竞赛思维每日一学

一年级等量代换1、已知○△△=△△△△△△△△，□=○○。求：□=（）个△。敏捷思维要知道□=（）个△，要先弄清楚○和△的关系，根据○△△=△△△△△△△△，可知○=6个△，然后把2个○用△替换，得出□=12个△。解：□=12个△。二年级年龄问题2、小林今年10岁，他比爸爸小25岁。5年前，爸爸是多少岁？敏捷思维可以求出小林5年前的年龄，再求爸爸的年龄；也可以求出爸爸现在的年龄，再求他5年前的年龄。解：10-5=5（岁）5+25=30（岁）答：5年前爸爸是30岁。三年级乘法巧算3、计算下面各题：（1）25×37×4（2）125×32×25敏捷思维这两道都是连乘的算式，分别应用了乘法的交换律和结合律使计算方便。其中第二小题两个因数分别是25和125，就要把第二个因数32分解成4×8的积，再把4与25相乘，8与125相乘。解：（1）25×37×4=（25×4）×37=100×37=3700（2）125×32×25=125×（8×4）×25=（125×8）×（4×25）=1000×100=100000四年级火车过桥问题4、一列火车通过一座长1680米的桥时，有1分27秒钟全车都在桥上，已知它每分钟行960米，这列火车长多少米？ 敏捷思维从火车的尾部进桥时起到火车头过完桥即将离开桥时止，这段时间全车都在桥上，这段时间火车行的路程正好是桥长减去车长。解：1分27秒=87秒，火车每秒钟行960÷60=16（米）火车的长1680-16×87=288（米）答：这列火车长288米。五年级相遇与追及5、甲、乙两港相距300千米，一艘轮船从甲港到乙港是顺水航行，船在静水中的速度是每小时12.5千米，水流速度是每小时2.5千米。这艘轮船在甲、乙两港间往返一次，共用多少小时？敏捷思维从甲港到乙港是顺水，要先求顺水速度，顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；返回时逆水，要先求出逆水速度，逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。解：从甲港到乙港的时间：300÷（12.5+2.5）=20（小时）从乙港到甲港的时间：300÷（12.5-2.5）=30（小时）往返一次共用时间：20+30=50（小时）答：共用50小时。六年级抓“不变量”解题6、将43/61的分子与分母同时加上某数后得7/9，求所加的这个数。敏捷思维分数的分子分母同时加上一个数，分数的分子与分母的差不变，仍然是18，所以可以转化为一个分数的分子比分母少18，分子是分母的7/9，由此可求出新分数的分子和分母。解：分母（61-43）÷（1-7/9）=81分子81×7/9=63所加的这个数为81-61=20或63-43=20答：所加的这个数是20。一年级数方块1、由下图中的(1)(2)按箭头所示组成的积木块是哪幅图的形状呢？ 敏捷思维通过仔细观察图示，可知：图(1)组合时，把图(2)放在了图(1)的前面，也就是前排有1个方块，符合这一要求的有图(4)和图(5)，再看(1)，共有4层，因而符合要求的只有图(4)了。解：所组成的是图(4)的形状。拓展探究判断积木块合并所得的图形，应弄清：(1)两幅图合并的位置是怎样的；(2)每幅图中含有的积木块各有多少。依据这两点原则选择组合图形既简捷又迅速。二年级组数技巧2、用两个0、一个2和一个5，按要求组成四位数，当0不读出来时，这个数是多少？只读出一个0时，这个数是多少？ 敏捷思维要想0不读出来，那么0必须出现在四位数的末尾，即十位和个位上，当千位上写2或5时，相应地百位上写5或2，那么这个四位数是2500或5200。如果只读出一个0，那么四位数的中间部分可以出现一个0或两个0，2和5分别填写在千位上，相应地就可以把其他数位填写出来，2在千位上时，这个四位数是2005和2050；5在千位上时，这个四位数是5002和5020。解：0不读出来的数是2500和5200；只读一个0的数是2005、2050、5002、5020。拓展探究像这类题目，必须依据0不读出来或读出几个0的规律来写。三年级一笔画3、下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路且不重复，出、入口应在哪里？敏捷思维这道题实际是一笔画问题，先找出它图中奇点和偶点的个数，然后按照一笔画原理确定出口和人口的位置。 解：图中有A、B、C、D、E、F、G、H、I九个点，其中D和F两个点是奇点，其余是偶点，这样入口设在D点，出口应设在F点，或入口设在F点，出口设在D点。拓展探究小朋友们，当一个连通图只有两个奇点（其余均为偶点）时，要一笔画成，必须从一个奇点开始到另一个奇点结束。四年级盈亏问题4、图书馆老师带1000元去买甲、乙两种书。如果买52本甲种书，11本乙种书正好把钱用完；如果买40本甲种书，20本乙种书，也正好把钱用完。每本甲种书多少元？敏捷思维我们不妨将两种买法对比一下：甲种书乙种书钱数52本11本1000元40本20本1000元比较两种买法，甲种书少买52一40=12(本)，乙种书就多买20一11=9（本），就是12本甲种书的价钱等于9本乙种书的价钱，也就是4本甲种书的价钱等于3本乙种书的价钱。用这种比较的方法我们可以找到解决问题的途径。解：因为从以上分析可以得到：4本甲种书的价钱等于3本乙种书的价钱，那么52本甲种书的钱可买乙种书52÷4×3=39（本），即1000元可以买乙种书39十11=50（本），每本乙种书1000÷50=20（元），每本甲种书20×3÷4=15(元)。拓展探究本题通过对对应数量的比较，发现两种书相互转换的条件，再利用这种转换的条件，把两种书变成一种书，从而问题可以解决。五年级图形的计数 5、智力拼图玩具卡上有一幅“❤”形图，你能数出图中含有“❤”的正方形的个数吗？敏捷思维可以围绕“❤”分类数，有1个，有4个。有3个，一共有1+4+3=8(个)。解：1+4+3=8（个）拓展探究含有“❤”的正方形，可以以“❤”图案为中心进行分类数。六年级圆的周长和面积（一） 6、下图中五个相同的圆的圆心构成一个边长为10厘米的正五边形。求五边形内阴影部分的面积。(π取3.14)敏捷思维正五边形的内角和为：180°×(5-3)=540°，所以每个内角的度数是：540°÷5=108°。阴影部分是由5个半径为5厘米、圆心角为108°的扇形组成，可以先求出一个扇形的面积，再乘5就是阴影部分的面积。解：圆的半径为：10÷2=5(cm)正五边形每个内角的度数为：180°×(5-2)÷5=108°五边形内阴影部分的面积为：拓展探究求组合图形的面积，可将组合图形分解，再重新组合，求组合后图形的面积，使计算简便。一年级火柴棒的移动1、火柴棒魔术。请你移动3根火柴棒，把下图的3个三角形变成4个大小相同的三角形。 敏捷思维图中有9根火柴棒，摆成了3个大小相同的三角形，要变成4个大小相同的独立的三角形，需要12根火柴棒，而现在只有9根，就要想办法使原本独立用的火柴棒变成公用的，因为缺少3根，所以有3根火柴棒要变成公用的。解： 拓展探究一般解移动火柴棒的题时，总是习惯用试探法，但是如果能稍加分析，往往可以事半功倍。二年级植树问题2、两幢楼之问每肠2米栽一棵树，共栽了5棵树，这两幢楼之问相距多少米？敏捷思维两端都不栽树，间隔数比棵数多1，因此共有6个间隔，每个间隔是2米，因此一共有2×6=12（米）。解：(5+1)×2=12（米）答：两幢楼之间相距12米。拓展探究只要掌握了两端都不栽树的情况，间隔数比棵数多1这个规律，问题就好解决了。三年级乘法巧算3、你能很快算出下题的结果吗？82×88 敏捷思维两位数乘两位数，十位上的数字相同，个位上的数字和为10，则它们的乘积的前两位数是十位数字加1的和乘十位上的数字，后两位数是个位上的数的乘积。解：(8+1)×8=728×2=1682×88=7216四年级假设与替换4、有黑、白棋子一堆，其中黑子数是白子个数的2倍。如果从这堆棋子中每次同时取出黑子4个，白子3个，那么取多少次后，白子余1个，而黑子还剩18个？敏捷思维假设每次取出2个白棋子，那么最后剩下18个黑棋子的时候，白棋子应该剩下18÷2=9(个)。现在只剩下一个白棋子，这是因为实际每次取3个，比假设多取了一个。由此就可求出取的次数。解：(9一1)÷(3一2)=8（次）答：共取了8次。拓展探究根据题中的已知条件，“黑子个数是白子个数的2倍”我们就可以假设黑子取的个数也是白子取的个数的2倍，从假设中可以得出，所剩的黑子和白子也应该存在这样的关系，通过假设与实际对照，进行推算，从矛盾中找到答案。五年级图形的分割5、现有一张长5厘米，宽1厘米的长方形纸片，请你将它分成5块，使它能拼成一个正方形。敏捷思维S长=5平方厘米，则S正=5平方厘米，即拼成的正方形边长的平方为5，可联想斜边的平方正好为5，故可将长方形按此思路去分割。解：先将长方形的长分割成2厘米、1厘米和2厘米。 再如下图所示去拼。拓展探究在这道题中分割以后，还需拼接图形。可先找出拼好后的图形的特征，再思考如何分割和拼接。六年级圆的周长和面积（二）6、求下图阴影部分的面积。(单位：厘米) 敏捷思维以图中水平的直径所在的直线为对称轴，将上半部分往下翻折，使阴影部分拼合成两个三角形（如下图）。阴影部分面积等于两个三角形面积之和。解：直径：20÷2=10(厘米)阴影部分的面积：10×10÷2=50(平方厘米)拓展探究将所给图形的某一部分以某一直线为对称轴翻折，使原来复杂的图形变为直观图形。一年级火柴棒拼摆算式1、粗心的小佳在用火柴棒摆算式时，少摆了2根，请你帮忙添上2根火柴棒，使算式成立。敏捷思维(1)由于等号右边为30，等号左边相加得29，比30小1。可以考虑给“6”加“2”变成“8”，给“9”加“1”也变成“8”，刚好补上所差的1。 (2)由于等号右边的数为21，等号左边12-6+1的结果为7，比21小，所以可尝试将“减号”添上中变成“十”，结果为19，仍然少2，再把“6”变成“8”就可以了。解：拓展探究学习了添加、去掉和移动火柴棒的一些小窍门，你能自己出一道用火柴棒拼摆算式的题目考考小伙伴吗？二年级爬楼梯问题2、时钟2点钟敲2下，2秒钟敲完；4点钟敲4下，几秒钟敲完？敏捷思维时钟敲2下，中间有2-1=1(个)间隔，这一个间隔是2秒钟；时钟敲4下，中间有4-1=3(个)间隔，需要3个2秒钟,也就是6秒钟。解：4-1=3（个）2×3=6（秒） 答：6秒钟敲完。拓展探究时钟在敲时，中间有停顿，这个停顿的时间就是一个间隔的时间。三年级除法巧算3、计算：（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6。敏捷思维认真观察此题可知，解题关键是求括号中6个相接近的数的和，选4940为基准数，可使计算简便。解：（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6=（4940×6＋2＋3－2－1＋1＋3）÷6=（4940×6＋6）÷6=4940×6÷6＋6÷6=4940＋1=4941四年级巧求周长 4、用3个边长为4厘米的正方形拼成一个长方形。求所拼成的长方形的周长。敏捷思维这个长方形由3个正方形拼成，拼成的这个长方形的宽与正方形的边长相等，而长边则由3个正方形边长拼成，长度为4×3=12（厘米），所以长方形周长为（12+4）×2=32（厘米）。解：（4×3+4）×2=（12+4）×2=16×2=32（厘米）答：所拼成的长方形的周长为32厘米。拓展探究注意图形重合的线段，就很容易求出拼成后的图形了。五年级数的整除性5、七位数能被6整除，这样的七位数有多少个？敏捷思维能被6整除，即它能同时被2和3整除。故M可取0，2，4，6，8五个数字。因为1+2+M+N+M+N+M=3×（M+1）+2N，所以要使这七位数能被3整除，N可取0，3，6，9这四个数字。解：符合条件的七位数有5×4=20(个)。拓展探究此题比较复杂，以个位为偶数能被2整除为突破口，然后再以各个数字之和能被3整除的特征来解。 六年级圆的周长和面积（三）6、如图，四边形ABCD是正方形，阴影部分的面积是多少？(π取3.14。)敏捷思维解：拓展探究灵活运用计算圆的面积。一年级锯木头1、时钟两时敲2下，2秒敲完；五时敲5下，几秒敲完？ 敏捷思维从图中可以看出，本题的敲钟是从第1下开始敲的，敲了2下，说明有1个间隔，得出1个间隔用2秒，找到敲5下有4个间隔，从而很快算出总共的时间。属于两头有点，点多1的问题。解：2－1=1（个）5一1=4（个）2+2+2+2=8(秒)拓展探究敲钟问题也存在着间隔数。求每个间隔所用的时间以及敲的总时间，关键是要找到间隔数，可以用画图的方法，2个点（敲2下）之间的长度为1个间隔，同学们还要清楚实际上敲2下就是1个间隔的时间，从而得出结果。二年级乘车坐船问题2、有50名同学去划船!大船每条可以坐6人，租金10元，小船每条可以坐4人，租金8元，怎样租船最省钱？敏捷思维租船的方案有很多!我们可以根据大船的条数从多到少依次考虑。解：各种方案列表如下答：6秒钟敲完。拓展探究从上表可知，第3种方案，即租7条大船，2条小船最省钱。像这样有多种方案的题目，可充分利用表格来解题。三年级数字谜 3、下面不同的汉字代表不同的数，相同的汉字代表相同的数，它们各表示几？敏捷思维由学×３后个位是２，可知学是４，并向积的十位进１。因而数×３＝３，数为１。因为数为１，欢×３末位应为１，可知欢为７，积向前进２，喜×３＋２＝１７，喜为５。再由我×３＋１的个位为５可知，我×３的个数为４，我为８。解：拓展探究解文字数字谜，要注意通过全面细致的观察，找到突破口，再通过有序的推理尝试，找到正确的答案。四年级图形面积4、如图，边长为4厘米的正方形将边长为3厘米的正方形遮住了一部分，则空白部分的面积的差等于多少平方厘米？敏捷思维阴影部分是两个正方形的重合部分，所以空白部分的面积的差实际上就是大小两个正方形的面积差。 解：4×4-3×3=7（平方厘米）答：空白部分的面积的差为7平方厘米。拓展探究在求两个正方形的面积差时，都包含了阴影部分的面积，再相减就互相抵消了，实际上就是空白部分的面积差。五年级分解质因数5、饶向东用2.16元钱买了若干张画片，如果每张画片的价钱便宜１分钱，那么他还能多买３张。问：饶向东买了多少张画片？敏捷思维由题意可知，画片的单价×张数＝２１６（分）。它们乘积的质因数与２１６的质因数相同。我们可以先把２１６分解质因数，２１６＝２×２×２×３×３×３＝８×２７＝９×２４，显然２１６分可以买８分的画片２７张，也可以买９分的画片２４张，所以饶向东买了２４张画片，符合题意。解：饶向东买了２４张画片。拓展探究解此题的关键是会把总价进行转化，要明白画片的单价乘张数等于总价，然后再把分解好的质因数进行适当组合就行了。六年级正反比例意义和基本性质 6、学校组织四、五、六年级共225名小朋友参加数学夏令营活动。为了能区分每个年级的同学，要求四年级的小朋友戴红帽子，五年级的同学戴黄帽子，六年级的同学戴蓝帽子。红帽子的单价是1.50元，黄帽子的单价是2.00元，蓝帽子的单价是3.00元。如果买这三种颜色的帽子所用的钱数是一样的，那么参加夏令营的四年级小朋友有多少人？敏捷思维要善于利用单位“１”和比例中的份数关系。根据“买这三种颜色的帽子所用的钱数是一样的”，假设“四年级人数×1.5＝五年级人数×２＝六年级人数×３＝１”，则四年级人数＝１÷1.5＝2/３，五年级人数＝１÷２＝1/２，六年级人数＝１÷３＝１/３，然后求出四、五、六年级人数的连比，再用比例分配的方法求出四年级人数。解：拓展探究解答此题的关键是根据题目中的等量关系，先列出乘积的等式，然后求出每个年级人数的份数，再求出四、五、六年级人数的连比。一年级巧算1、10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 这道题小明和小力比赛谁算得快？结果不到半分钟，小力就算出结果了，而且算对了！小朋友，你知道他是怎样算的吗？敏捷思维这道题如果从左到右按顺序进行加减运算，是能够算对的，但因为算式太长，算的步骤较多，不易做对。但聪明的小朋友只要改变一下运算顺序，先减后加，就会简便许多，我们可以将它们分一下组，并保证每组的结果是一样的。解：10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=(10-9)+(8-7)+(6-5)+(4-3)+(2-1)=1+1+1+1+1=5拓展探究较长的算式我们不必非要按顺序去计算，有时可以观察相邻的数有无规律，可以进行分组计算，使计算简便。二年级奇妙的周期问题2、一串珠子有27颗，依次按“一红三白”的顺序染色，最后一颗应染什么颜色？红色和白色的各染了多少颗？敏捷思维珠子按照“一红三白”的顺序染色，也就是1+3=4（颗）一组，组27÷4=6（组）……3（颗），最后一颗是第7组的第3颗，即白色。要计算白色和红色珠子的颗数，就是看前6组和第7组里各有多少颗白珠子和多少颗红珠子。 解：27÷4=6（组）……3（颗）红色：1×6+1=7（颗）白色：3×6+2=20（颗）答：最后一颗应染白色，红色有7颗，白色有20颗。拓展探究前6组里都是一红三白，因此红色共有6颗，白色共有18颗。但是第7组只有3颗，分别是1颗红珠子和2颗白珠子，在计数时，一定要想清楚。三年级巧填运算符号3、王老师在批改当当同学的数学作业时，发现他抄题时丢了括号，但结果却是正确的。你能帮助当当把丢的括号找回来吗？４＋２８÷４－２×３－１＝４敏捷思维根据题意，当当的错误算式是丢了括号。我们都知道，添加括号能改变原题中的运算顺序的，如果括号添在乘、除运算的两侧就没有改变运算顺序，毫无意义。所以，括号应添在含有加减运算的两边。从左往右看，在４＋２８两侧试添括号，计算得３２，再除以４得８；当当的算式就变成：８－２×３－１＝１。如果把括号加在８－２的两侧，计算结果大于４，只能把括号加在３－１的两侧，很容易就得到：８－２×（３－１）＝４。解：（４＋２８）÷４－２×（３－１）＝４ 拓展探究对于添加括号的式子，我们一般采用试验的方法找出答案。分析时先假设括号的位置，然后对结果进行尝试计算，一步步把数字缩小，逐步推测出括号应加在哪里。四年级列举与计数4、有一类四位数，各数位的数字之和等于8，并且各数位上的数字都不相同!这样的四位数共有多少个？敏捷思维四个不同的数字，加起来等于8的，只有以下两组：0+1+2+5=8和0+1+3+4=8。因此，符合条件的四位数可以分为两类去列举。（1）由0、1、2、5这四个数字组成的四位数。（2）由0、1、3、4这四个数字组成的四位数。其中由0、1、2、5这四个数字组成的四位数中，数字1开头的有1025、1052、1205、1250、1501、1520共6个；数字2和5开头的也都是6个。由0、1、3、4这四个数字组成的四位数，数字1、3和4开头的也都是6个。所以，就可以求出满足条件的四位数共有多少个。解：由0、1、2、5这四个数字组成的四位数有3×6=18（个）由0、1、3、4这四个数字组成的四位数有3×6=18（个）这样的四位数共有36个。拓展探究列举法解题，我们还要学会合理分类。分类是科学研究的基本方法，当然也是数学研究的基本方法。特别是列举法解题一般都离不开分类。五年级因数与倍数 5、一个两位数，用它除58余2，除73余3，除85余１，这个两位数是______。敏捷思维用此两位数除58余2，除73余3，除85余１，那么58-2=56，73-3=70，85-1=84。都能被这个两位数整除，这个两位数一定是56，70和84的公因数。解：由此可见，56，70，84的最大公因数是2×7=14,，则这个两位数是１４。拓展探究巧妙变更被除数或除数，将有余数问题转化为整除问题，进而应用与因数有关的知识去解答。六年级比例中的行程问题6、敏捷思维 解：拓展探究一年级怎样付钱1、王阿姨带着玲玲去逛商场，王阿姨要买一支牙膏，需付7元，但是王阿姨只带了4张5元的人民币，就拿出2张5元给营业员。不巧的是营业员只有2元面值的钱，无法找给王阿姨。玲玲想了想，说：“这好办。”说着很快帮王阿姨想出了办法，你知道玲玲是怎么付钱的吗？ 敏捷思维因为营业员只有2元面值的钱，如果找钱，只能找2元、4元、6元、8元……如果王阿姨付给营业员15元（刚好是3张5元），那么营业员正好找给王阿姨8元。解：付给营业员3张5元，营业员找8元（刚好是4张2元）。拓展探究这样的题目涉及到了单数和双数的问题，可以借助尝试法解答。二年级余数真奇妙2、春节挂彩灯，按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序循环挂，一共挂了45盏彩灯，其中红、黄、蓝、白、绿、紫灯各有多少盏？敏捷思维这些彩灯按六种颜色组成一组，先算出45盏彩灯中有这样的几组，45÷6＝7（组）……3（盏），余数是3，这3盏彩灯是第8组的红、黄、蓝三种颜色。解：45÷6＝7（组）……3（盏）7＋1＝8（盏）答：红、黄、蓝灯分别有8盏，白、绿、紫灯分别有7盏。 拓展探究像这样的题目，我们只要找规律——几种颜色为一组，也就是除数，找准了除数，就可以利用余数解决问题了。三年级归一问题3、甲、乙两人一起去买布，甲买白布7米、花布3米，需要212元；乙买同样的白布3米、花布7米，需要188元。白布和花布每米的价格是多少元？敏捷思维可以先求出每米白布和每米花布的价格和，也可以想方设法抵消一种物品，而求出另一种物品的单价。解：将条件列表如下：白布/米花布/米总价/元甲73212乙37188从表中可看出，甲、乙共买白布7＋3＝10（米），花布3＋7＝10（米），可算出每米白布与每米花布的价格之和为（212＋188）÷（7＋3）＝40（元）。再从甲所买的布中减去3米白布和3米花布：212－40×3＝92（元），这是7－3＝4（米）白布的价钱，所以每米白 布的价格为92÷（7－3）＝23（元），每米花布的价格为40－23＝17（元）。拓展探究这道题还可以想方设法抵消一种物品，而求出另一种物品的单价。四年级平均4、用写有1、3、5、7的四张数字卡片可以组成24个不同的四位数，这24个四位数的平均数是多少？敏捷思维直接写出这24个四位数再相加求和是相当繁琐的，可以考虑数字出现的规律：再组成的24和四位数中，千位、百位、十位及个位上，每个数字均出现6次，再根据“位值原则”进行计算会简便些。解：在组成的24个四位数中，千位、百位、十位及个位上，每个数字均出现6次，所以这24个四位数的和为（1＋3＋5＋7）×6666，这24个四位数的平均数为（1＋3＋5＋7）×6666÷24＝4444。拓展探究观察发现这24个四位数各位上数字出现的规律是解决这道题的关键，类似的题目我们也应从中找到相应的规律，并利用这个规律来解决问题。 五年级奇偶性分析5、有一串数1、1、2、3、5、8、13、21……，这串数的前2009个数中，有多少个奇数？敏捷思维根据题目给出的这串数，我们发现它的奇偶性排列规律是：奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶……，每三个数中有2个奇数。我们利用这个规律求出奇数的总个数。解：2009÷3＝669（组）……2（个）669×2＋2＝1340（个）答：有1340个奇数。拓展探究根据奇偶性排列规律来分析。六年级圆柱的表面积 6、如图，将高都是1米、底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。（π取3，单位：米）敏捷思维如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样比较麻烦。观察图形后发现，向上的三块表面积之和恰好是大圆柱的一个底面。物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。解：22π×1.5＋2π×1.5×1＋2π×1×1＋2π×0.5×1＝10.5π＝31.5（平方米）拓展探究计算较复杂的物体的表面积时，可以将几个面重新组合成一个简单的面，使计算简单。一年级图形的拼剪1、小红家昨天夜里被盗了，一单层墙被人挖了个洞（如图）。请你想一想，至少要用多少块砖，才能把洞补好？ 敏捷思维这面墙有五层，其中第一层和第五层是完好的。通过观察我们可以发现，第二层左边留下的砖正好是一块砖的一半，也就是半块砖，右边也剩下半块砖，2个半块砖正好是一块砖。由此可以知道第二层、第四层各缺3块砖，第三层缺2块砖。解：要用8块砖。拓展探究解决这样的问题，应先找到砖块排列的规律，然后根据各层之间的关系进行推算。二年级混合运算2、计算。（1）168－47－53（2）127－（27＋44）敏捷思维（1）这是一道连减题，题中的47与53可以凑成整百数，用168减去47，再减去53，它一共减去了（47＋53），所以变成了168减去100，等于68。（2）本题与（1）刚好相反，要减去27和44的和，就考虑先减去27，再减去44。解：（1）168－47－53 ＝168－（47＋53）＝168－100＝68（2）127－（27＋44）＝127－27－44＝100－44＝56拓展探究连减可以看成要减去两个数的和，减去两个数的和也可以看成连减。三年级年龄问题3、妈妈17年前的年龄等于女儿9年后的年龄，妈妈5年后的年龄与女儿2年前的年龄之和为47岁。妈妈和女儿今年各多少岁？敏捷思维这道题的关键是确定以今年为标准，找出今年母女的年龄和是47＋2－5＝44（岁），年龄差为17＋9＝26（岁），这样用和差问题的数量关系就很容易解决。解：妈妈与女儿的年龄差：17＋9＝26（岁）妈妈与女儿今年的年龄和：47－5＋2＝44（岁）妈妈今年的年龄：（26＋44）÷2＝35（岁）女儿今年的年龄：（44－26）÷2＝9（岁） 答：妈妈今年35岁，女儿今年9岁。拓展探究这道题还可以用画线段图来解。四年级幻方4、下图是一个三阶幻方，请把空格内其他所有的数填完。敏捷思维比较第一行与第一列得：第一列最后一个数为8＋10－1＝17。比较过中心方格的行与对角线可得：第二行最后一个数为10＋17－1＝26；第三行第2个数为17＋10－8＝19。余下的两个角上数的和为27（8＋19＝1＋26＝17＋10），再比较第一行与第三行的和可知两角上两数之差为（17＋19）－（10＋8）＝18。利用和差问题的解法，可得第一行第一列的数为（27－18）÷2＝22.5。解：拓展探究根据幻方的特点——行和列及对角线的和都相等，比较有公共数的行和列及对角线，从中找出数量关系是幻方中最常用的方法。 五年级图形表面积5、一个长6分米、宽4分米、高2分米的长方体木箱，用三根铁丝捆起来（如图），每个打结处要用1分米的铁丝。这三根铁丝至少长多少分米？敏捷思维三根铁丝的总长度包含2条长、4条宽、6条高的长度，再加上打结处铁丝的长度。解：6×2＋4×4＋2×6＋2＝42（分米）拓展探究求长方体包装带的长度，可把它分解为若干条长、宽、高以及打结处的长度。六年级圆柱、圆锥的体积6、一个盖有瓶盖的玻璃瓶里面装着一些水（如图，玻璃的厚度忽略不计），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是多少立方厘米？ 敏捷思维观察左面的瓶子，我们可以把水的体积看作是一个底面积为10平方厘米、高为5厘米的圆柱的体积；观察右面的瓶子，可以把空的部分的容积看作是一个底面积为10平方厘米、高为3厘米的圆柱的体积。瓶中水的体积是一定的，瓶子的容积也是一定的，因此正着放和倒着放时上面空的部分的体积相同。根据“水的体积＋空的部分的容积＝瓶子的容积”求出问题。解：10×（10－7＋5）＝80（立方厘米）拓展探究运用等积变形的思想，把不规则的形体转变成大小不变的规则的形体，从而使计算简便。例如在本题中把右图的直立瓶子上面空的部分的体积（不规则的）转变成相等的右图倒立瓶子上面空的部分的体积（圆柱）。一年级巧填运算符号1、在下面的三个2中间添上“×”“÷”，使得数是2。222＝2敏捷思维 因为最后的结果是2，所以想1×2＝2或4÷2＝2。解：2÷2×2＝22×2÷2＝2拓展探究若想很快的得出答案，就要从结果入手分析。二年级图文算式2、下面竖式中□、○、△各代表一个数字，你能求出来吗？敏捷思维先看个位上的数字，三个相同数字相加的末位数字是7，这个数只能是9，即△＝9，并向十位进2；十位上三个相同的数字相加，末位数字是7－2＝5，这个数是5，即○＝5，并向百位上进1；最后看百位，这三个相同的数字相加，末位数字为7－1＝6，这个数是2，即□＝2。 解：拓展探究三个相同的数相加比两个相同的数相加要复杂，但是思考的方法是一样的。三年级最佳策略3、一条公路上每隔50千米有一个仓库，共有四个仓库（如图）。A仓库有货物15吨，B仓库有货物25吨，D仓库有货物60吨，其中C仓库是空的。现在要把所有的货物集中放在一个仓库中，如果每吨货物运1千米要2元的运费，那么最少要花多少元运费才行？敏捷思维我们知道，这种运输问题，运输的货物越重路程越远，运费就越多；反之，如果运输的货物越轻路程越近，所花的运费就越少。在本题中，各仓库之间的距离相等都是50千米，一般是采用少往多处集中的原则，即集中存货物比较多的仓库比较节约运费。A、B两个仓库的货物合起来是40吨，比D仓库的60吨要少，所以应该将A、B仓库的货物集中到D仓库。 解：A仓库需要的运费：2×50×3×15＝4500（元）B仓库需要的运费：2×50×2×25＝5000（元）一共：4500＋5000＝9500（元）答：最少要花9500元运费才行。拓展探究解答此类运输问题，关键是要明白运输的货物越重路程越远，运费就越多；反之，运输的货物越轻路程越近，所花的运费就越少。掌握了这一点，问题就迎刃而解了。四年级简单的推理4、某地质学院的三名学生对一种矿种进行分析。甲判断：不是铁不是铜。乙判断：不是铁而是锡。丙判断：不是锡而是铁。经化验证明，有一个人的判断完全正确，有一个人只说对了一半，而另一个人完全错了，你知道三人中谁是对的，谁是只对了一半的吗？敏捷思维我们可以根据题目条件进行假设，最后结果是有一人判断完全正确，我们就从甲开始，假设甲判断完全正确，逐步去推断，看是否符合题意。 解：如果甲的判断完全正确，那么乙说对了一半“不是铁”，所以这矿石也不是锡，这样丙也说对了一半，矛盾；如果乙的判断完全正确，那么甲的判断也是正确的，矛盾。所以丙的判断完全正确，乙错了，甲只说对了一半。拓展探究假设法是解推理题常用的方法，通常有假设条件和假设结论两种，把假设的结论与实际结论相比较从而得出答案。五年级图形的体积5、现有空的长方体容器A和水深24厘米的长方体容器B，要将B中的水倒一部分给A，使两容器水的高度相同，这时水深是多少厘米？敏捷思维倒水前后水的总量不变，但是后来A、B两容器水的高度相同，假设这时A、B两个容器连通在一起为大容器，这个大容器的底面积就是A、B两个容器底面积之和。解：30×20×24÷（40×30＋30×20）＝8（厘米） 拓展探究把一个容器中的水倒入另一个容器中，水的总体积保持不变。六年级生活中的数学6、如图，酒瓶中装有一些酒，倒进一只酒杯中，酒杯口的直径是酒瓶的一半，共能倒满多少杯？敏捷思维本题可以假设酒杯口直径为2，高为2；酒瓶的直径为4，高为5，分别求出酒杯和酒瓶的体积。解： 拓展探究像这类没有告诉具体数量的题型，可以根据题目的条件假设一些数据，使解题的过程更加具体形象。一年级简单的推理（一）1、一个袋子里装有形状大小一样的红、黄两种玻璃球各4粒。如果不用眼睛看，要保证一次拿出2粒颜色不相同的玻璃球，至少必须摸出几粒玻璃球？敏捷思维如果摸得巧，只要摸出2粒就可以得到2粒颜色不相同的玻璃球。如果不凑巧，那么连续摸出4粒都可能是同一种颜色的玻璃球，此时再摸出1粒，其中就有2粒颜色不同的玻璃球了，所以要保证一次摸出2粒颜色不同的玻璃球，至少必须摸出5粒玻璃球。解：4＋1＝5（粒）答：至少必须摸出5粒玻璃球。二年级推算质量2、已知10个李子的质量等于1个苹果加2个橘子的质量，而4个李子和1个橘子的质量等于1个苹果的质量。问：多少个李子的质量等于1个苹果的质量？敏捷思维根据题意写出等式：1个苹果的质量＋2个橘子的质量＝10个李子的质量4个李子的质量＋1个橘子的质量＝1个苹果的质量解：由上面等式可得出： 3个橘子的质量＝6个李子的质量1个橘子的质量＝2个李子的质量1个苹果的质量＝6个李子的质量拓展探究把题意写成等式后，根据数量之间的关系可以进行代换，从而解决问题。三年级鸡兔同笼3、张老师带55个同学去划船，正好乘坐10只船，其中大船坐6人，小船坐4人。大船和小船各有几只？敏捷思维在审题中要注意读清题意，解答本题时要特别注意两点：（1）张老师带55个同学去划船，说明张老师和学生共56人去划船；（2）正好坐10只船，说明10只船都恰好坐满，没有空位，而且56人也没人被落下。解：本题中张老师和55个同学共56人去坐船，把10只船都假设为小船，只能乘坐4×10＝40（人），还有56－40＝16（人）没有船坐，原因是把大船换成了小船，每换一次，就有6－4＝2（人）没船坐，所以把16÷2＝8（只）大船换成了小船。故大船有8只，小船有10－8＝2（只）。答：大船有8只，小船有2只。四年级生活趣题4、两个汽车驾驶员要平分12千克的大桶汽油，身边只有能装9千克和5千克的两只空桶，怎样才能平均分开呢？ 敏捷思维考虑到12千克的一半是6千克，与5千克只相差1千克，所以问题的关键是找到量1千克汽油的方法。解：我们可以找到这样的关系：5×2－9＝1（千克），利用这个关系我们用下面的表格中表述方法来均分。如此经过8次后，便可平均分开。拓展探究观察数据之间的相互关系，并从中找到关键所在，进而解决问题。五年级巧比分数大小5、敏捷思维解： 拓展探究六年级抽屉原理6、六（2）班的同学参加一次数学考试，满分为100分，全班最低分是75分。已知每人得分都是整数，并且班上至少有3人的得分相同。六（2）班至少有多少名同学？敏捷思维把可能的得分看作“抽屉”，把学生人数看作“苹果”。由于最高分为100分，最低分为75分，所以学生可能得到的不同的分数为100－75＋1＝26（种）。26就是抽屉的个数。解：因为班上至少有3人的得分相同，所以全班人数至少为：26×2＋1＝53（名）。拓展探究题目提供的条件所能推得的结论很少，因而直接入手较难，此时如改变思维方向，从结论入手进行逆向思考，可能更容易解决问题。一年级简单的推理（二）1、明明、亮亮和刚刚三人的爸爸，一位是工人，一位是医生，一位是解放军，请你根据下面的两句话，猜一猜他们的爸爸分别是谁。（1）明明的爸爸不是工人。（2）明明的爸爸和亮亮的爸爸正在听一位当解放军的爸爸讲战斗故事。敏捷思维从“明明的爸爸和亮亮的爸爸正在听一位当解放军的爸爸讲战斗故事”这句话可以推想出明明和亮亮的爸爸不可能是解放军，这样就知道刚刚的爸爸一定是解放军，其余两 人的爸爸一个是工人，一个是医生，从“明明的爸爸不是工人”，可知明明的爸爸一定是医生，亮亮的爸爸一定是工人。解决这类问题，除了可以用上面的排除法，也可以用列表的方法来找答案。先根据第一句话填表，再根据第二句话填表，最后把表格补充完整，在表格中找答案：解：明明的爸爸是医生，亮亮的爸爸是工人，刚刚的爸爸是解放军。拓展探究列表法是一种很重要的数学方法，它能帮助我们逐步地进行有根有据的推理，找到最后的结论，做出准确的判断。运用列表法，一定要注意从每一个条件出发，认真审题，仔细分析。二年级巧填运算符号与填数2、从“＋”“－”“×”“÷”“（）”中挑选合适的符号，填入适当的地方，使下面等式成立。（1）55555＝1（2）55555＝2（3）55555＝3（4）55555＝4敏捷思维在加减乘除运算中，有5÷5＝1，（5＋5）÷5＝2，5－5＝0等几个基本关系，充分利用它们就可以使等式成立。解：本题答案不唯一，如：（1）5÷5＋（5－5）×5＝1（2）（5＋5）÷5＋5－5＝2 （3）5－5÷5－5÷5＝3（4）5－5÷5＋5－5＝4三年级盈亏问题3、小聪用一根绳子来测量一口井的深度，他把绳子的一端放入井底，井口外的绳子长9米，他把这根绳子对折后，将一端放入井底，这时在井口外的绳子还有3米，求这口井的深度及绳子的长度。敏捷思维两次测量井外绳子长度相差9－3×2＝3（米），井内绳子相差“折数”为2－1＝1（折）。解：井的深度：（9－3×2）÷（2－1）＝3（米）绳子长度：3＋9＝12（米）答：这口井深3米，绳子长12米。拓展探究这道题要注意的是井口外的绳子也是对折，所以对折后井口外的绳子余3×2＝6（米）。我们在解题时要认真审题，仔细分析。四年级最大和最小4、用1～7这七个数字组成三个两位数和一个一位数，并使这四个数的和等于100。当最小的两位数尽可能小时，最大的两位数最大是多少？敏捷思维先考虑十位和个位的和应是多少，再从中选择适当的数字，并进行组合，便可以知道，当最小的数尽可能小时，最大的数可以是多少。 解：1＋2＋3＋…＋7＝28，所以三个十位数字之和应是8，四个个位数字之和应是20，为使最小的两位数尽可能小，三个十位数字是1、3、4，四个个位数字是2、5、6、7，所以最小的两位数是12，最大的两位数是47。拓展探究先考虑求和时相加的可能性，再从中根据题目的要求，找出满足条件的数。五年级巧求分数和5、计算：敏捷思维解：拓展探究 将算式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。六年级逻辑推理6、某班有44人，从A、B、C、D、E五位候选人中选举班长。A得选票23张，B得选票占第二位，C、D得票相同，E的选票最少，只得了4票。B得选票多少张？敏捷思维B、C、D的选票共44－23－4＝17（张），C、D的选票至少各5张。如果他们的选票超过5张，那么B、C、D的选票超过6＋6＋6＝18（张），这不可能，所以C、D各得5票。解：44－23－4－5－5＝7（张）答：B得选票7张。拓展探究此题限制B、C、D的得票数要超过4张但不超过6张。一年级有趣的数阵1、把1、2、3、4、5这五个数分别填入下面的□里，使每条边上三个数的和都相等。敏捷思维为在1、2、3、4、5这五个数中，双数只有2个，所以双数不能填在中心格。因为如果把一个双数填在中心格，那么必有一行三个数的和为单数，另一行三个数的和 为双数，所以不能把双数填在中心格，因此中心格只能填1、3、5。确定好中心格里的数后，因为中心格里的数是横行与竖行共有的，要使横行与竖行三个数的和相等，只要再使左、右两数的和与上、下两数的和相等就可以了。解：拓展探究填数阵图要认真分析、研究数阵图的内在规律，首先应该想到中心格的数是横行与竖行公共的，其次根据五个数中单数、双数的个数，确定中心格的数，最后将剩下的4个格按小配大（如2、3、4、5中2和5，3和4分别组成两组）的原则分成两组，分别填在左右、上下格里。二年级统计问题2、按要求整理课程表：每星期相同的课程各有几节？ 敏捷思维要按一定的顺序找到相同的课程，最后检查总数，确保不要遗漏。解：找到相同的课程，作上记号，划“正”字记数。语文有9节，数学有5节，音乐有2节，体育有2节，美术有2节，兴趣小组有2节，思想品德有1节，自然有1节，生活与劳动有1节，课外活动有1节，班队活动有1节，信息技术有1节，写字有1节。拓展探究按照统计的顺序，画“正”字统计。三年级重叠问题3、三（2）班共有50人。下午放学时，班主任王老师问：“谁做完了语文作业？”这时有39人举手。又问：“谁做完了数学作业？”这时有45人举手。最后问：“谁的语文作业和数学作业都没做完？”这时有3人举手。请你算一算，三（2）班语文、数学作业都做完的有多少人？ 敏捷思维因为语文作业和数学作业都没做完的有3人，所以其余50－3＝47（人）至少已经完成了一科作业，这47人中语文、数学两科作业都做完的人数在做完数学作业的45人和做完语文作业的39人中均都被计了一次，所以完成数学作业、语文作业的人数之和要比至少完成一科作业的人数多，这多出的部分就是被重复多计的完成两科作业的人数。解：45＋39－（50－3）＝37（人）答：语文、数学作业都完成的有37人。拓展探究此题的解题关键是要弄清楚各部分的数量关系，也就是至少完成一门的人数应是50－3＝47（人）。因此，我们在解题中要针对问题，灵活运用重叠问题的解题方法。四年级方阵4、四年级学生160人排成四路纵队（即每排4人），每相邻两排相隔1米，每路纵队有多长？敏捷思维把160人排成4列纵队，就是求纵队中所有人间隔的距离。这是植树问题解决方法的灵活运用。 解：每纵队人数：160÷4＝40（人）每路纵队长：（40－1）×1＝39（米）答：每路纵队长39米。拓展探究队列的形状有所不同时要根据具体的形状选择合适的计算方法。五年级平均数问题5、有四个数，第一次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这种方法计算了四次，分别得到以下四个数：86、92、100、106，原来四个数的平均数是多少？敏捷思维如果我们设这四个数分别为a、b、c、d。则［（a＋b＋c）÷3＋d］＋［（a＋b＋d）÷3＋c］＋［（a＋c＋d）÷3＋b］＋［（b＋c＋d）÷3＋a］的和正好是a、b、c、d这四个数的和的2倍，则a＋b＋c＋d＝（86＋92＋100＋106）÷2＝192。则平均数是192÷4＝48。解：（86＋92＋100＋106）÷2＝192192÷4＝48答：原来四个数的平均数是48。 拓展探究巧设四个数分别为a、b、c、d，求出a、b、c、d四个数的总和，从而求得平均数。六年级最值问题6、某班有44人，从A、B、C、D、E五位候选人中选举班长。A得选票23张，B得选票占第二位，C、D得票相同，E的选票最少，只得了4票。B得选票多少张？敏捷思维如下图所示，设长方体的长、宽、高分别为a厘米、b厘米、c厘米。根据题意，有ab＝180，bc＝84，所以b必为180和84的公因数，而长方体的表面积为（ab＋bc＋ca）×2＝（180＋84＋ca）×2。因此，ca越小，表面积越小，就要使b尽可能大，应取180和84的最大公因数12，同时，c和a的值就可以求出来了。解：（180÷12）×12×（84÷12）＝1260（立方厘米） 拓展探究要使表面积越小，就要使ca越小，就要使b尽可能大，应取180和84的最大公因数。一年级认识钟表1、根据下图中左边三个钟面上的时刻，推算并画出最后一个钟面上的正确时刻。敏捷思维前三个图的钟面上所表示的时刻分别是1时、3时、5时，其规律是：后一个钟面上的时刻总比前一个钟面上的时刻多2小时，所以第四个钟面上的时刻是5时＋2时＝7时。解：钟面上的时刻是7时。拓展探究认真观察，找到规律，根据规律确定未知钟面上的时刻。利用规律解决问题是数学中常用的一种方法，学会找规律对于顺利解决问题有很大的帮助。二年级找规律填图2、观察下图中已有的几个图形，想一想空白处应画什么水果。敏捷思维 根据题意写出等式：1个苹果的质量＋2个橘子的质量＝10个李子的质量4个李子的质量＋1个橘子的质量＝1个苹果的质量通过观察可以看出，图中仅有三种图形，并且每行每列中，都只有一个、一个、一个。因此，根据不重不漏，可知空白处应画。解：拓展探究同学们注意观察图形的变化规律，每组图形排成了一行，呈循环排列。三年级简单枚举3、有2张5元和3张20元的人民币，一共可以组成多少种不同的钱数？ 敏捷思维可依次取1张、2张、3张、4张和5张人民币，计算出钱数。解：取1张人民币有5元和20元2种钱数；取2张人民币：5×2＝10（元），20×2＝40（元），5＋20＝25（元），可以组成3种钱数；取3张人民币：5×2＋20＝30（元），5＋20×2＝45（元），20×3＝60（元），可以组成3种钱数；取4张人民币：5＋20×3＝65（元），5×2＋20×2＝50（元），可以组成2种钱数；取5张人民币：5×2＋20×3＝70（元），可以组成1种钱数。因此，一共可以组成2＋3＋3＋2＋1＝11（种）不同的钱数。拓展探究学会和掌握分类枚举法，可以使我们方便快捷、准确无误地求出正确的结果。四年级有余数的除法及周期性（一）4、公历2000年1月1日是星期六，公历2008年1月1日是星期几？敏捷思维一个星期有7天，2000年1月1日是星期六，经过7天（即1月8日）还是星期六，再经过7天（即1月15日）还是星期六……，如此周而复始，因此，这也是一个周期性问题。一个星期的周期是7天，因此只要求出从公历2000年1月1日到公历2008年1月1日一共经过多少天，就是全过程的天数，利用有余数除法，求出这些天数含有多少个星期，还剩余多少天（余数），再数出余数表示的天数是星期几就可以了。解：365×6＋366×2＋1＝2923（天）2923÷7＝417（周）……4（天） 从星期六开始数4天是星期二，所以公历2008年1月1日是星期二。拓展探究这是生活中典型的问题，一个星期也是典型的周期性问题，因此解法也是典型的。关键是算出经过的天数。生活中有很多事情也是周期性出现的，同学们只要留意观察，就能用有余数除法解决问题。五年级最大与最小5、放假期间，某合唱团团长有一个紧急通知要发给120个成员，如果打一个电话需要1分钟，每个合唱团成员都有电话。请你算一算，最少需要多少时间，才可以通知到所有成员？敏捷思维团长第1分钟通知第一个成员；第2分钟团长和那位成员同时打电话通知，则有4个人知道了这个通知；第3分钟4个人又可以通知4个人，共有8个人知道了这个通知；第4分钟8个人又通知8个人，共16个人知道了这个通知。依此类推……解：答：最少只需7分钟便可以全部通知到。 拓展探究n一般地，如果打电话1分钟通知1个人，第n分钟可以有2个人知道这个通知。六年级统筹问题6、甲地有59吨货物要运到乙地。大货车的载质量是7吨，小货车的载质量是4吨，大货车运一趟耗油14升，小货车运一趟耗油9升。问：运完这批货物最少耗油多少升？敏捷思维要使总耗油量最少，要考虑两方面因素：①尽量多用大货车，因为大货车运1吨货平均耗油14÷7＝2（升），小货车运1吨货平均耗油9÷4＝2.25（升）；②尽可能地少出现空的吨位。解：（1）如果59吨全用大货车运，要运59÷7≈9（趟），耗油14×9＝126（升）。（2）如果用大货车运8趟，还剩下货物59－8×7＝3（吨），用小货车1趟，一共耗油14×8＋9＝121（升）。（3）如果用大货车运5趟，还剩下货物59－5×7＝24（吨），用小货车6趟，一共耗油14×5＋9×6＝124（升）。三种方案比较：安排大货车运8趟，小货车运1趟耗油最少，最少为121升。拓展探究要使耗油量最少，要考虑两方面因素：①尽可能地多使用大货车；②尽可能地少出现空的吨位。注意：不一定大、小货车正好把货物装下才算最省油，需要尝试几种运法后才能得出正确答案。一年级重叠问题 1、一年级三班有32名学生，参加数学小组的有26人，参加作文小组的有17人，每个同学至少参加了其中的一个兴趣小组，两个小组都参加的有多少人？敏捷思维从图中可以看出，26人与17人的和超过了全班总人数，超过的部分就是重叠部分，也就是两个小组都参加的人数。解：26＋17＝43（人）43－32＝11（人）答：两个小组都参加的有11人。拓展探究求重叠部分的数量，一般方法是：先求各个部分的和，再用这个和减去实际总数，多出的部分就是重叠部分的数量。二年级找规律填数2、先找出规律，再在“？”处填上合适的数。 敏捷思维通过对前面两个图形的观察与分析，可以发现：圆中的数字等于外面三个数字的和。解：根据这个规律，第三幅图中的“？”处应填17，即4＋5＋8＝17；第四幅图中的“？”处应填6，即3＋5＋？＝14，？＝14－3－5＝6。拓展探究按规律填数时，有时是按一定规律把数字排在了图表中，就要分析图中各数的关系，找出规律。三年级面积计算3、有一块长方形的草坪长16米，宽8米，草坪的正中间留了2米宽的路。把草坪平均分成四块，每小块草坪的面积是多少？敏捷思维我们可以直接求出每小块草坪的长和宽，进而求出每小块草坪的面积。解：（16－2）÷2＝7（米）（8－2）÷2＝3（米）7×3＝21（平方米）答：每小块草坪的面积是21平方米。 拓展探究这道题我们也可以求出这块草坪的总面积，再减去道路的面积，最后四等分，求出每小块草坪的面积；还可以运用平移的方法将道路移至草坪的边沿，先求出四个小长方形组成的长方形面积，进而求出每小块草坪的面积。四年级有余数的除法及周期性（二）4、将从1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：a＝13579111315171921……9799101103，a÷9的余数是多少？敏捷思维通过观察，可以把a分为三个部分：一位奇数、两位奇数、三位奇数。只要数出各有几个这样的奇数，就能很容易求出a是几位数了。通过观察，我们发现：连续9个奇数的和是9的倍数。我们只要用奇数个数为总数作被除数，以9为除数，得到的余数就是余下连续奇数的个数。最后，利用有关余数的性质便可以得到所求的余数。解：奇数个数：（103－1）÷2＋1＝52（个）52÷9＝5（组）……7（个）a除以9的余数与从1开始的连续7个奇数除以9的余数相同。135791113÷9＝15087901……4a÷9的余数是4。拓展探究周期的变化是复杂多变的，在平常解题过程中，我们不能只用某一种规律去套用，要从不同的角度去尝试发现规律，找出变化周期。五年级称质量问题5、富迪超市质检工作人员抽查糖果，要把一袋份量不足的找出来。把一袋一袋的水果糖平均堆成10堆，每堆10袋，9堆是足量的产品，每袋刚好重10千克，唯有一堆份量不足，每袋只有9千克，从外形看不出哪一堆是份量不足的，有人 想了个办法，只用秤称了一次，就找到了每袋重9千克的那一堆，你知道这个人想的是什么办法吗？敏捷思维只称一次，要对10堆水果糖进行判断，我们设想一下：能否从每一堆中，取若干袋来称呢？解：第一步：先将10堆水果糖分别编成1至10号；第二步：依次从每堆里取出1袋、2袋、…、10袋；第三步：将取出的1＋2＋3＋…＋10＝55（袋）水果糖放在一起用秤称出其总质量，如果每袋都重10千克，那么55袋共重550千克，但实际质量要比550千克少，如果少1千克，那么就是第一堆；如果少2千克，那么就是第二堆……拓展探究有时候，计算也可以帮助我们分析称质量的问题。六年级对策问题6、在一个3×3的方格纸（如图）中，甲、乙两人轮流往方格中写2、6、8、10、12、14、16、18、20九个数中的一个，数字不能重复。最后甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左、右两列六个数之和，得分多者为胜。请你为甲找出一种必胜的方法。敏捷思维由于四个角上的数都是两人共有的，因而和数的大小只与放在A、B、C、D这四格中的数有关。解： 甲方要获胜，必须取：（1）尽可能地将大数填入A格或C格；（2）尽可能地将小数填入B格或D格。由于2＋20＜6＋18，所以甲应先将2放进B格。接下来，如果乙把20放进D格，甲再把18放进A格，那么这时不论乙怎么放，C格中一定放有大于或等于6的数，因而甲方一定获胜；如果乙把6放进A格，甲方只需将20放进C格，甲方也一定获胜。拓展探究思考对策时必须考虑清楚题中哪些是有利于自己的信息，哪些是有利于对方的信息。这样才能对症下药，确定正确的取胜方法。一年级智能趣题1、三个人同时吃3个西红柿，用3分钟吃完，六个人同时吃6个西红柿需要6分钟才能吃完，对吗？敏捷思维题目中“三个人同时吃3个西红柿，用3分钟吃完”，实际上就是一个人吃1个西红柿用3分钟，同样“六个人同时吃6个西红柿”所用的时间也就是一个人吃1个西红柿的时间，即3分钟，所以说“六个人同时吃6个西红柿需要6分钟才能吃完”是不对的。解：“六个人同时吃6个西红柿需要6分钟才能吃完”是不对的，应该仍是3分钟。拓展探究解决这类问题要仔细分析实际问题的条件。二年级添线变图形 2、下图是一个正方形，在图中画两条线，最多可以把正方形分成几等份？敏捷思维要将正方形尽可能多地等分，所画的直线应该交叉。解：画两条直线，最多可以把正方形分成4等份。拓展探究有多种分法，如图：三年级抽屉原理3、盒子里装着5个白球和4个红球，要想保证一次能拿出两个相同颜色的球，至少需要拿出多少个球？ 敏捷思维这道题的关键是要从“最不利”的情况来思考。解：5个白球、4个红球共有9个球，最不利的情况是2白1红或2红1白。因此，至少要拿出3个球。拓展探究“最不利”的思考方法还可用于“袜子配色”“钥匙和锁匹配”等一些应用题。四年级图形的剪拼4、公历2000年1月1日是星期六，公历2008年1月1日是星期几？敏捷思维用6个边长为1厘米的小正方形拼成周长为12厘米的图形（两个相邻小正方形要有一条边完全重合），共有多少种不同的拼法？解：能归结为长4厘米，宽2厘米的长方形图形有以下3种：能归结为边长为3厘米的正方形图形有以下5种： 共有8种不同的拼法。拓展探究长方形或正方形的顶点上少了一个长方形或正方形时，它的周长等于原来长方形或正方形的周长。长方形长5厘米，宽1厘米时，它的周长也是12厘米，但它不可能去掉若干个边长1厘米的正方形。因此，不考虑归结为这一长方形的图形。五年级数学与生活5、从甲地租用汽车运货62吨到乙地，已知大车每次可运10吨，运费200元；小车每次可运4吨，运费94元。（1）请你设计出不同的租车方案，分别算出每种方案的总费用。（2）请你设计出总费用最少的方案。敏捷思维 要使总费用最少，要考虑两方面因素：①尽可能地多使用大车，因为大车运货每吨运费20元；小车运货每吨运费23.5元。②尽可能地少出现空的吨位。解：（1）答案不唯一，如：用7辆大车运，运费为200×7＝1400（元）。用16辆小车运，运费为94×16＝1504（元）。用6辆大车和1辆小车运，运费为200×6＋94＝1294（元）。（2）用5辆大车和3辆小车运，总费用为200×5＋94×3＝1282（元）。拓展探究学会解决同一问题，在各种方案中，寻求一个最合理、最节约的方案。六年级乘法原理6、某城市包括：①、②、③、④、⑤五个区（如图），现在要依次给每个区用红、黄、蓝、绿四种颜色中的某一种染色。要求相邻的区染不同的颜色，有多少种不同的染法？ 敏捷思维本题要做的一件事是给一张平面图染色，整张图的每个区都染好了，才算完成这件事。给每个区染色时，要求相邻的区染不同的颜色。完成这件事可以分成五个步骤。解：第一步给①区染色，有4种不同的染法。第二步给②区染色，因为它与①区相邻，所以不能与①区染同样的颜色，故只有3种染法。第三步给③区染色，因为它与①、②相邻，所以不能与①、②同色，故只有2种不同的染法。第四步给④区染色，因为它与②、③相邻，所以不能与②、③同色，故只有2种不同的染色方法。第五步给⑤区染色，因为它与①、③、④相邻，所以不能与①、③、④同色，故只有一种染色方法。根据乘法原理，共有4×3×2×2×1＝48（种）不同的染法。拓展探究像这样的染色问题，要用乘法原理来解答，在解答过程中，要按①、②、③、④、⑤不同区域考虑不同的染色方法，最后将每个区域的染色方法相乘。一年级有趣的运用1、爸爸38岁时，小明9岁，爸爸53岁时，小明几岁？敏捷思维每年爸爸增长1岁，小明也增长1岁，年龄差是固定的。爸爸从38岁到53岁经过了15年，小明也同时长大15岁。解：53－38＋9＝24（岁）答：爸爸53岁时，小明24岁。 拓展探究每个人每年的岁数增长是固定的，牢记这一点，不要受到题目条件的干扰。二年级生活与数学2、体育课上女生做操，正好排成一个正方形队伍，从前、后、左、右数，小娟都站在第3位，这个队伍共有多少名女生？敏捷思维从左、右数小娟都在第3位，说明一排有5名女生，从前、后数小娟都站在第3位，说明一共有5排。这个队伍共有5×5＝25（名）女生。解：3－1＋3＝5（名）5×5＝25（名）答：这个队伍共有25名女生。拓展探究根据题意可以确定正方形队伍的边长是5名，就可以求出女生人数了。这种问题，同学们应抓住题意的特点，找出条件，解决问题。 三年级简单推理3、小鲁、小吕、小赵三人中，有一人在数学竞赛中获奖，老师问他们谁是获奖者时，小鲁说是小吕，小吕说不是他自己，小赵也说不是他自己。如果他们当中只有一人说了真话，那么谁是获奖者？敏捷思维这道题如果直接判断谁是获奖者比较困难，我们不妨先假设谁是获奖者，然后再通过合理推理，找出与已知条件相符的正确结论。解：（1）假设获奖者是小鲁，则小鲁说了假话，而小吕和小赵说了真话，这与条件“只有一人说了真话”不符，所以获奖者不是小鲁。（2）假设获奖者是小吕，则小鲁说了真话，小吕说了假话，小赵说了真话，这也不符合条件。（3）假设获奖者是小赵，则小鲁和小赵说了假话，小吕说了真话，符合条件，所以小赵是获奖者。拓展探究像上题这样，首先假设某种结果正确，并以它为起点利用已知条件进行推理论证。如果推理产生矛盾，说明假设的结果是错误的，再重新提出一个假设，直至得到符合要求的结论为止。这种分析问题的方法叫做“假设法”。假设法是解决逻辑推理问题的一种基本方法。 四年级杂题4、有一堆火柴共2008根，甲、乙两人轮流从中拿取火柴，每人每次最多可拿3根，最少拿1根，谁能拿到最后一根谁为胜。若甲先拿，则谁有必胜的策略？敏捷思维已知每人每次最多可拿3根，至少拿1根，则拿取火柴的最多根数与最少根数之和为4。而2008恰好是4的倍数，则不论甲一次拿几根，只要乙每次所拿火柴根数与甲刚拿的火柴根数之和为4，即能保证乙能拿到最后一根。解：乙有必胜的策略。设甲每次拿n根，则乙就拿（4－n）根。其中n只能取1、2、3三个数。拓展探究本例属于“博弈”问题。人们在竞赛和争斗中总是希望自己一方最终取得胜利或获得尽可能好的结局，这就需要为此而作出努力。然而这必定会遭到对手的干扰和阻挠，所以自己要想取得胜利，必须考虑对手可能采取的策略，从而制定出自己的对策来。这就是所谓的“知己知彼，百战不殆”，我们将这种现象称之为“对策现象”。要取得胜利，同学们需要掌握多种知识，综合运用，更重要的是不断尝试，找出取胜的对策。 五年级优化与统筹5、甲、乙两个苹果产地，分别向A、B、C三个城镇提供相同品种的苹果。按合同规定，要向A提供45吨，向B提供75吨，向C提供40吨。现在甲地有60吨，乙地有100吨可以提供，甲、乙与A、B、C的距离如图所示。已知每吨苹果每千米运费为1元，那么怎样安排，才能使总运费最少？最少运费为多少？敏捷思维A城镇与甲、乙两地的路程差为6千米，B城镇与甲、乙两地的路程差为3千米，C城镇与甲、乙两地的路程差为9千米，从整体考虑，先让路程差最大的C城镇从甲地进苹果40吨，再让A城镇从乙地进苹果45吨。解：从甲地运往C地40吨，运往B地20吨；从乙地运往A地45吨，运往B地55吨。 最少：40×6＋20×5＋45×4＋55×8＝960（元）拓展探究要使运费最省，要整体考虑问题，在诸多方案中寻求一个最合理、最省事、最节约的最优方案。六年级加法原理6、下图（1）中的线段表示小宇从家到学校所走的街道，他上学时行走的方向只能向右或向下。小宇从家到学校共有多少种不同的路线？敏捷思维我们先从简单的图形入手，通过对简单图形的分析，找出解题规律，然后再利用所找的规律来解答。解：如图（2），小宇从家出发向右到达点A或点B，都各有一种走法。向下到达点C或点F，也各有一种走法，所以应在A、B、C、F四个点的旁边都标上1。从小宇家到达点D，要经过点A或点C，恰好是两个对角上所标两个 1的和。从小宇家到达点E，要经过点B的一条路线和要经过点D的两条路线，又恰好是两个对角上所标1与2的和。同样道理，点G处应标3，点H处应标6。现在我们就用上面的规律按照一定的顺序在原图的各个交叉点处标出相应的数。小宇从家到学校共有35种不同的路线。拓展探究由以上的分析可以得出下面的规律：每一个交点上的数都等于它上、左两个交点上所标数的和。一年级等量代换1、猜猜下面的图形各代表什么数字。敏捷思维（1）从第一个算式开始思考，12可以分成哪几个相同的加数。（2）比较一下两个算式里的个数和的个数，再比较一下两个算式的得数相差几。解： 拓展探究（1）在做题之前，要观察几个含有未知数的算式，先求只含有1个未知数的算式，再根据其他算式求出其他的未知数。（2）在几个算式中，比较2个算式的不同之处，找到不同的地方，再比较一下2个算式的得数相差的数，从而得解。二年级最多与最少问题2、14＜□＋2＜18，□里最大能填几？敏捷思维□＋2的和要大于14且小于18，□＋2的和只能有15、16和17三种可能。要使□里的数最大，就是□＋2的和最大，只能选17，所以□里最大能填15。解：□里最大填15。拓展探究确定□＋2的和的范围尤其重要，根据题意要求选择□＋2＝17，求出□里的数是15。三年级一笔画3、邮递员王师傅在某街道送信，下图是街道的路线图，图中数字表示各线段的实际长度（单位：米）。王师傅从邮局（点A）出发，走遍每一条街道最后回到邮局。他按怎样的路线走，所走的路程最短，是多少米？ 敏捷思维设计最短路线，先将图形转变为一笔画，然后求一笔画中各线段的长度和。解：图中有8个奇点，邮局点A所在的是偶点，所以若从点A开始画，整幅图至少得画4笔才能画成，所以王师傅走这条路线必须得重复走一部分街道。为了使他所走的路线最短，所以重复走的应该为最短的那几条路。设计王师傅走的路线图，可以先把图中的奇点变成偶点，要使走的路程短，所以应为：图中加上的那几笔为这几条路重复走的，这样图就可以一笔画成了。他所走的路程为（100＋400＋200＋400＋100＋300）×2＋300×6＋200×2＝5200（米）。拓展探究当一个连通图的奇点比较多时，要一笔画画成，必须让奇点个数只能有两个，这时还必须从一个奇点开始到另一个奇点结束，如果要以偶点开始，那就必须把所有奇点变成偶点。四年级数字问题 4、一个四位数，千位上的数字比个位上的数字大3，交换千位上的数字和个位上的数字得到另一个四位数，已知这两个四位数的和是14593，原来的四位数是多少？敏捷思维千位数字和个位数字交换位置，十位和百位上的数字不变，将原来的四位数和新的四位数相加，个位数字的和应等于千位数字的和。而这个四位数相加得14593，这样可推知个位数字的和与千位数字的和都是13，再由题给条件即可进一步推导出答案。解：因为两个四位数的和是14593，所以它们的个位数字之和是13，中间两位数的和是158，中间两位数是158÷2＝79。因为原来的四位数中千位上的数字比个位上的数字大3，所以千位上的数字是8，个位上的数字是5。即原来的四位数是8795。共有8种不同的拼法。拓展探究这类型的数字问题抓住不变量来解题。五年级抽屉原理5、有20名小乒乓球运动员进行单循环比赛，每人赛19场，胜1场得1分，负一场则为0分，没有平局。如果没有一名运动员全胜，那么至少有2名运动员的得分相等，为什么？敏捷思维把“得分的种数”看作“抽屉数”，“运动员的人数”看作“苹果数”。解：因为每人赛19场，又没有一名运动员全胜，所以他们的得分可能为18分、17分、16分、…、2分、1分或0分，一共有19种不同的情况，我们把这视为19个抽屉，那么20名运动员便可视为20只苹果。不管你怎么放，必定会有一个抽屉里至少有2个苹果，即至少有2名运动员的得分相同。 拓展探究恰当的构造“抽屉”和“苹果”，收到以简驭繁的效果。六年级工程问题典型题例6、敏捷思维（1）不管“钱数”，只看“天数”可求得甲、乙、丙队单独干分别需要的天数；不管“天数”，只看“钱数”可求得甲、乙、丙队的工资分别为多少元。解： 拓展探究 像此类题目解题关键是不管“钱数”，只看“天数”可求得甲、乙、丙队单独干分别需要的天数；不管“天数”，只看“钱数”可求得甲、乙、丙队的费用分别为多少元。一年级数方块1、把一个大正方体的表面涂上红色，然后将它分割成27个相同的小正方体，其中3面涂红色的小正方体有多少块？2面涂红色的小正方体有多少块？1面涂红色的小正方体有多少块？没有涂红色的小正方体有多少块？敏捷思维3面涂红色的小正方体在大正方体顶点的位置；2面涂红色的小正方体在大正方体每条棱的中间位置；1面涂红色的小正方体在大正方体每个面的中心位置；没有涂红色的小正方体在大正方体内的中心位置。解：3面涂红色的有8块，2面涂红色的有12块，1面涂红色的有6块，没有涂红色的有1块。拓展探究解决长方体、正方体分割成小正方体涂色的问题，要明确涂色面数的不同与小正方体所在位置有关，要充分发挥想象力，将涂色面数不同的小正方体的个数找准、找全。二年级组数技巧2、组成三位数的三个数字互不相同，并且三个数字之和是8，这样的三位数一共有几个？请你写出来。敏捷思维 这个三位数的百位、十位和个位上的数字互不相同，并且三个数字之和是8，我们可以找到五组：8＝7＋1＋0＝6＋2＋0＝5＋3＋0＝5＋2＋1＝4＋3＋1，然后再一组一组来组数。解：这样的三位数一共有24个，即710、701、170、107、620、602、260、206、530、503、350、305、521、512、251、215、125、152、431、413、314、341、134、143。拓展探究我们必须先找到满足“三个数字互不相同，并且三个数字之和是8”这两个条件的几组数，然后每一组再按照组数的技巧去做。三年级乘法巧算3、计算：360×72＋36×280。敏捷思维有2个因数分别是36和360，因此可以想到把360×72看作36×720，这样就有相同的因数36，从而可以运用乘法分配律使计算简便。解：360×72＋36×280＝36×720＋36×280＝36×（720＋280）＝36×1000 ＝36000拓展探究这道题还可以把72分解成36×2，试试看！四年级盈亏问题4、妈妈买了橘子和苹果，橘子的个数是苹果的3倍，苹果每人正好2个，橘子每人7个就少5个，家里一共有几人？妈妈买了多少个橘子和多少个苹果？敏捷思维后一种分配方案中不是同一种分配方法，应先把它统一成同一种分配方法。将条件转化为：每人分2×3个橘子，正好分完；每人分7个橘子，少5个。解：人数：5÷（7－2×3）＝5（人）橘子数：7×5－5＝30（个）苹果数：30÷3＝10（个）答：家里一共有5人，妈妈买了30个橘子和10个苹果。拓展探究 题目没有直接告诉我们“盈”或“亏”是多少时，关键还是进行条件转换，再利用盈亏问题的数量关系进行解题。五年级图形的计数5、如图，平面上有12个点，可任意取其中的四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？敏捷思维如图，先把相邻的两点连接起来，再分类数。从图中可以看出最小的正方形有6个；由4个小正方形组合而成的正方形有2个；中间还可以围成2个正方形。解：6＋2＋2＝10（个） 拓展探究连接相邻的两点，除了连接上下两点、左右两点外，还应该斜着连接，连接完毕，再按照分类的办法有序地去数。六年级圆的周长和面积（一）6、如图，小张的家是一个建在10米×10米的正方形地面上的房子，房子正好位于一个40米×40米的正方形草地的正中，他们家喂了一只羊，用15米长的绳子拴在房子一边的中点处，取π＝3，羊能吃到草的草地面积是多少平方米？敏捷思维 先将羊在拉紧绳子后所能到达的区域表示为下图中的阴影部分，阴影部分的面积可分成三个部分，一个部分是半径为15米的半圆的面积，另外两个部分都是半径为10米的圆的面积的四分之一。22解：3×15÷2＋3×（15－10÷2）÷4×2＝487.5（平方米）拓展探究先把图画出来，更方便去解决稍复杂的问题。一年级火柴棒的移动1、如图，用15根火柴棒可以拼摆成5个大小相同的正方形（1）从中移去3根，变成3个大小一样的正方形。（2）从中移去2根，变成3个正方形。（正方形的大小不必相同）敏捷思维（1）要使原图的5个大小一样的正方形变成3个大小一样的正方形，可以考虑通过移走3根火柴棒，起到减少2个正方形的作用。 （2）由于不要求大小相同，只要从左边的“田”字中任意去掉2根不同方向的邻近的火柴棒就可以了。解：拓展探究用火柴棒可以拼成许许多多有趣的图形，自己试着拼一拼，摆一摆，移一移。二年级植树问题2、学校操场有一条200米长的环形跑道，为了长期使用，每隔2米埋下一根小木桩，这个跑道需要埋多少根小木桩？敏捷思维这是一个环形跑道，需要研究封闭图形中棵数与间隔数的关系，我们可以从简单的方面入手研究（也可以画图），可以发现棵数与间隔数相同。解：200÷2＝100（根）答：这个跑道需要埋100根小木桩。拓展探究封闭图形中，间隔数与棵数相同，也就是棵数＝总距离÷间隔长。 三年级除法巧算3、计算：（1×2×3×4×…×9×10×11）÷（27×25×24×22）。敏捷思维运用除法性质利用带着符号“搬家”和添、去括号的方法使复杂计算变成简便计算。解：（1×2×3×4×…×9×10×11）÷（27×25×24×22）＝1×2×3×4×…×9×10×11÷27÷25÷24÷22＝（3×9÷27）×（10×5÷25）×（6×8÷24）×（2×11÷22）×4×7＝1×2×2×1×4×7＝112拓展探究这种“搬家移位”和“添括号”的方法还可应用到乘、除混合运算中。四年级假设与替换4、吴先生有5元、10元、20元的人民币共100张，价值1300元，其中10元和20元的张数一样多。5元人民币有多少张？10元人民币有多少张？20元人民币有多少张？敏捷思维由于10元和20元的张数一样多，我们把它们合并成一种币。假设这100张都是5元的，则一共有5×100＝500（元），与实际1300元有相差。很明显，少钱的原因是把10元、20元的人民币都看成了5元人民币。要补足这差额，就要拿1张10元和1张20元的人民币去换2张5元的人民币，这样张数未变，而票价增加了（10＋20－5×2）元，所以可求10元和20元的人民币的张数。解：10元和20元的各有：（1300－5×100）÷（10＋20－5×2）＝40（张）5元的有：100－40×2＝20（张）。 答：5元人民币有20张，10元人民币有40张，20元人民币有40张。拓展探究此题牵涉到三个量，抓住“10元和20元的张数一样多”这个条件，再作假设，在转换时要注意的是拿1张10元和1张20元的人民币去换2张5元的人民币，这样使张数不变。五年级图形的分割5、一位老人有一块正方形土地，在这块土地上，他种下了四棵树，排成一排（如图），老人有四个儿子，老人在临终前对四个儿子说：“我死后，你们可以把这块地分成形状大小完全相同的四块，每人分一块土地耕种，但是这四棵树是我亲手种的，你们必须每人分一棵，而且这四棵树既不准砍掉也不准移走。”你知道这四个儿子应该怎么做吗？敏捷思维观察四棵树的位置，我们将大正方形分成64个（8行8列）相等的小正方形，四棵树分别在四个小正方形内，可以考虑在每人分一个栽了树的小正方形的前提下对64个小正方形进行分割。最外圈共有28个小正方形，平均每人分 7个，最外圈分成1×7的四个小长条，每人得一条。第2圈共有20个小正方形，平均每人分5个，把这圈分成1×5的四个长条，每人又各分得一条。第3圈共有12个小正方形，平均每人分得3个，各得一个1×3的长条，第4圈的4个小正方形每人各得1个。于是每人都分得了16个小正方形，每人的土地连成一片，且四人分得的土地形状也完全相同，而且每人都分得了一棵树。解：拓展探究图形按某种要求进行切拼时，有时候要经过认真计算才行。六年级圆的周长和面积（二）6、求下图甲阴影部分的面积。（单位：厘米） 敏捷思维先求出图甲阴影部分的面积的八分之一，即图乙阴影部分的面积。解：22图乙阴影部分的面积：3.14×2÷4－2×2÷2＝1.14（cm）2图甲阴影部分总面积为：1.14×8＝9.12（cm）拓展探究根据所求图形的对称性，将所求图形面积平均分成若干份，先求出其中的一份面积，然后求总面积。一年级火柴棒拼摆算式1、移动2根火柴棒，使算式成立。 敏捷思维解： 拓展探究移动2根火柴棒使等式成立时，可先思考怎样的等式能使左右相等，再进一步思考怎样移动可以得到这个算式。思考时，首先排除那些不可能变化得到的算式，再确定可以变化得到的算式，最后正确移动火柴棒。二年级爬楼梯问题2、甲、乙两人比赛爬楼梯，甲爬到5楼时，乙恰好爬到3楼。照这样计算，甲爬到17楼时，乙爬到几楼？敏捷思维解答爬楼梯问题，不能以楼层数进行计算，需要用楼梯段数进行计算，因为第一层是不用爬的，层数减1才是要爬的楼梯段数。根据“甲爬到5楼时，乙恰好爬到3楼”，实际是说甲爬（5－1）段楼梯与乙爬（3－1)段楼梯的时间相同，照这样计算，甲爬到17楼，也就是爬（17－1）段楼梯，应是爬（5－1）段楼梯所用时间的4倍，在同一时间里乙爬的楼梯段数也是他爬（3－1）段楼梯的4倍，也就是这时他爬了8段楼梯，即他爬到了8＋1＝9（楼）。解：5－1＝4（层）3－1＝2（层）17－1＝16（层）16÷4＝42×4＝8（层）8＋1＝9（层）答：甲爬到17楼时，乙爬到9楼。拓展探究爬楼梯问题不能以楼层数进行计算，而要用楼梯段数进行计算。 三年级数字谜3、在下面的□里填上合适的数字。敏捷思维为了方便，把上式整理为： 3A×4＝□□8，所以A＝2或7，又因为3A×B＝CD5，所以A不可能是2，只能取7，所以B＝5，这样可以算出C＝1，D＝8，F＝8，E＝4。因为37×G＝□48，可以算出G＝4，其他空格也可以填出了。解：拓展探究解答数字谜的关键是通过观察、分析，找到有特征的部分作为解题的突破口。找到突破口后，先确定能够确定的数字，再通过推理与尝试，找到正确的答案。四年级巧求周长 4、在一张纸上画出由四个边长为3厘米的正方形组成的图形。显然，这个图形有多种多样的画法，下列各图是其中的一部分画法。在所有的画法中：（1）哪种画法画出的线段总长最长？是多长？（2）哪种画法画出的线段总长最短？是多长？敏捷思维画出的线段重叠部分越少，画的线段就越长。反之，重叠部分越多，画的线段就越短。解：图1画法画出的线段总长最长，共画了3×4×4＝48（厘米）；下图画的线段总长最短，共画了（3＋3）×6＝36（厘米）。 拓展探究同理，在求图形周长的时候，也要考虑各图形之间重叠的线段。五年级数的整除性_____________5、六位数7E36F5是1375的倍数，求这个六位数。敏捷思维_______因为1375＝11×125，所以末三位数6F5一定要能被125整除，可推知F＝2，已知此数能被11整除，故（7＋3＋2）－（E＋6＋5）＝1－E是11的倍数，可推知E＝1。解：这个六位数是713625。 拓展探究如果一个整数的末三位数能被125整除，这个数必能被125整除；如果一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，那么它就能被11整除。六年级圆的周长和面积（三）6、如图，曲线PRSQ和ROS是两个半圆，RS平行于PQ。如果大半圆的半径是1厘米，那么阴影部分是多少平方厘米？（π取3.14）敏捷思维用线段RS将图中阴影部分分为两部分，如图甲和图乙，在图甲中弓形RS的面积等于扇形ORS的面积减去三角形ORS的面积。如图乙，半圆ROS22的半径平方等于（OS）÷2，即1÷2。 22解：3.14×1÷4－1×1÷2＝0.285（cm）223.14×（1÷2）÷2＝0.785（cm）20.285＋0.785＝1.07（cm）拓展探究计算比较复杂图形的面积，把这个图形分解成几个简单的图形再求解，这样使计算简便。一年级锯木头1、在圆形花坛周围放了9盆花，每相邻两盆花之间相隔1米，这个花坛的一圈长多少米？敏捷思维 从图中不难看出，每一盆花相当于1个点，每相邻两盆花之间的距离相当于一个段（间隔），这属于点和段首尾相连（封闭图形）的问题，它的点数＝段数（间隔数）。根据题意得到间隔数，从而求出结果。解：1×9＝9（米）答：这个花坛的一圈长9米。拓展探究在封闭图形中，间隔数就等于次数（点即图中黑点数），学习若有困难，可用示意图帮助理解。二年级乘车、坐船问题2、冷饮店规定“喝完汽水后，用4个空汽水瓶可以换1瓶汽水”，幼儿园阿姨带着32个小朋友进店后，她只买了24瓶汽水。每个小朋友都能喝到一瓶汽水吗？敏捷思维24瓶汽水喝完后，用这24个空瓶，可换回24÷4＝6（瓶）汽水，又够6个小朋友每人一瓶，再喝完后，借来2个空瓶，一共是8个空瓶，又可换回2瓶汽水，够2个小朋友每人一瓶，然后将2个空瓶还回去。解：因为一共喝了24＋6＋2＝32（瓶），所以每个小朋友都能喝到一瓶汽水。拓展探究“4个空汽水瓶，换1瓶汽水”，拿出去4个空瓶，换汽水喝了之后，手里又有1个空瓶，这句话的实质就是3个空瓶换一瓶汽水（不含瓶子）。三年级巧填运算符号3、在下面10个7之间添上合适的运算符号，使等式成立。7777777777＝1400 敏捷思维这道题参与运算的数字比较多，得数也比较大，因此我们可以采用“凑数法”来进行解答。首先我们应尽量想出一些大的数来，使它与1400比较接近。如777＋777＝1554，这个数比1400大了154，然后我们把剩下的4个7凑够154，减掉就行了。解：777＋777－77－77＝1400拓展探究在解答比较复杂的填运算符号的题时，往往采用“逆推法”和“凑数法”，找到最接近得数的数，然后多减少补。四年级图形面积4、如图，正方形中阴影部分的面积是53平方厘米，正方形的面积是多少平方厘米？敏捷思维阴影部分是正方形的一部分，要求正方形整体的面积，就要比较阴影部分面积与正方形面积的关系，从图中可以观察出左上方小长方形内阴影与空白各占一半，而其他各部分也可以参考类似的情况进行比较，从而得到阴影部分面积与正方形面积的关系。 解：由下图可以看出，阴影部分的面积比空白部分大3×2＝6（平方厘米），所以正方形的面积为53×2－6＝100（平方厘米）。拓展探究注意比较、观察部分与整体的关系，掌握了这一点，对于我们求图形面积也相当实用。五年级分解质因数5、把若干个自然数1、2、3……乘到一起，已知这个乘积的最末十三位恰好都是0，则最后出现的非零自然数最小应该是多少？敏捷思维因为这个乘积末尾零的个数都是由这个数的质因数中2的个数及5的个数决定的，所以要使乘积末尾有13个零，就必须要有13个因数2和13个因数5，显然，在若干个连续自然数中，2的个数比5的个数多，因此，只要凑够5的个数就行了。解：在5、10、15、20中各含有一个因数5，25中含有两个因数5；30、35、40、45中各含有一个因数5，50中含有两个因数5；55中含有一个因数5，即有13个5，因而最后出现的自然数最小应该是55。 拓展探究积的末尾0的个数是由2和5的个数决定的。六年级正反比例意义和基本性质6、甲、乙、丙三人乘火车，因行李超过免费的质量而分别支付6元、10元、14元的费用，超重部分每千克行李费相同。三人的行李共重90千克，如果这些行李由一人携带，那么要付超重费70元。每千克行李费多少元？丙的行李是多少千克？敏捷思维设每人可免费带行李x千克，则根据“超重部分每千克行李费相同”为等量关系列方程。解：设每人可免费带行李x千克。拓展探究此题中，根据超重部分每千克行李费相同为等量关系列方程。一年级巧算1、计算：1－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11。敏捷思维这道题只有加减运算，但1－2不够减，所以我们可以给数字搬家，但一定要带着自己的符号搬家，这样才能确保最后的结果是正确的。 解：1－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11＝1＋3－2＋5－4＋7－6＋9－8＋11－10＝1＋（3－2）＋（5－4）＋（7－6）＋（9－8）＋（11－10）＝1＋1＋1＋1＋1＋1＝6拓展探究在这道题的运算中，我们仔细观察算式的特点，得出几个数之间的内在联系，在带着符号搬家后的新算式中重新分组，从而能够进行简便计算。二年级奇妙的周期问题2、有一数列：2，3，4，2，3，4，2，3，4……（1）第25个数字是几？（2）这25个数字的和是多少？敏捷思维（1）从这列数的排列可以看出是按“2，3，4”这三个数字为一个周期依次不断地重复出现，25里有几个3呢？从25÷3＝8……1中，可知有8个（2，3，4）还余1个数字（2），所以第25个数字是第9组的第一个数字2。（2）每一组中各个数字的和是2＋3＋4＝9，25个数字中有8个9和1个2，所以这25个数字的和是8×9＋2＝74。解：（1）25÷3＝8（组）……1（个）答：第25个数字是2。（2）2＋3＋4＝98×9＝7272＋2＝74答：这25个数字的和是74。 拓展探究本题将2，3，4当作一个整体，要仔细体会，整体的思想在今后的学习中将会很常用。三年级有趣的余数3、某年的5月1日是星期三，该年的6月1日是星期几？敏捷思维此题要准确算出经过了多少天。还要明白每星期7天，从星期三开始每过7天又是星期三。解：从5月1日到5月31日共经过31天。31÷7＝4（周）……3（天），余数是3，从5月1日的星期三往后数3天是星期六，所以该年的6月1日是星期六。拓展探究因为1个星期有7天，所以我们要知道某一天是星期几，只要用经过的天数除以7，再对余数进行分析即可。算天数时要特别注意，可以采取“算头不算尾”或“算尾不算头”，即“只算一头”的方法。 四年级列举与计数4、将144只橘子平均分成若干份，使每份橘子的只数都在10～100的范围内，有多少种分法？敏捷思维把144写成两个数相乘的形式，其中有一个因数在10～100之间，是分成每份的只数，而另一个因数就是平均分成的份数。解：144＝72×2＝48×3＝36×4＝24×6＝18×8＝16×9＝12×12，因此有7种分法。拓展探究从分解因数（分拆加数）入手进行情况列举，进而找到答案。五年级因数与倍数5、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米数、面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。至少能剪成多少块？敏捷思维根据题意，剪得的小正方形的边长必须是90和42的最大公因数6，所以原长方形的长能分成90÷6＝15（段），宽能分成42÷6＝7（段），至少能剪成15×7＝105（块）。解：90＝2×3×3×542＝2×3×7 90和42的最大公因数是2×3＝6。90÷6＝15（段）42÷6＝7（段）15×7＝105（块）答：至少能剪成105块。拓展探究要求至少能剪成多少块，就要使正方形的边长尽可能地大，又要求“恰无剩余”，因此正方形的边长只能是长与宽的最大公因数。六年级比例中的行程问题6、姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，他们回家要从公园门口沿马路向西行，他们商量是先回家取车再骑车去某地省时间，还是直接从公园门口步行向东去某地省时间。姐姐算了一下：已知骑车与步行的速度比是4∶1，从公园门口到达某地距离超过2千米时，回家取车才合算。从公园门口到他们家的距离有多少千米？敏捷思维从题目中“公园门口到达某地距离超过2千米时，回家取车才合算”，可以知道，从公园门口到某地的距离是2千米时，两者时间相同。假设步行每小时行1千米，自行车每小时行4千米，设公园门口到家的距离是x千米。解：设公园门口到家的距离是x千米。答：公园门口到家的距离是1.2千米。 拓展探究本题是根据“公园门口到达某地距离超过2千米时，回家取车才合算”这一关系找出从公园门口到某地的距离是2千米时，两者时间相同列出方程。一年级怎样付钱1、小红和小华一起逛书店，她们想买一本连环画，小红带的钱还差1元4角，小华带的钱还差1元6角，两人的钱合起来刚好买这本书。这本书多少钱？她们各带了多少钱？敏捷思维因为两人带的钱合起来刚好够买这本书，所以小红差的1元4角肯定是小华补进来的，因此小华带的钱是1元4角。同样的道理，小华差的1元6角肯定是小红补进来的，因此小红带的钱是1元6角。把她们的钱加起来，就是一本连环画的价钱。解：小红带了1元6角，小华带了1元4角，这本书3元。拓展探究以两人的钱数合起来刚好可以买一本连环画为突破口，找到两人所带钱数与连环画所需钱数之间的关系，从而正确地分析、解答。二年级余数真奇妙2、有一列数:3，1，2，3，1，2，3，1，2……（1）第20个数是几？（2）这20个数的和是多少？敏捷思维 （1）从这列数的排列可以看出是按“3，1，2”这三个数为一组，依次不断地重复出现，一组有3个数，20里面有6个3，还余2个数，所以第20个数就是第7组里面的第2个数，也就是1。（2）每组里面3个数的和是3＋1＋2＝6，6组就是6×6＝36，36加上第7组里的第1个数3和第2个数1就行了。解：（1）20÷3＝6（组）……2（个）答：第20个数是1。（2）3＋1＋2＝66×6＋3＋1＝40答：这20个数的和是40。拓展探究这类题目中第一个问题只要会分组就行了，但是第二个问题在求和的时候，一定要注意后面余下的几个数的和怎么求。三年级归一问题3、一根木料，锯成3段需要6分钟。照这样的速度，锯成6段需要多少分钟？敏捷思维找出单一量“锯一次需要多少时间”是解题的关键。解：锯成3段需要锯两次：3－1＝2（次）锯一次需要时间：6÷2＝3（分钟）锯成6段需要锯：6－1＝5（次）锯成6段需要时间：5×3＝15（分钟）答：锯成6段需要15分钟。拓展探究这种方法也可用于植树问题。 四年级平均4、6个同学的成绩一个比一个多，如果去掉最高分，那么其余5人的平均成绩是82分；如果去掉最低分，那么其余5人的平均成绩是88分；如果去掉最高分与最低分，那么其余4人的平均成绩是85分。最高分比最低分多多少分？敏捷思维先算出前五人的总分，再算出后五人的总分，找到它们的差值，由于前五人和后五人中有4人的成绩是分别相同的，所以最高分与最低分相差多少分就可以算出。解：88×5－82×5＝3O（分）答：最高分比最低分多30分。拓展探究这道题目的关键是要读懂题意，知道怎样转化求最高分与最低分的差值，求平均分的题目要弄清其中数量间的关系。五年级奇偶性分析5、育才实验小学一（4）班教室里有7排椅子，每排7把，每把椅子上坐着一名学生，老师每个月都要将学生的座位调换一次。小明同学别出心裁，向老师建议，每个同学全体站起来，再同时坐到邻座上去（前、后、左、右），这样来调换座位。老师说这不可能办到，你知道为什么吗？敏捷思维这道题是采用染色法来解的。 解：我们来画一个7×7的方格座位图，黑（奇）白（偶）相间染色，黑格的邻座一定是白格，白格的邻座一定是黑格，从图中可以看出有25个黑格，24个白格，黑、白数不相等。49名同学同时站起来，再到邻座上去，就会有一个原坐在黑格的同学没有白格坐，又会多出一个黑格无人坐。所以像小明这样调座位是不可能办到的。拓展探究这道题是采用染色的方法来解的，所以它也是一道染色问题。六年级圆柱的表面积6、如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正方体的棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求正方体的表面积。 敏捷思维2原正方体的表面积为10×6＝600（平方厘米），前后左右4个正2方形的面积为4×4＝64（平方厘米），上下表面圆的面积为3.14×（4÷2）2×2＝25.12（平方厘米），上下圆柱的内侧面积为3.14×4×3×2＝75.36（平方厘米）；注意，计算前后左右4个洞的内侧面积时，容易漏算中间上下两面形如下图的空白部分的面积，前后左右4个洞的内侧面积为（4×223）×16＋（4－3.14×2）×2＝198.88（平方厘米）。所以，总表面积＝外表面积＋内表面积。222解：10×6－4×4－3.14×（4÷2）×2＝510.88（平方厘米）223.14×4×3×2＋（4×3）×16＋（4－3.14×2）×2＝274.24（平方厘米）510.88＋274.24＝785.12（平方厘米）拓展探究解答此题的难点是计算增加6个洞的内侧面积，特别是容易漏算中间上下两面。一年级图形的剪拼 1、用三种方法把下面这个图形分割成3块，你能按小块的样子，把每种分法用虚线在图中表示出来吗？敏捷思维通过观察左边图形，首先确定这个图形是以哪一个较大图形为基础进行的，再考虑剩下的部分是如何分成另外两个图形的。解：拓展探究 解决这类问题的时候，要多动手画一画、试一试。二年级混合运算2、计算：（1）26＋37＋63（2）44－38＋56（3）2＋4＋6＋8＋10敏捷思维（1）观察加数的特点，先把能够凑成整百数的两个数相加，然后再加上第三个数。（2）本题是一道加减混合运算的计算题，其中两个加数44和56可以凑成整百数，因此，可以考虑先把44和56加起来，再减去38。（3）本题中的5个加数，通过观察，发现2和8，4和6分别可以凑成10，再加上题目中的一个10，等于30。解：（1）26＋37＋63＝26＋（37＋63）＝26＋100＝126（2）44－38＋56＝44＋56－38＝100－38＝62（3）2＋4＋6＋8＋10＝（2＋8）＋（4＋6）＋10＝10＋10＋10＝30拓展探究 在计算之前，一定要认真观察，把数进行合理的组合。三年级年龄问题3、小明问李老师今年有多少岁时，李老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”李老师今年多少岁？敏捷思维这道题的关键是两人的年龄差不变。解：年龄差：（42－3）÷3＝13（岁）李老师现在的年龄：42－13＝29（岁）答：李老师今年29岁。拓展探究画线段图的方法还可用于行程问题、植树问题等应用题。 四年级幻方4、幻方的每行、每列和对角线上的三个数之和都等于同一个数S。已知幻方的三个数如图，则S等于多少？敏捷思维填幻方一般要知道中间数，因为其中第一行已知两个数，则未知的一个数为S减去2006与2005的差，同时，这个差也是S减去2004与中间数的差，这可以用方程的方法求出中间数。解：设中间数为A，由三阶幻方的性质知S＝3A。由第二列得下图：由第二列得：3A＝2006＋（2A－2004）＋2005A＝2007S＝3×2007＝6021拓展探究求中间数的方法还有很多，在以后学习中需要慢慢探索。 五年级图形表面积5、把一个棱长为4厘米的正方体木块的表面涂上红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体。在切成的小正方体中，三面涂色的小正方体、两面涂色的小正方体、一面涂色的小正方体以及六个面均不涂色的小正方体各有多少个？敏捷思维每边切成4÷1＝4（个）小正方体。解：（1）三面涂色的小正方体位于原来大正方体的8个顶点处，每个顶点处各有一个，因此三面涂色的小正方体共有8个。（2）两面涂色的小正方体位于原来大正方体的12条棱处，每条棱上各有4－2＝2（个），因此两面涂色的小正方体共有（4－2）×12＝24（个）。（3）一面涂色的小正方体位于原来大正方体的6个面上，每个面上各有（4－2）×（4－2）＝4（个），因此一面涂色的小正方体共有（4－2）×（4－2）×6＝24（个）。（4）六个面均不涂色的小正方体位于原来大正方体的内部，因为一共切成了64个小正方体，所以六个面均不涂色的小正方体有64－8－243－24＝8（个）或列式为（4－2）＝8（个）。 拓展探究把正方体切成若干个小正方体后，求各种涂色的小正方体各有几个。六年级圆柱、圆锥的体积6、一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米。今将一个底面半径为2厘米、高为17厘米的圆柱形铁块垂直放入容器中，这时容器内的水深是多少厘米？敏捷思维首先要判断圆柱形铁块是否完全浸没在水中。假设圆柱形铁块足够222高，那么水深为（5π×15）÷（5π－2π）＝17（厘米）。因为17＞17，所以圆柱形铁块完全浸没在水中。22解：15＋（2π×17）÷（5π）＝17.72（厘米）答：容器内的水深是17.72厘米。拓展探究 解答这类问题关键是判断圆柱形铁块是否完全浸没在水中。一年级巧填运算符号1、你能用“＋”“－”“×”“÷”和“（）”将四张相同的牌算出“24点”吗？如果能，请说明你的算法。2222333344445555666677778888……11111111敏捷思维采用试验法解答。解：只有3、4、5、6能算出24点。3×3×3－3＝244×4＋4＋4＝245×5－5÷5＝246×6－6－6＝24拓展探究试验法一般用于数字比较简单的题目中。二年级图文算式2、请你猜一猜，算式中的每个汉字各表示几？敏捷思维 我们先从减法算式入手，因为差的最高位不可能是0，所以“爱”不能表示0，而被减数的个位上是0，减数个位上是“爱”不是0，这就是退位减法，只有10减5才能得5，所以爱＝5，然后就可推出我＝9，最后加法竖式55＋数学＝89，个位5加“学”等于9，“学”应是4，十位5加“数”等于8，“数”应为3。解：9534拓展探究这里既有加法竖式，又有减法竖式，我们要仔细观察，认真分析，找到突破口。三年级最佳策略3、一个牧童骑在牛背上赶牛过一条小溪，共有甲、乙、丙、丁四头牛。甲牛过小溪要2分钟，乙牛过小溪要3分钟，丙牛过小溪要6分钟，丁牛过小溪要7分钟。牧童每次只能赶两头牛过小溪，要把四头牛都赶到对岸去，最少要多少分钟？敏捷思维要使过小溪的时间最少，我们应该考虑并弄明白以下两个问题：①同时过小溪的两头牛相差的时间尽可能少些，这样才能使花时间少的牛在过小溪时少浪费时间；②过小溪后应该骑时间少的那头牛回来。因此，赶牛的顺序应该是：牧童先骑甲牛赶乙牛一起过溪后，再骑甲牛回来，需要3＋2＝5（分钟）；然后骑丙牛赶丁牛一起过溪后，再骑乙牛回来，需要7＋3＝10（分钟）；最后骑甲牛赶乙牛一起过溪，不再回来，需要3分钟。解：（3＋2）＋（7＋3）＋3＝18（分钟）答：要把四头牛都赶到对岸去，最少要18分钟。拓展探究解答此类题目，关键在于理解以下两个问题：①同时过河的两头牛相差的时间尽可能少些，这样才能使时间少的牛在过河时少浪费时间；②过河后应该 骑过河时间少的那头牛回来，接着赶其他的牛过河，直到把全部的牛都赶到对岸为止。四年级简单的推理4、甲、乙、丙、丁要去A、B、C、D四位好朋友家里玩。A星期一不在家，B星期三不在家，C星期四不在家，D星期一、三、五都不在家，星期日A、B、C、D都外出旅游。一天四人在一起，甲说：“我前天去朋友家，朋友不在。”乙说：“我今天去，明天朋友不在家。”丙说：“今天朋友不在家，我明天去。”丁说：“今天开始，我连续四天都可以去朋友家。”今天是星期（），甲去（）家，乙去（）家，丙去（）家，丁去（）家。敏捷思维在竞赛中，最常见的逻辑推理题的解题方法是用假设法。同学们在解题时不要受到条件的影响，要静心考虑它可能出现的结论，全部找出来后，再一个一个进行考虑，去伪存真，一定能找到真正的结论。解：由丁所说及“B星期三不在家，C星期四不在家，D星期一、三、五都不在家，星期日A、B、C、D都外出旅游”这几个条件推知丁只能去A家，今天是星期二或三。因为星期二A、B、C、D都在家。由丙所说推知今天不是星期二，所以今天是星期三。因为星期三B、D不在家，由乙所说推知乙去C家；再由甲所说和丙所说推知甲去D家，丙去B家。所以今天是星期三，甲去D家，乙去C家，丙去B家，丁去A家。拓展探究把几个条件综合起来考虑，找出突破口，再逐个攻破。 五年级图形的体积5、刘傲家设计了一个长方体水箱，长12分米、宽9分米，内有7分米深的水。如果在水中沉入一个棱长为6分米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？敏捷思维水箱中水的体积在放入铁块前后保持不变，只是形状发生了变化。铁块放入后水上升的体积正好是铁块的体积。解：6×6×6÷（12×9）＋7＝9（分米）答：水箱中水深9分米。拓展探究水箱中水的体积在放入铁块前后保持不变，只是形状发生了变化。在沉没的情况下，水上升的体积正好是放入物体的体积。六年级生活中的数学6、甲地有89吨货物要运到乙地，大货车的载质量是7吨，小货车的载质量是4吨，大货车运一趟耗油14升，小货车运一趟耗油9升。问：运完这批货物最少耗油多少升？ 敏捷思维要使总耗油量最少，要考虑两方面因素：①尽量多用大货车，因为大货车运一吨货平均耗油14÷7＝2（升），小货车运一吨货平均耗油9÷4＝2.25（升）。②尽可能地少出现空的吨位。解：（1）如果89吨全用大货车运，那么要运89÷7≈13（趟），耗油14×13＝182（升）。（2）如果用大货车运12趟，那么剩下的货物为89－12×7＝5（吨），用小货车2趟，耗油14×12＋9×2＝186（升）。（3）如果用大货车运11趟，那么剩下的货物为89－11×7＝12（吨），用小货车3趟，耗油14×11＋9×3＝181（升）。三种方法比较：安排大货车运11趟，小货车运3趟耗油最少，最少为181升。拓展探究要使耗油量最少，要考虑两方面因素：①尽可能地多使用大车；②尽可能地少出现空的吨位。注意：不一定大、小货车正好把货物正好装下才算最省油，需要尝试几种算法后才能得出正确答案。一年级巧填运算符号1、你能用“＋”“－”“×”“÷”和“（）”将四张相同的牌算出“24点”吗？如果能，请说明你的算法。2222333344445555666677778888 ……11111111敏捷思维采用试验法解答。解：只有3、4、5、6能算出24点。3×3×3－3＝244×4＋4＋4＝245×5－5÷5＝246×6－6－6＝24拓展探究试验法一般用于数字比较简单的题目中。二年级图文算式2、请你猜一猜，算式中的每个汉字各表示几？敏捷思维我们先从减法算式入手，因为差的最高位不可能是0，所以“爱”不能表示0，而被减数的个位上是0，减数个位上是“爱”不是0，这就是退位减法，只有10减5才能得5，所以爱＝5，然后就可推出我＝9，最后加法竖式55＋数学＝89，个位5加“学”等于9，“学”应是4，十位5加“数”等于8，“数”应为3。解：9534拓展探究这里既有加法竖式，又有减法竖式，我们要仔细观察，认真分析，找到突破口。 三年级最佳策略3、一个牧童骑在牛背上赶牛过一条小溪，共有甲、乙、丙、丁四头牛。甲牛过小溪要2分钟，乙牛过小溪要3分钟，丙牛过小溪要6分钟，丁牛过小溪要7分钟。牧童每次只能赶两头牛过小溪，要把四头牛都赶到对岸去，最少要多少分钟？敏捷思维要使过小溪的时间最少，我们应该考虑并弄明白以下两个问题：①同时过小溪的两头牛相差的时间尽可能少些，这样才能使花时间少的牛在过小溪时少浪费时间；②过小溪后应该骑时间少的那头牛回来。因此，赶牛的顺序应该是：牧童先骑甲牛赶乙牛一起过溪后，再骑甲牛回来，需要3＋2＝5（分钟）；然后骑丙牛赶丁牛一起过溪后，再骑乙牛回来，需要7＋3＝10（分钟）；最后骑甲牛赶乙牛一起过溪，不再回来，需要3分钟。解：（3＋2）＋（7＋3）＋3＝18（分钟）答：要把四头牛都赶到对岸去，最少要18分钟。拓展探究解答此类题目，关键在于理解以下两个问题：①同时过河的两头牛相差的时间尽可能少些，这样才能使时间少的牛在过河时少浪费时间；②过河后应该骑过河时间少的那头牛回来，接着赶其他的牛过河，直到把全部的牛都赶到对岸为止。四年级简单的推理4、甲、乙、丙、丁要去A、B、C、D四位好朋友家里玩。A星期一不在家，B星期三不在家，C星期四不在家，D星期一、三、五都不在家，星期日A、B、C、D都外出旅游。一天四人在一起，甲说：“我前天去朋友家，朋友不在。”乙说：“我今天去，明天朋友不在家。”丙说：“今天朋友不在家，我明天去。”丁说： “今天开始，我连续四天都可以去朋友家。”今天是星期（），甲去（）家，乙去（）家，丙去（）家，丁去（）家。敏捷思维在竞赛中，最常见的逻辑推理题的解题方法是用假设法。同学们在解题时不要受到条件的影响，要静心考虑它可能出现的结论，全部找出来后，再一个一个进行考虑，去伪存真，一定能找到真正的结论。解：由丁所说及“B星期三不在家，C星期四不在家，D星期一、三、五都不在家，星期日A、B、C、D都外出旅游”这几个条件推知丁只能去A家，今天是星期二或三。因为星期二A、B、C、D都在家。由丙所说推知今天不是星期二，所以今天是星期三。因为星期三B、D不在家，由乙所说推知乙去C家；再由甲所说和丙所说推知甲去D家，丙去B家。所以今天是星期三，甲去D家，乙去C家，丙去B家，丁去A家。拓展探究把几个条件综合起来考虑，找出突破口，再逐个攻破。五年级图形的体积5、刘傲家设计了一个长方体水箱，长12分米、宽9分米，内有7分米深的水。如果在水中沉入一个棱长为6分米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？敏捷思维水箱中水的体积在放入铁块前后保持不变，只是形状发生了变化。铁块放入后水上升的体积正好是铁块的体积。解：6×6×6÷（12×9）＋7＝9（分米）答：水箱中水深9分米。拓展探究 水箱中水的体积在放入铁块前后保持不变，只是形状发生了变化。在沉没的情况下，水上升的体积正好是放入物体的体积。六年级生活中的数学6、甲地有89吨货物要运到乙地，大货车的载质量是7吨，小货车的载质量是4吨，大货车运一趟耗油14升，小货车运一趟耗油9升。问：运完这批货物最少耗油多少升？敏捷思维要使总耗油量最少，要考虑两方面因素：①尽量多用大货车，因为大货车运一吨货平均耗油14÷7＝2（升），小货车运一吨货平均耗油9÷4＝2.25（升）。②尽可能地少出现空的吨位。解：（1）如果89吨全用大货车运，那么要运89÷7≈13（趟），耗油14×13＝182（升）。（2）如果用大货车运12趟，那么剩下的货物为89－12×7＝5（吨），用小货车2趟，耗油14×12＋9×2＝186（升）。（3）如果用大货车运11趟，那么剩下的货物为89－11×7＝12（吨），用小货车3趟，耗油14×11＋9×3＝181（升）。三种方法比较：安排大货车运11趟，小货车运3趟耗油最少，最少为181升。拓展探究要使耗油量最少，要考虑两方面因素：①尽可能地多使用大车；②尽可能地少出现空的吨位。注意：不一定大、小货车正好把货物正好装下才算最省油，需要尝试几种算法后才能得出正确答案。