湖南省衡阳市2021-2022学年高一数学下学期期中试卷（Word版附答案）

2022年高中一年级期中考试数学卷注意事项：1．本试卷共四道大题，满分150分，考试用时120分钟。2．请同学们科学、合理地安排好答题时间。3．本卷为试题卷，答案必须答在答题卡的指定位置，答在试题卷上无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．复数（）A．B．C．D．2．集合（）A．{0，1，2}B．{，，0}C．（，1）D．（，3）3．若，且，则sin2x=（）A．B．C．D．4．函数的大致图象为（）A．B．C．D．5．在△ABC中，D为AC的中点，，，则（）A．，B．，C．，D．，6．，，的大小关系为（）A．B．C．D．7．△ABC中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1，其中\nAC⊥BC，AA1=AC=1，当“阳马”（即四棱锥B-A1ACC1）体积为时，则“堑堵”即三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知，若，则实数a的值可为（）A．−1B．−3C．9D．2710．设m，n为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题正确的是（）A．若且，则B．若且，则C．若，，且，则D．若，，且不垂直于，则m不可能垂直n11．关于函数，有如下命题，其中正确的有（）A．的最小正周期为B．的图象关于点（，0）对称C．的图象关于直线对称D．在（，）上单调递增12．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，线段B1D1上有两个动点E、F且EF=1，则下列结论中正确的是（）A．AC1⊥EF\nB．△AEF的面积与△BEF的面积之比为：2C．A1C⊥平面AEFD．二棱锥E−FAB的体积会随着E、F的运动而变化三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数在复平面内对应的点位于第________象限．14．若正三棱锥的底面边长为2，其体积为，则该正三棱锥的侧棱长为________．15．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为________．16．设a，b均为单位向量，则________；的取值范围为________．四、解答题（本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（本小题满分10分）已知的顶点A（−1，−2），B（3，−1），D（1，5）．（1）求顶点C的坐标；（2）求cos∠ACD．\n18．（本小题满分12分）已知复数，．（1）求的最小值．（2）若复数为纯虚数，复数满足，，求．19．（本小题满分12分）如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为C1B的中点，P为AB的中点．（1）请判断直线PD与平面AA1C1C的位置关系，并证明；（2）求点C1到平面PCD的距离，\n20．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2．（，），（，），．（1）求A；（2）若△ABC的面积为，角A的内角平分线交BC于D，求AD．21．（本小题满分12分）某赛事公路自行车比赛赛道平面设计图为五边形ABCDE（如图所示），DC，CB，BA，AE，ED为赛道．根据比赛需要，在赛道设计时需设计AC、AD两条服务通道（不考虑宽度），现测得：∠ABC=∠AED=，∠CAD=∠BAC=，BC=千米，CD=千米．（1）求服务通道AD的长；（2）如何设计才能使折线赛道AED（即AE+ED）的长度最大？并求出最大值．\n22．（本小题满分12分）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的对角线D1B与顶点D1处的三个面所成的角分别为，，．（1）证明：为定值；（2）若，求实数的最大值．\n\n\n\n\n