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湖南省衡阳市2021-2022学年高一数学上学期期末考试试卷(Word版附解析)
湖南省衡阳市2021-2022学年高一数学上学期期末考试试卷(Word版附解析)
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2021—2022学年度衡阳市高中一年级质量检测数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用对数的换底公式可求得的值,再利用指数的运算性质可求得结果.【详解】因为,可得,故.故选:A2.“为奇数”是“函数为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用奇函数定义证明出充分性,举出反例得到必要性不成立.【详解】当为奇数时,定义域关于原点对称,,故函数为奇函数,而为奇函数,但不是奇数,综上:“为奇数”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.故选:A3.若,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由同角三角函数的商数、平方关系,将条件化为,再根据二倍角余弦公式求目标式的 值.【详解】由题设,,又.故选:B.4.已知集合,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求解一元二次不等式,然后利用补集的概念即可求解.【详解】由题意,或,所以集合或,所以.故选:A5.若,设,,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用指数、对数、幂函数的性质判断大小关系即可.【详解】由题设,,所以.故选:B6.已知函数的部分图象如图所示,将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则() A.2B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】由题待定系数得,进而根据图像平移变换得,再计算函数值即可.【详解】解:根据题意得,所以,故,由时,得,解得.所以,所以,所以故选:B7.已知函数,若且,则的最小值为()A.2B.3C.6D.9【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的性质可得且,将目标式化为,应用基本不等式求最小值,注意等号成立条件.【详解】由对数函数的性质,且且,可知:且, 所以,当且仅当时等号成立.故选:C8.设函数,则满足的的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】研究出分段函数的单调性,利用单调性解不等式.【详解】时,单调递增,故,当时,由对勾函数得:在单调递增,且,综上:单调递增,因,所以,即,设,可知单调递增,且,故,故选:D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知角的终边在直线上,则的值可能是()A.B.C.D.1【答案】BC【解析】【分析】根据直线方程判断所在象限且,并求出角的大小,根据目标式,讨论的位置求函数值即可.【详解】由题设,且在第一或三象限,则,,又,, 当在第一象限时,;当在第三象限时,.故选:BC10.已知、、,若,则()A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】A、C特殊值法,令即可排除;B由不等式性质判断;D应用基本不等式判断即可.【详解】A:当时,,错误;B:由,则,故,正确;C:当时,,错误;D:由,又,则,正确;故选:BD11.若函数,则()A.函数为偶函数B.函数在定义域上单调递增C.函数的值域为D.【答案】ACD【解析】【分析】由函数奇偶性的定义判断选项A,分别判断与时,函数与的单调性,从而得函数的单调性,分析与对应的取值范围,计算得,并判断与的关系. 【详解】因为函数定义域为,,所以函数为偶函数,A正确;当时,单调递减,单调递增,所以函数单调递减,当时,单调递增,单调递减,所以函数单调递增,B错误;当时,,所以,当时,,所以,所以函数的值域为,C正确;,D正确.故选:ACD12.若函数的最小值为,则的值可为()A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】应用二倍角余弦公式可得,结合余弦函数、二次函数的性质及已知最小值,讨论与区间的位置关系,求的值.【详解】由题设,,令,则,其开口向上且对称轴为,当时,,则;当时,,则或(舍);当时,,则不合前提;综上,或. 故选:BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数的最小正周期是_____.【答案】【解析】分析】本题可根据三角函数周期计算公式得出结果.【详解】函数的最小正周期,故答案为:.14.若方程的解在区间上,则整数______.【答案】2【解析】【分析】令判断单调性,应用零点存在定理判断零点所在区间,结合题设即可求k值.【详解】令,显然在上递增,又,,所以函数的零点在内,故.故答案为:2.15.,使得关于不等式成立,则的最小值是______.【答案】【解析】【分析】将不等式右边应用辅助角公式得,由正弦函数的性质求上的值域,再由不等式能成立求的最小值.【详解】令,所以时,,故,又使成立,故.所以的最小值是. 故答案为:16.函数,若,则______,______.【答案】①.##0.5②.【解析】【分析】由题设可得即可求,根据已知解析式求的解析式,进而可得,即可求目标式的值.【详解】由题设,,又,则,可得,而,所以,故.故答案为:,.【点睛】关键点点睛:求各函数值之和时,首先需要证明,再结合目标式的特征求和即可.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合,.(1)当时,求A的非空真子集的个数;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)126(2)【解析】 【分析】(1)利用,求出,共有7个元素,进而求出非空真子集的个数;(2)根据并集结果得到,先得到,进而列出不等式组,求出实数的取值范围.【小问1详解】因为,,所以,A中共有7个元素,则A的非空真子集的个数为;【小问2详解】因为,所以,因为,故,则,解得:,从而实数的取值范围为.18.已知函数.(1)判断函数在上的单调性,并证明你的结论;(2)是否存在常数,使得为奇函数?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)在上递减,证明见解析;(2)存在使得为奇函数.【解析】【分析】(1)根据解析式及指数函数的性质判断单调性,再应用单调性的定义证明即可.(2)假设存在使为奇函数,利用奇函数的性质求,即可知存在性.【小问1详解】在上递减,证明如下:在内任取,,使,则.由于,知:,则,,,所以,即, 故上递减.【小问2详解】函数的定义域为,若存在常数使为奇函数,所以由,可得,解得,因此存在,使得为奇函数.19.如图所示,园林设计师计划在一面墙的同侧,用彩带围成四个相同的矩形区域,即如图小矩形,且其面积为.(注:靠墙的部分不用彩带)(1)要使围成四个矩形的彩带总长不超过m,求的取值范围;(2)当围成四个矩形的彩带总长最小时,求和的值,并求彩带总长的最小值.【答案】(1);(2);;最小值为【解析】【分析】(1)设长为m,长为m,列关于的等式,表示出彩带总长,计算对应的时对应的值,从而得的范围,即的范围;(2)利用基本不等式求解彩带总长的最小值,计算出此时的值,即得和的值.【小问1详解】设长为m,长为m,由题意得,则四个矩形的彩带总长为,当且仅当时,取等号,又,可解 得或,所以得的范围为,即的取值范围为【小问2详解】四个矩形的彩带总长为,当且仅当时,取等号,此时,则的长为,的长为,彩带总长的最小值为.20.已知函数.(1)求函数的单调递减区间;(2)求使成立的的取值集合.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由三角恒等变换化简可得,解不等式可得函数的单调递减区间;(2)由可得出,解之即可得解.【小问1详解】解:,由,解得,所以,函数的单调递减区间为.【小问2详解】 解:由可得,可得,解得,所以,使成立的的取值集合为.21.如图所示,已知直线,,并交于点,交于点,是上一定点,是直线上一动点,作,且使与直线交于点,设.(1)若,试比较△与△面积的大小;(2)若,,求△与△面积之和的最小值.【答案】(1)答案见解析;(2).【解析】【分析】(1)由题设易得△△且相似比为,讨论判断△与△面积的大小关系;(2)由图知,结合(1)求相关线段的长度,进而得到面积关于的表达式,应用基本不等式求最值,注意等号成立条件.【小问1详解】由,,则,又,所以△、△中,即,, 所以△△,相似比为,当,即时,△面积比△大;当,即时,△、△面积相等;当,即时,△面积比△小;【小问2详解】由题设,,由(1)知:,,所以,又,故,当且仅当时等号成立,所以△与△面积之和的最小值为.22.已知函数是偶函数.(1)求的值;(2)设函数,若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据为偶函数,有可求出的值.(2)函数与的图象有且只有一个公共点,即有且只有一个解,且,然后换元转化为方程在有且只有一个实根,根据二次方程根的分布求解.【小问1详解】 解:因为为偶函数.所以,即.所以,解得.所以【小问2详解】解:由已知,方程有且只有一个解.所以有且只有一个解,且.整理得.令,则方程在有且只有一个实根.当时,,满足题意.当时,设方程对应的二次函数为.抛物线开口向上,对称轴,且,此时方程必有一个正实数根,满足.当时,抛物线开口向下,对称轴,且,故,解得或.综上,实数的取值范围是.
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高中 - 数学
发布时间:2023-02-13 09:59:02
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