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人教版八(下)数学培优专题09 二次根式的概念与性质(含答案解析)
人教版八(下)数学培优专题09 二次根式的概念与性质(含答案解析)
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专题09二次根式的概念与性质阅读与思考式子叫做二次根式,二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础,主要有:1..说明了与、2一样都是非负数.2.=(≥0).解二次根式问题的基本途径——通过平方,去掉根号有理化.3.揭示了与绝对值的内在一致性.4.(≥0,≥0).5.(≥0,>0).给出了二次根式乘除法运算的法则.6.若>>0,则>>0,反之亦然,这是比较二次根式大小的基础.运用二次根式性质解题应注意:(1)每一性质成立的条件,即等式中字母的取值范围;(2)要学会性质的“正用”与“逆用”,既能够从等式的左边变形到等式的右边,也能够从等式的右边变形到等式的左边.例题与求解【例1】设,都是有理数,且满足方程,那么的值是____________.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:将等式整理成有理数、无理数两部分,运用有理数和无理数的性质解题.【例2】当1≤≤2,经化简,=___________.解题思路:从化简被开方数入手,注意中≥0的隐含制约.\n【例3】若>0,>0,且,求的值.(天津市竞赛试题)解题思路:对已知条件变形,求,的值或探求,的关系.【例4】若实数,,满足关系式:,试确定的值.(北京市竞赛试题)解题思路:观察发现(-199+)与(199--)互为相反数,由二次根式的定义、性质探索解题的突破口.【例5】已知,求++的值.(山东省竞赛试题)解题思路:题设条件是一个含三个未知量的等式,三个未知量,一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.【例6】在△ABC中,AB,BC,AC三边的长分别为,,,求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上:_________.(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法.若△ABC三边的长分别为,2,(>0),请利用图2中的正方形网格(每个小正方形的边长为)画出相应的△ABC,并求出它的面积.(3)若△ABC三边的长分别为,,2(>0,>0,且≠)试运用构图法求出这个三角形的面积.(咸宁市中考试题)\n解题思路:本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识,不规则三角形的面积,可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得.图1图2能力训练A级1.要使代数式有意义.则的取值范围是_____________.(“希望杯”邀请赛试题)2.阅读下面一题的解答过程,请判断是否正确?若不正确,请写出正确的解答.已知为实数,化简.解:原式=.3.已知正数,,有下列命题:(1)若=1,=1,则1;(2)若=,=,则;(3)若=2,=3,则;(4)若=1,=5,则3.根据以上命题所提供的信息,请猜想:若=6,=7,则________.(黄冈市竞赛试题)4.已知实数,,满足,则(+)的值为_______.\n5.代数式的最小值是().A.0B.1+C.1D.不存在6.下列四组根式中是同类二次根式的一组是().A.和2B.3和3C.和D.和(“希望杯”邀请赛试题)7.化简的结果是().A.6-6B.-6+6C.-4D.4(江苏省竞赛试题)8.设是一个无理数,且,满足--+l=0,则是一个().A.小于0的有理数B.大于0的有理数C.小于0的无理数D.大于0的无理数(武汉市竞赛试题)9.已知,其中≠0,求的值.(山东省中考试颗)10.已知与的小数部分分别是,,求的值.(浙江省竞赛试题)11.设,,为两两不等的有理数.求证:为有理数.(北京市竞赛试题)\n12.设,都是正整数,且使,求的最大值.(上海市竞赛试题)B级1.已知,为实数,y=,则5+6=_________.2.已知实数满足,则-19992=___________.3.正数,满足+4-2-4+4=3,那么的值为_______.(北京市竞赛试题)4.若,满足3=7,则=的取值范围是________.(全国初中数学联赛试题)5.已知整数,满足+2=50,那么整数对(,)的个数是()A.0B.1C.2D.3(江苏省竞赛试题)6.已知=1,那么代数式的值为()A.B.-C.-D.(重庆市中考试题)7.设等式在实数范围内成立,其中,,是两两不同的实数.则代数式的值为().A.3B.C.2D.8.已知,则的值为().A.3B.4C.5D.6\n9.设,,是实数,若++=2+4+6-14,求的值.(北京市竞赛试题)10.已知3=3=cz3,++=1,求证:++.11.已知在等式中,,,,都是有理数,是无理数.求:(1)当,,,满足什么条件时,是有理数,(2)当,,,满足什么条件时,是无理数.(“希望杯”邀请赛试题)12.设=,求不超过的最大整数[s].13.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连结AC,EC,已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=.(1)用含的代数式表示AC+CE的长;(2)请问点C满足什么条件是AC+CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.(恩施自治州中考试题)\n专题09二次根式的概念与性质(3)构造△ABC如图b所示,.\nA级1..2.不正确,正确的答案是3.4.5.B6.D7.D8.B9.10.11.提示:设法证明12.∵都为整数,必为整数.设得即=216=4×54=2×108.当时,的值最大,最大值为108.B级1.-162.2000提示:由得3.4.提示:5.D6.D提示:由得7.B8.C9.6610.提示:令,则\n11.(1)当时,是有理数;当时,,其中是有理数,是无理数,是有理数;要使s为有理数,只有,即.综上知,当且时,s是有理数.(2)当时,且是无理数;当时,,其中是有理数,是无理数,是有理数,所以,当,即为无理数.综上知,当或是无理数.12.∵.13.(1)AC+CE=.(2)当A,C,E三点共线时,AC十CE的值最小.(3)如图,作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作DE⊥BD,且使AB=2,DE=3,连结AE交BD于点C,设BC=x,则CD=12-x,AE的长即为的最小值,过点A作AF//BD交ED的延长线于点F,则DF=AB=2,EF=ED+DF=5,AF=BD=8,AE===13,即原式的最小值为13.
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初中 - 数学
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