人教版八（下）数学培优专题07 分式的化简与求值（含答案解析）

专题07分式的化简与求值阅读与思考给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系；3．拆项变形或拆分变形；4．整体代入；5．利用比例性质等．例题与求解【例l】已知，则代数式的值为．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：目前不能求出的值，但可以求出，需要对所求代数式变形含“”．【例2】已知一列数且，，，则为（）A．648B．832C．1168D．1944（五城市联赛试题）解题思路：引入参数，把用的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．【例3】．求．（宣州竞赛试题）解题思路：观察发现，所求代数式是关于的代数式，而条件可以拆成的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．\n【例4】已知求的值．（上海市竞赛试题）解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．【例5】不等于0的三个正整数满足，求证：中至少有两个互为相反数．解题思路：中至少有两个互为相反数，即要证明．（北京市竞赛试题）【例6】已知为正整数，满足如下两个条件：①②．求证：以为三边长可以构成一个直角三角形．解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．（全国初中数学联赛试题）能力训练1．若，则的值是．（“希望杯”邀请赛试题）2．已知，则．\n（广东竞赛试题）3．若且，则的值为．（“缙云杯”竞赛试题）4．已知，则．5．如果，那么（）．A．1B．2C．D．（“新世纪杯”竞赛试题）6．设有理数都不为0，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．零D．不能确定7．已知，则的值为（）．A．0B．1C．2D．不能确定8．已知，则的值为（）A．1B．C．D．9．设，求的值．10．已知其中互不相等，求证．（天津市竞赛试题）\n11．设满足，求证．（为自然数）（波兰竞赛试题）12．三角形三边长分别为．（1）若，求证：这个三角形是等腰三角形；（2）若，判断这个三角形的形状并证明．13．已知，求的值．（“华杯赛”试题）14．解下列方程（组）：（1）；（江苏省竞赛试题）（2）；（“五羊杯”竞赛试题）（3）．（北京市竞赛试题）\nB级1．设满足，，若，，则．2．若，且，则．3．设均为非零数，且，则．4．已知满足，则的值为．5．设是三个互不相同的正数，已知，那么有（）．A．B．C．D．6．如果，，那么的值为（）．A．3B．8C．16D．207．已知，则代数式的值为（）．A．1996B．1997C．1998D．199998．若，则的值为（）．A．B．C．5D．6（全国初中数学联赛试题）9．已知非零实数满足．（1）求证：；（2）求的值．（北京市竞赛试题）\n10．已知，且．求的值．（北京市竞赛试题）11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的倍，求证：．（天津市竞赛试题）12．设，当时，求证：．（天津市竞赛试题）13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？（江苏省竞赛试题）\n专题07分式的化简求值例1提示：例2A提示：==，得k=，又例3油x+y+z=3a，得（x-a）+（y-a）+（z-a）=0.设x-a=m，y-a=n，z-a=p，则m+n+p=0，即p=-（m+n）.原式====-①②③例4x=提示：由已知条件知xy≠0，yz≠0，取倒数，得：即①+②+③，得例5提示：由已知条件，得==例6由勾股定理，结论可表示为等式：a=b+c，①或b=a+c，②或c=b+a，③，联立①③，只需证a=16或或b＝16或c＝16，即（a－16）（b－16）（c－16）＝0.④展开只需证明0＝abc－16（ab＋bc＋ac）＋162（a＋b＋c）－163＝abc－16（ab＋bc＋ac）＋163⑤将①平方、移项，有a2＋b2＋c2＝322－2（ab＋bc＋ca），⑥又将②移项、通分，有\n0＝－（＋＋）＝－（＋＋）＝＝把⑥代入等式中，0＝＝＝当a－16＝0时，由①有a＝16＝b＋c，由勾股定理逆定理知，以，，为三边长组成一个以为斜边的直角三角形.同理，当b＝16或c＝16时，分别有b＝a＋c或c＝b＋a，均能以，，为三边长组成一个直角三角形.A级1.0或－22.∵＝1，∴x＋＝4.又∵＝5，∴＝3.4.35.A6.C提示：b2＋c2－a2＝－2bc7.B8.C提示：取倒数，得x＋＝1＋m，原式的倒数＝x3＋－m39.1提示：2a2＋bc＝2a2＋b（－a－b）＝a2－ab＋a2－b2＝（a－b）（a＋a＋b）＝（a－b）（a－c）\n10.提示：由x＋＝y＋，得x－y＝－，得zy＝11.提示：参见例5得（a＋b）（b＋c）（a＋c）＝012.（1）∵＝，∴（b＋c）（ab＋ac－a2－bc）＝0.∴（b＋c）（a－b）（c－a）＝0.∵b＋c≠0，∴a＝b或c＝a.∴这个三角形为等腰三角形.（2）∵＋＝＋，∴＝∴（a－b＋c）＝ac，∴（a－b）（b－c）＝0,a＝b或b＝c，∴这个三角形为等腰三角形.13.3x＝，y＝，c＝，∴＋＝＋＝1，∴原式＝3.14.（1）x＝－（2）x＝（3）（x，y，z）＝（，，）提示：原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.B级1.22.－1或8提示：设＝＝＝k，则k＝－1或23.4.0提示：由＝1－－，得：＝x－－5.A6.C7.D提示：原式＝＝＝＝＝x2－5x＋88.A提示：由已知条件得x＝3y\n9.（1）由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c∴a3＋b3＋c3＝－3ab（a＋b）＝3abc（2）∵（＋＋）·＝1＋，∴同理：（＋＋）·＝1＋，（＋＋）·＝1＋，∴左边＝3＋＋＋＝3＋＝910.∵a2＋4a＋1＝0，∴a2＋1＝－4a，①a≠0.＝＝3.把①代入上式中，＝3，消元得＝3，解得m＝19.11.设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a天、b天、c天，则即解得x＝.12.由A＋B＋C＝－3得（＋1）＋即分解因式，得(b＋c－a)(a＋b－c)(a－b＋c)＝0b＋c－a，a＋b－c，a－b＋c中至少有一个为0，不妨设b＋c－a＝0，代入式中，A2002＋B2002＋C2002＝(－1)2002＋12002＋12002＝3．13．（1）设女孩速度x级/分，电梯速度y级/分，男孩速度2x级/分，楼梯S级，则\n得∴S＝54．（2）设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m编，走过楼梯n编，则女孩走过扶梯(m－1)编，走过楼梯(n－1)编，男孩上扶梯4x级/分，女孩上扶梯3x级/分．，即，得6n＋m＝16，m，n中必有一个是正整数，且0≤︱m－n︱≤1．①，m分别取值，则有m12345n2②m＝16－6n，分别取值，则有m12n104显然，只有m＝3，n＝满足条件，故男孩所走的数＝3×27＋×54＝198级．∴男孩第一次追上女孩时走了198级台阶．