在轴上，设点，则，且有，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，则该椭圆的标准方程为，设点，则，且有，所以，.故选：A.6.已知函数，为的导数，则（）A.-1B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】由导数的乘法法则救是导函数后可得结论．【详解】解：由题意，，所以.故选：B．7.不等式的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式，由此判断必要不充分条件.【详解】，解得， 所以不等式的一个必要不充分条件是.故选：B8.下列说法正确的个数有（）个①在中，若，则②是，，成等比数列的充要条件③直线是双曲线的一条渐近线④函数的导函数是，若，则是函数的极值点A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据三角函数、等比数列、双曲线和导数知识逐项分析即可求解.【详解】①在中，则有，因，所以，又余弦函数在上单调递减，所以，故①正确，②当且时，此时，但是，，不成等比数列，故②错误，③由双曲线可得双曲线的渐近线为，故③错误，④“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件，故④错误.故选：B.9.已知动圆过定点，并且与定圆外切，则动圆的圆心的轨迹是（）A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.双曲线的一支【答案】D【解析】【分析】结合双曲线定义的有关知识确定正确选项.【详解】圆圆心为，半径为， 依题意可知，结合双曲线的定义可知，的轨迹为双曲线的一支.故选：D10.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上单调递增，转化为导函数在该区间上大于等于0恒成立，进而求出结果.【详解】由题意得：在区间上恒成立，而，所以.故选：A11.若数列的前项和，则此数列是（）A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上说法均不对【答案】D【解析】【分析】利用数列通项与前n项和的关系和等差数列及等比数列的定义判断.【详解】当时，，当时，，当时，，所以是等差数列；当时，为非等差数列，非等比数列’当时，，所以是等比数列，故选：D12.已知函数是定义在上奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，分析该函数的定义域与奇偶性，利用导数分析出函数在上为增函数，从而可知该函数在上为减函数，综合可得出原不等式的解集.【详解】令，则函数的定义域为，且，则函数为偶函数，所以，，当时，，所以，函数在上为增函数，故函数在上为减函数，由等价于或：当时，由可得；当时，由可得.综上所述，不等式的解集为.故选：A.二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知命题，则命题的的否定是___________.【答案】【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题即，故答案为：14.抛物线的准线方程是___________.【答案】【解析】【分析】先根据抛物线方程求出，进而求出准线方程.【详解】抛物线为，则，解得：，准线方程为：.故答案为：15.过点作斜率为的直线与椭圆相交于、两个不同点，若是的中点，则该椭圆的离心率___________.【答案】【解析】【分析】利用点差法可求得的值，利用离心率公式的值.【详解】设点、，则，由已知可得，由题意可得，将两个等式相减得，所以，，因此，. 故答案为：.16.已知数列满足（），设数列满足：，数列的前项和为，若（）恒成立，则的取值范围是________【答案】【解析】【分析】先由条件求出的通项公式，得到，由裂项相消法再求出，根据不等式恒成立求出参数的范围即可.【详解】当时，有当时，由①有②由①－②得：所以，当时也成立.所以,故则由，即，所以所以，由所以故答案为： 【点睛】本题考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和以及数列不等式问题，属于中档题.三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知，，分别为三个内角,,的对边，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.【答案】(1)(2)=2【解析】【详解】(Ⅰ)由及正弦定理得由于，所以，又，故.(Ⅱ)的面积==,故=4，而故=8，解得=218.已知函数，其中为实数.（1）若函数的图像在处的切线与直线平行，求函数的解析式；（2）若，求在上的最大值和最小值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根据平行关系得到切线斜率，进而得到导函数在处的函数值，列出方程，求出，进而得到函数解析式；（2）先由求出，再利用导函数求单调性和最值. 【小问1详解】，.由题意得：，解得：.，【小问2详解】，则，解得，，，当，解得：，即函数在单调递减，当，解得：或，即函数分别在，递增.又，，，，，.19.已知数列中，，.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，（2） 【解析】【分析】（1）由，取倒数得到，再利用等差数列的定义求解；（2）由（1）得到，利用错位相减法求解.【小问1详解】证明：由，以及，显然，所以，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以；【小问2详解】由（1）可得，，所以数列的前项和①所以②则由②-①可得：，所以数列的前项和.20.已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点 到焦点的距离是5.（1）求该抛物线的标准方程和的值；（2）若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据点到焦点的距离等于5，利用抛物线的定义求得p，进而得到抛物线方程，然后将点代入抛物线求解；（2）方法一：设直线方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用数量积的运算求解；方法二：根据直线过点，分直线的斜率不存在时，检验即可；当直线的斜率存在时，设直线方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用向量的数量积运算求解.【小问1详解】解：∵抛物线焦点在轴上，且过点，∴设抛物线方程为，由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5，即点到准线的距离等于5，则，，∴抛物线方程为，又点在抛物线上，，，∴所求抛物线方程为，.【小问2详解】方法一：由于直线过点，可设直线方程为：， 由得，设，，则，，所以，即为定值；方法二：由于直线过点，①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，则由可得，，，所以；②当直线的斜率存在时可设直线方程为：，由得，设，，则，.所以，即为定值.综上，为定值.21.已知函数的图像在（为自然对数的底数）处取得极值.（1）求实数的值；（2）若不等式在恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由求得的值.（2）由分离常数，通过构造函数法，结合导数求得的取值范围.【小问1详解】因为，所以，因为函数的图像在点处取得极值，所以，，经检验，符合题意，所以；【小问2详解】由（1）知，，所以在恒成立，即对任意恒成立.令，则.设，易得是增函数，所以，所以，所以函数在上为增函数，则，所以.22.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，焦距为，过点作直线交椭圆于两点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆相交于两点，求定点与交点所构成的三角形面积的最大值. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，，再由，即可求解.（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立求得关于的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式配方即可求解.【详解】解（1）由题意得：，，∴，∴∴椭圆的方程为(2)∵直线的斜率为，∴可设直线的方程为与椭圆的方程联立可得：①设两点的坐标为，由韦达定理得：，∴点到直线的距离，∴由①知：，，令，则，∴令，则在上的最大值为∴的最大值为 综上所述：三角形面积的最大值2.【点睛】本题考查了根据求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆额位置关系中三角形面积问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.