河南省洛阳市2021-2022学年高二数学上学期期末（文）试卷（Word版附解析）

洛阳市2021-2022学年第一学期期末考试高二数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】，故选：A.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解.【详解】由，可得，即，当时，，但的符号不确定，所以充分性不成立；反之当时，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要条件.故选：D.3.已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知设抛物线方程为，由题意可得，求出，从而可得抛物线的方程【详解】因为抛物线的准线方程为，所以设抛物线方程为，则，得，所以抛物线方程，故选：D，4.已知等比数列的前n项和为，若，，则（）A.250B.210C.160D.90【答案】B【解析】【分析】设为等比数列，由此利用等比数列的前项和为能求出结果．【详解】设，等比数列的前项和为为等比数列，为等比数列，解得．故选：B．5.命题p：存在一个实数﹐它的绝对值不是正数.则下列结论正确的是（）A.：任意实数，它的绝对值是正数，为假命题B.：任意实数，它的绝对值不是正数，为假命题C.：存在一个实数，它的绝对值是正数，为真命题D.：存在一个实数，它的绝对值是负数，为真命题 【答案】A【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断，再利用特殊值判断命题的真假；【详解】解：因为命题p“存在一个实数﹐它的绝对值不是正数”为存在量词命题，其否定为“任意实数，它的绝对值是正数”，因为，所以为假命题；故选：A6.在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（）A.B.1C.D.2【答案】C【解析】【分析】由余弦定理求出，利用正弦定理将边化角，再根据二倍角公式得到，即可得到，最后利用面积公式计算可得；【详解】解：因为，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以，即，所以或，即或（舍去），所以，因为，所以，所以；故选：C7.在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹记为C，则曲线C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】设，，则由题意可得，代入圆方程中化简可得曲线C的方程，从而可求出离心率【详解】设，，则，得，所以，因为点在圆上，所以，即，所以点的轨迹方程为，所以，则所以离心率为，故选：B8.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为、，其中，.如果这时气球的高度，则河流的宽度BC为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意得，，，然后在和求出，从而可求出值 【详解】如图，由题意得，，，在中，，在中，，所以，故选：D9.下列结论中正确的个数为（）①，；②；③．A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】构造函数利用导数说明函数的单调性，即可判断大小，从而得解；【详解】解：令，，则，所以在上单调递增，所以，即，即，，故①正确；令，，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立，所以，故②正确；令，，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，当且仅当时取等号，故③错误；故选：C 10.已知双曲线，过点作直线l，若l与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】先确定双曲线的右顶点，再分垂直轴、与轴不垂直两种情况讨论，当与轴不垂直时，可设直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元整理，再分、两种情况讨论，即可得解．【详解】解：根据双曲线方程可知右顶点为，使与有且只有一个公共点情况为：①当垂直轴时，此时过点的直线方程为，与双曲线只有一个公共点，②当与轴不垂直时，可设直线方程为联立方程可得当即时，方程只有一个根，此时直线与双曲线只有一个公共点，当时，，整理可得即故选：D11.已知函数的定义域为，其导函数为，若，则下列式子一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，求出函数的导数，得到函数的单调性，即可得到，从而求出答案． 【详解】解：令，则，又不等式恒成立，所以，即，所以在单调递增，故，即，所以，故选：B．12.在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．【详解】解：如图设与圆切点分别为、、，则有，，，所以．根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即、，又，所以，所以方程为．故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线在点处的切线方程是______.【答案】x-y-2=0【解析】【详解】解：因为曲线在点（1,－1）处的切线方程是由点斜式可知为x-y-2=014.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】作出该不等式表示的平面区域，由的几何意义结合距离公式得出答案.【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示 过点作直线的垂线，垂足为因为表示原点与可行域中点之间的距离，所以的最小值为.故答案为：15.直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若，则直线l的斜率为______．【答案】【解析】【分析】如图，设，两点的抛物线的准线上的射影分别为，，过作的垂线，在三角形中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，利用在直角三角形中，求得，从而得出直线的斜率．【详解】解：如图，当在第一象限时，设，两点的抛物线的准线上的射影分别为，，过作的垂线，在三角形中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，由抛物线的定义可知：设，则，，，在直角三角形中，，所以，则直线的斜率；当在第四象限时，同理可得，直线的斜率，综上可得直线l的斜率为；故答案为：． 16.如图三角形数阵：123456789101112131415……按照自上而下，自左而右的顺序，2021位于第i行的第j列，则______．【答案】69【解析】【分析】由图可知，第行有个数，求出第行的最后一个数，从而可分析计算出，即可得出答案.【详解】解：由图可知，第行有个数，第行最后一个数为，因为，所以第行的最后一个数为2016，所以2021位第行，即， 又，所以2021位第行第5列，即，所以.故答案为：69.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B，A，C成等差数列.（1）求A的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差数列的性质结合内角和定理得出A的大小；（2）先由余弦定理，结合，，得到的关系式，再由的面积为，得到的关系式，两式联立可求出，进而可确定结果.【小问1详解】因为B，A，C成等差数列，所以，所以.【小问2详解】因为，，由余弦定理可得：；又的面积为，所以，所以，所以所以周长为. 18.已知，使；不等式对一切恒成立.如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】若为真命题，利用分离参数法结合指数函数性质，可得；若为真命题，利用分离参数法并结合基本不等式可得，再根据为真命题，为假命题，可知，一真命题一假命题；再分“为真命题，为假命题”和“为假命题，为真命题”两种情况，求解范围，即可得到结果.【详解】解：若为真命题，则有解，所以，即；若为真命题，则对一切恒成立,令,则,当且仅当，即时，取得最小值；所以，即；又为真命题，为假命题，所以，一真命题一假命题；当为真命题，为假命题时，，所以；当为假命题，为真命题时，，所以；综上所述，.19.已知数列的前n项和为，，且．（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前n项和为，求证：．【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和，即可证明；【小问1详解】解：因为，，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；【小问2详解】解：由（1）可知，所以①，所以②；①②得所以；20.已知点，点B为直线上的动点，过B作直线的垂线，线段AB的中垂线与交于点P．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若过点的直线l与曲线C交于M，N两点，求面积的最小值．（O为坐标原点）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，根据抛物线的定义可知点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，即可得到轨迹方程；（2）设直线方程为，，，， ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，则，代入韦达定理，即可求出面积最小值；【小问1详解】解：由已知可得，，即点到定点的距离等于到直线的距离，故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以点的轨迹方程为．【小问2详解】解：当直线的倾斜角为时，与曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的倾斜角不为时，设直线方程为，，，，，由，可得，，所以，，，，所以当且仅当时取等号，即面积的最小值为；21.已知，．（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）当时，，求实数a的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再解导函数的不等式，即可求出函数的单调递减区间；（2）依题意可得当时，当时，显然成立，当时只需，参变分离得到，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；【小问1详解】解：当时定义域为，所以，令，解得或，令，解得，所以的单调递减区间为；【小问2详解】解：由，即，即，当时显然成立，当时，只需，即，令，，则，所以在上单调递减，所以，所以，故实数的取值范围为. 22.已知椭圆的上一点处的切线方程为，椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为，离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P为直线上任一点，过P作椭圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，求出然后求解最小值，推出，，，得到双曲线方程．（2）设，，，，，即可得到，依题意可得以、为切点的切线方程，从而得到直线的方程，再分与两种情况讨论，即可得证；【小问1详解】解：设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，因为，所以，又，所以当且仅当时，，因为，所以，，因为，所以，故椭圆的标准方程为．【小问2详解】解：由（1）知，设，，，，，所以，由题知，以为切点的椭圆切线方程为，以为切点的椭圆切线方程为，又点在直线 、上，所以、，所以直线的方程为，当时，直线的斜率不存在，直线斜率为，所以，当时，，所以，所以，综上可得；