甘肃省武威市凉州区2021-2022学年高二数学（理）上学期期末试卷（Word版附解析）

2021-2022学年度第一学期期末质量检测试卷高二数学（理科）试卷分值：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上.卷I（选择题）一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）1.若，则下列正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质并结合反例，即可判断命题真假.【详解】对于选项A：若，则，由题意，，不妨令，，则此时，这与结论矛盾，故A错误；对于选项B：当时，若，则，故B错误；对于选项C：由，不妨令，，则此时，故C错误；对于选项D：由不等式性质，可知D正确.故选：D.2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可； 【详解】解：命题“，”为全称量词命题，其否定为，；故选：B3.某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取人，则高一年级学生人数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先得到从高二和高三年级抽取人，再利用分层抽样进行求解.【详解】设高一年级学生人数为，因为从三个年级中抽取一个容量为的样本，且高一年级抽取人，所以从高二和高三年级抽取人，则，解得，即高一年级学生人数为.故选：B4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】由三角函数的单调性直接判断是否能推出，反过来判断时，是否能推出.【详解】当时，利用正弦函数的单调性知；当 时，或.综上可知“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查判断充分必要条件，三角函数性质，意在考查基本判断方法，属于基础题型.5.在数列中，，则此数列最大项的值是（）A.102B.C.D.108【答案】D【解析】【分析】将将看作一个二次函数，利用二次函数的性质求解.【详解】将看作一个二次函数，其对称轴为，开口向下，因为，所以当时，取得最大值，故选：D6.已知，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式进行求解.【详解】因为，，所以 （当且仅当，即时取等号），即的最小值为4.故选：D.7.等差数列中，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由等差数列的前项和公式和性质进行求解.【详解】由题意，得.故选：C.8.动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（）A.椭圆B.双曲线C.线段D.不能确定【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的定义，即可得答案.【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，故选：A9.已知数列满足，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】判断出奇数项是等比数列，按照等比数列的通项公式计算即可.【详解】由，知奇数项为以1为首项，2为公比的等比数列，所以.故选：B. 10.等比数列的各项均为正数，且，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质，结合已知条件，求得，进而求得的值.【详解】由于数列是等比数列，故，所以，故.故选B.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题.11.已知椭圆：的离心率为，则实数（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，先求得的值，代入离心率公式，即可得答案.【详解】因为，所以所以，解得.故选：C12.双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则它的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】先利用直线的斜率判定一条渐近线与直线垂直，求出，再利用双曲线的离心率公式和进行求解.【详解】因为直线的斜率为，所以双曲线的一条渐近线与直线垂直，所以，即，则双曲线的离心率.故选：A.卷II（非选择题）二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）13.若“x2－2x－8>0”是“x<m”的必要不充分条件，则m最大值为________．【答案】【解析】【分析】解不等式，得到或，，根据必要不充分条件，得到是A的真子集，从而求出，得到m的最大值.【详解】，解得：或，所以记或，；若“x2－2x－8>0”是“x<m”的必要不充分条件，则是A的真子集．故，所以m最大值为故答案为：-214.若椭圆W：的离心率是，则m=___________.【答案】或【解析】【分析】按照椭圆的焦点在轴和在轴上两种情况分别求解，可得所求结果．【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，则有， 由题意得，解得．②当椭圆的焦点在轴上时，则有，由题意得，解得．综上可得或．故答案为或．【点睛】解答本题的关键有两个：一个是注意分类讨论思想方法的运用，注意椭圆焦点所在的位置；二是解题时要分清椭圆方程中各个参数的几何意义，然后再根据离心率的定义求解．15.若实数x，y满足约束条件，则的最大值是_________.【答案】##【解析】【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.【详解】，画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线到点时，取得最大值为. 故答案为：16.已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上一点，则的面积为________．【答案】【解析】【分析】先设出抛物线方程，写出准线方程和焦点坐标，利用得到抛物线方程，再利用三角形的面积公式进行求解.【详解】设抛物线的方程为，则焦点为，准线方程为，由题意，得，，，所以，解得，所以.故答案为：.三、解答题（本题共计6小题，共计70分）17.已知集合，. （1）当时，求AB；（2）设，，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，解得范围，可得，由可得：，解得．即可得出．（2）由，解得．根据是成立的必要条件，利用包含关系列不等式即可得出实数的取值范围．【详解】（1）由，解得，可得：．，可得：，化为：，解得，．所以=.（2）q是p成立的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集.由，解得．，又集合A=，所以或解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.等差数列的前n项和为，已知．（1）求的通项公式；（2）若，求n的最小值．【答案】（1）（2）12【解析】 【分析】（1）设的公差为d，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；（2）利用等差数的求和公式，得到，结合的单调性，即可求解.【小问1详解】解：设的公差为d，因为，可得，解得，所以，即数列的通项公式为．【小问2详解】解：由，可得，根据二次函数的性质且，可得单调递增，因为，所以当时，，故n的最小值为12．19.已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”.（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据方程为焦点在轴上的椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.（2）求得为真命题时的取值范围，结合是的必要不充分条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】（1）若是真命题，所以，解得，所以的取值范围是. （2）由（1）得，是真命题时，的取值范围是，为真命题时，，所以的取值范围是因为是的必要不充分条件，所以，所以，等号不同时取得，所以【点睛】本小题主要考查椭圆、双曲线，考查必要不充分条件求参数.20.已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）解不含参数的一元二次不等式即可求出结果；（2）二次函数的恒成立问题需要对二次项系数是否为0进行分类讨论，即可求出结果.【详解】（1）当时，，即，解得或，所以，解集为或.（2）因为在上恒成立，①当时，恒成立；②当时，，解得，综上，的取值范围为.21.已知函数，且）的图象经过点和 . （1）求实数，的值；（2）若，求数列前项和 .【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）将A、B点坐标代入，计算求解，即可得答案.（2）由（1）可得解析式，即可得，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式，即可得答案.【小问1详解】由已知，可得，所以，解得， .【小问2详解】由（1）得，又，所以，故 .22.已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C的方程；（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．【详解】（1），所以，即抛物线C的方程.（2）设，由得所以，所以.【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长的方法，(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解．