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人教版八(下)数学培优专题07 分式的化简与求值(含答案解析)

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专题07分式的化简与求值阅读与思考给出一定的条件,在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值.而分式的化简与求值是紧密相连的,求值之前必须先化简,化简的目的是为了求值,先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略.解有条件的分式化简与求值问题时,既要瞄准目标.又要抓住条件,既要根据目标变换条件.又要依据条件来调整目标,除了要用到整式化简求值的知识方法外,还常常用到如下技巧:1.恰当引入参数;2.取倒数或利用倒数关系;3.拆项变形或拆分变形;4.整体代入;5.利用比例性质等.例题与求解【例l】已知,则代数式的值为.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:目前不能求出的值,但可以求出,需要对所求代数式变形含“”.【例2】已知一列数且,,,则为()A.648B.832C.1168D.1944(五城市联赛试题)解题思路:引入参数,把用的代数式表示,这是解决等比问题的基本思路.【例3】.求.(宣州竞赛试题)解题思路:观察发现,所求代数式是关于的代数式,而条件可以拆成的等式,因此很自然的想到用换元法来简化解题过程.\n【例4】已知求的值.(上海市竞赛试题)解题思路:注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组,考虑取倒数,将方程组化为简单的形式.【例5】不等于0的三个正整数满足,求证:中至少有两个互为相反数.解题思路:中至少有两个互为相反数,即要证明.(北京市竞赛试题)【例6】已知为正整数,满足如下两个条件:①②.求证:以为三边长可以构成一个直角三角形.解题思路:本题熟记勾股定理的公式即可解答.(全国初中数学联赛试题)能力训练1.若,则的值是.(“希望杯”邀请赛试题)2.已知,则.\n(广东竞赛试题)3.若且,则的值为.(“缙云杯”竞赛试题)4.已知,则.5.如果,那么().A.1B.2C.D.(“新世纪杯”竞赛试题)6.设有理数都不为0,且,则的值为().A.正数B.负数C.零D.不能确定7.已知,则的值为().A.0B.1C.2D.不能确定8.已知,则的值为()A.1B.C.D.9.设,求的值.10.已知其中互不相等,求证.(天津市竞赛试题)\n11.设满足,求证.(为自然数)(波兰竞赛试题)12.三角形三边长分别为.(1)若,求证:这个三角形是等腰三角形;(2)若,判断这个三角形的形状并证明.13.已知,求的值.(“华杯赛”试题)14.解下列方程(组):(1);(江苏省竞赛试题)(2);(“五羊杯”竞赛试题)(3).(北京市竞赛试题)\nB级1.设满足,,若,,则.2.若,且,则.3.设均为非零数,且,则.4.已知满足,则的值为.5.设是三个互不相同的正数,已知,那么有().A.B.C.D.6.如果,,那么的值为().A.3B.8C.16D.207.已知,则代数式的值为().A.1996B.1997C.1998D.199998.若,则的值为().A.B.C.5D.6(全国初中数学联赛试题)9.已知非零实数满足.(1)求证:;(2)求的值.(北京市竞赛试题)\n10.已知,且.求的值.(北京市竞赛试题)11.完成同一件工作,甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的倍,乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的倍;丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的倍,求证:.(天津市竞赛试题)12.设,当时,求证:.(天津市竞赛试题)13.某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶,两人也走梯).如果两人上梯的速度都是匀速的,每次只跨1级,且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍.已知男孩走了27级到达扶梯顶部,而女孩走了18级到达顶部.(1)扶梯露在外面的部分有多少级?(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道,台阶的级数与自动扶梯的级数相等,两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯,到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离).求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶?(江苏省竞赛试题)\n专题07分式的化简求值例1提示:例2A提示:==,得k=,又例3油x+y+z=3a,得(x-a)+(y-a)+(z-a)=0.设x-a=m,y-a=n,z-a=p,则m+n+p=0,即p=-(m+n).原式====-①②③例4x=提示:由已知条件知xy≠0,yz≠0,取倒数,得:即①+②+③,得例5提示:由已知条件,得==例6由勾股定理,结论可表示为等式:a=b+c,①或b=a+c,②或c=b+a,③,联立①③,只需证a=16或或b=16或c=16,即(a-16)(b-16)(c-16)=0.④展开只需证明0=abc-16(ab+bc+ac)+162(a+b+c)-163=abc-16(ab+bc+ac)+163⑤将①平方、移项,有a2+b2+c2=322-2(ab+bc+ca),⑥又将②移项、通分,有\n0=-(++)=-(++)==把⑥代入等式中,0===当a-16=0时,由①有a=16=b+c,由勾股定理逆定理知,以,,为三边长组成一个以为斜边的直角三角形.同理,当b=16或c=16时,分别有b=a+c或c=b+a,均能以,,为三边长组成一个直角三角形.A级1.0或-22.∵=1,∴x+=4.又∵=5,∴=3.4.35.A6.C提示:b2+c2-a2=-2bc7.B8.C提示:取倒数,得x+=1+m,原式的倒数=x3+-m39.1提示:2a2+bc=2a2+b(-a-b)=a2-ab+a2-b2=(a-b)(a+a+b)=(a-b)(a-c)\n10.提示:由x+=y+,得x-y=-,得zy=11.提示:参见例5得(a+b)(b+c)(a+c)=012.(1)∵=,∴(b+c)(ab+ac-a2-bc)=0.∴(b+c)(a-b)(c-a)=0.∵b+c≠0,∴a=b或c=a.∴这个三角形为等腰三角形.(2)∵+=+,∴=∴(a-b+c)=ac,∴(a-b)(b-c)=0,a=b或b=c,∴这个三角形为等腰三角形.13.3x=,y=,c=,∴+=+=1,∴原式=3.14.(1)x=-(2)x=(3)(x,y,z)=(,,)提示:原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.B级1.22.-1或8提示:设===k,则k=-1或23.4.0提示:由=1--,得:=x--5.A6.C7.D提示:原式=====x2-5x+88.A提示:由已知条件得x=3y\n9.(1)由a+b+c=0,得a+b=-c∴a3+b3+c3=-3ab(a+b)=3abc(2)∵(++)·=1+,∴同理:(++)·=1+,(++)·=1+,∴左边=3+++=3+=910.∵a2+4a+1=0,∴a2+1=-4a,①a≠0.==3.把①代入上式中,=3,消元得=3,解得m=19.11.设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a天、b天、c天,则即解得x=.12.由A+B+C=-3得(+1)+即分解因式,得(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)=0b+c-a,a+b-c,a-b+c中至少有一个为0,不妨设b+c-a=0,代入式中,A2002+B2002+C2002=(-1)2002+12002+12002=3.13.(1)设女孩速度x级/分,电梯速度y级/分,男孩速度2x级/分,楼梯S级,则\n得∴S=54.(2)设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m编,走过楼梯n编,则女孩走过扶梯(m-1)编,走过楼梯(n-1)编,男孩上扶梯4x级/分,女孩上扶梯3x级/分.,即,得6n+m=16,m,n中必有一个是正整数,且0≤︱m-n︱≤1.①,m分别取值,则有m12345n2②m=16-6n,分别取值,则有m12n104显然,只有m=3,n=满足条件,故男孩所走的数=3×27+×54=198级.∴男孩第一次追上女孩时走了198级台阶.

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所属: 初中 - 数学
发布时间:2022-06-17 15:00:03 页数:11
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文章作者:180****8757

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