数学（心得）之浅议习题教学对学生思维能力的培养

数学论文之浅议习题教学对学生思维能力的培养 <br /> 　　数学是思维的体操，思维能力作为学生能力培养的核心，是高中数学教学活动的灵魂。波利亚在《数学的发现》中论及：&ldquo;一个数学问题的解决，关键在于构思，包括对其信息材料的分离、组合和加工等&rdquo;，这里的&ldquo;构思&rdquo;即指解题者的思维活动过程。可以说问题解决作为数学教学的中心，寓于整个思维过程之中，反之又可促进思维能力的提高，而作为数学教学重要组成部分的习题教学，则无疑是培养学生思维能力的主渠道。 <br /> <br />　　一。一题多解，培养学生的发散思维 <br /> <br />　　发散思维的特点是求异、求奇、创新。在习题教学中，对某一数学问题，教师若能积极引导学生从不同角度入手，以不同的思路和途径去寻求解答，不拘一格，打破常规，广开思路，寻求变异，则不仅能使学生掌握解题方法和技能，而且可养成观察、分析、探索、猜想等良好的学习习惯，对培养和锻炼学生的思维能力是很有益的。 <br /> <br />　　例1.已知正数x、y满足x+2y=1，求1/x+1/y的最小值。 <br /> <br />　　分析：引导学生充分展开联想，积极探索，关键是运用均值不等式。 <br /> <br />　　解法1（&ldquo;1&rdquo;的代换）：1/x+1/y=（1/x+1/y）（x+2y）=3+（2y/x+x/y） ≧3+2√2. <br /> <br />　　仅当（2y/x=x/y，x+2Y=1）即（x=√2-1,y=1-√2/2）时取等号； <br /> <br />　　解法2  （三角换元）： <br /> <br />　　令x2=sin2a,2y=cos2a,（0　　解法３（代数换元）令x=m/m+n,2y=n/m+n,（m、n∈R+）， <br /> <br />　　则1/x+1/y=3+（n/m+2m/n）≥3+2√2，仅当n/m=2m/n时取等号； <br /> <br />　　解法４（整体代换）：令1/x+1/y=s，将x=1-2y代入整理得2my2-（1+m）y+1=0，y∈R，⊿≥0，且有m&gt;0，解得m≥3+2√2，仅当⊿=0时取得等号。 <br /> <br />　　上述各种思路其着眼点和解题途径各异，但结果都能简捷获解，可谓异曲同工，殊途同归。 <br /> <br />　　再例如在证明三角恒等式：tan2θ-sin2θ=tan2θ。sin2θ时，也有从左到右、从右到左、左右同一、求差比较、求商比较、分析逆证等多种证法（具体证明略）。 <br /> <br />　　二。多题一解，培养学生的集中思维 <br /> <br />　　集中思维的特点是求同、化归。心理学研究表明，人的思维进程具有一定的方向性和集中性。据此，教师在习题教学中可以有意识、有针对性地寻找一些题型和解法相同或相近的题组，让学生在练习过程中总结方法和规律，学会归纳与综合，则不仅能收到举一反三、触类旁通之效，而且培养了学生的集中思维。 <br /> <br />　　例如，在学习了高中数学《试验修订本》第一册（下）4.6&ldquo;两角和与差的正弦、余弦、正切&rdquo;后，为巩固知识，可选用以下题组： <br /> <br />　　（1）设 为锐角，且（1+tanA）（1+tanB）=2，求证：A+B=450； <br /> <br />　　（2）设00　　（3）在ΔABC中，tanA、tanB是方程6x2-5x+1=0两根，则A+B=（      ） <br /> <br />　　（A）∏/4        （B）3∏/4       （C）5∏/4       （D）7∏/4 <br /> <br />　　（4）设α、β均为锐角，且sina=√5/5,cosβ=√10/10，则角α-β等于　　　　　　； <br /> <br />　　（5）已知α∈（∏，3∏/2），β∈（0, ∏/2），且tanα=1/7,sinβ=√10/10，求α+2β的值。 <br /> <br />　　上述各习题看似形式各异，差别甚大，但经分析比较，则不难发现其解法几近相同，学生练习后可自行总结出规律：先求得所给角的某三角函数值；再由该角所在象限及范围确定其大小。象这样的题组，使学生能得以&ldquo;借题发挥&rdquo;，同时学会类比和归纳，这也是重要的数学思想方法。 <br /> <br />　　三。一题多变，培养学生思维的变通性 <br /> <br />　　&ldquo;变形&rdquo;及&ldquo;变换&rdquo;是重要的数学技能，在习题教学中，教师有意识地引导学生对数学概念、定理、公式、题目等从&ldquo;变换&rdquo;的角度去联想，去拓广，则不仅可达到以点串线，牵动全面知识的目的，而且能将知识深化，提高分析和解决问题的能力。比如，通过改变习题的题设与结论进行变式训练，可培养学生思维的变通性，常见的变式训练有以下两种方式：①条件不变，合理地提出一系列密切相关的问题（即条件不变，结论改变）；②条件改变，顺理成章推出其它结论（即条件和结论都改变）。 <br /> <br />　　例如在学到高中数学第一册（下）  &ldquo;平面向量数量积的坐标表示&rdquo;时，有这样一道习题：&ldquo;已知ａ=（1, √3），ｂ=（√3+1, √3-1），求ａ&middot;ｂ&rdquo;，结合本节知识...