湖北十一校2023届高三数学12月第一次联考试卷（Word版附答案）

鄂南高中黄冈中学黄石二中荆州中学龙泉中学武汉二中孝感高中襄阳四中襄阳五中宜昌一中夷陵中学2023届高三湖北十一校第一次联考数学试题考试时间：2022年12月7日15：00—17：00一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合,则（）A.B.C.D.2.复数满足,则（）A.B.C.D.53.随机掷两个质地均匀的正方体骰子,散子各个面分别标记有16共六个数字,记事件“骰子向上的点数是1和3",事件"“骰子向上的点数是3和6",事件“骰子向上的点数含有3",则下列说法正确的是（）A.事件与事件是相互独立事件B.事件与事件是互斥事件C.D.4.在平行四边形中,、分别在边、上,,与相交于点,记,则（）A.B.C.D.5.则三棱锥中,平面,则三棱锥的外接球半径为（）A.3B.C.D.66.已知函数在上恰好取到一次最大值与一次最小值,则的取值范围是（） A.B.C.D.7.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列:,该数列从第三项起,每一项都等于前两项的和,即递推关系式为,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列的通项公式为,其中A、B的值可由和得到,比如兔子数列中代入解得.利用以上信息计算表示不超过的最大整数A.10B.11C.12D.138.已知(其中为自然常数),则、、的大小关系为（）A.B.C.D.二、多选题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题列出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.9.某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量,图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本,并算得样本的平均数为5,方差为9;图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本,并算得样本的平均数为7,方差为16.若将两个样本合在一起组成一个容量为20的新样本,则新样本数据的（）A.平均数为6B.平均数为C.方差为D.方差为10.如图,在边长为2的正方体中,在线段上运动(包括端点),下列选项正确的有()A.B.C.直线与平面所成角的最小值是D.的最小值为11.已知、,下列说法正确的是（） A.存在使得是奇函数B.任意、的图像是中心对称图形C.若为的两个极值点,则D.若在上单调,则12.已知、分别为双曲线的左、右焦点,过点的直线与双曲线的右支交于、两点,记的内切圆的半径为的内切圆的半径为,若,则（）A.、在直线上B.双曲线的离心率C.内切圆半径最小值是D.的取值范围是三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.的展开式中含项的系数为________.14.已知正项等差数列满足,且是与的等比中项,则的前项和________.15.过点作圆的两条切线,切点分别为、,则的直线方程为________.16.若函数只有一个极值点,则的取值范围是_______.17.(本小题满分10分)已知在中,边、、所对的角分别为、、.(1)证明:、、成等比数列;(2)求角的最大值.18.(本小题满分12分)已知正项数列,其前项和满足. (1)求的通项公式;(2)证明:.19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱中,为的中点,为等边三角形,直线与平面所成角大小为.(1)求证:平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值.20.(本小题满分12分)某学校为了迎接党的二十大召开,增进全体教职工对党史知识的了解,组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中,甲箱有5个选择题和3个填空题,乙箱中有4个选择题和3个填空题,比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答,答完后题目不放回纸箱中,再抽取第二题作答,两题答题结束后,再将这两个题目放回原纸箱中.(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目,求第2题抽到的是填空题的概率;(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目,答题结束后错将题目放入了乙箱中,接着第三支部答题,第三支部抽取第一题时,从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题,求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.21.(本小题满分12分)已知点在抛物线上,过动点作抛物线的两条切线,切点分别为、,且直线与直线的斜率之积为.(1)证明:直线过定点;(2)过、分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为、,问：是否存在一点使得、、、四点共圆?若存在,求所有满足条件的点;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数. (1)若且函数在上是单调递增函数,求的取值范围;(2)设的导函数为,若满足,证明:.