华师大版八下数学17.5实践与探索第3课时建立反比例函数的模型解决实际问题教案

第3课时建立反比例函数的模型解决实际问题1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；(重点)2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．(难点)一、情境导入小明和小华相约早晨一起骑自行车从A镇出发前往相距20km的B镇游玩，在返回时，小明依旧以原来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回A镇．假设两人经过的路程一样，自行车和公交车的速度保持不变，且自行车速度小于公交车速度．你能找出两人返回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？二、合作探究探究点：实际问题与反比例函数【类型一】反比例函数在路程问题中的应用王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v米/分，所需时间为t分钟．(1)速度v与时间t之间有怎样的函数关系？(2)若王强到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？(3)如果王强骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？解析：(1)根据速度、时间和路程的关系即可写出函数的关系式；(2)把t＝15代入函数的关系式，即可求得速度；(3)把v＝300代入函数关系式，即可求得时间．解：(1)速度v与时间t之间是反比例函数关系，由题意可得v＝；(2)把t＝15代入函数关系式，得v＝＝240.故他骑车的平均速度是240米/分；(3)把v＝300代入函数关系式得＝300，解得t＝12.故他至少需要12分钟到达单位．方法总结：解决问题的关键要掌握路程、速度和时间的关系．【类型二】反比例函数在工程问题中的应用在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？解析：(1)将点(24，50)代入反比例函数关系式，即可求得反比例函数的关系式；(2)用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；(3)工作量除以工作时间即可得到工作效率．解：(1)设y＝.∵点(24，50)在其图象上，∴k＝24×50＝1200，所求函数表达式为y＝；(2)由图象可知共需开挖水渠24×50＝1200(m)，2台挖掘机需要工作1200÷(2×15)＝40(天)；(3)1200÷30＝40(m)，故每天至少要完成40m.方法总结：解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系．【类型三】利用反比例函数解决利润问题某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x(元)与销售量y(张)之间有如下关系：x(元)3456y(张)20151210(1)猜测并确定y与x的函数关系式；(2)当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？(3)设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大利润．解析：(1)要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；(2)代入x＝10求得y的值即可；(3)首先要知道纯利润＝(日销售单价x－2)×日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据销售单价最高不超过10元，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x.解：(1)从表中数据可知y与x成反比例函数关系，设y＝(k为常数，k≠0)，把点(3，20)代入得k＝60，∴y＝；(2)当x＝10时，y＝＝6，∴日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张；(3)∵W＝(x－2)y＝60－，又∵x≤10，∴当x＝10时，W取最大值，W最大＝60－＝48(元)． 方法总结：本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值，解答此类题目的关键是准确理解题意．【类型四】反比例函数与电压、电流和电阻的综合已知某电路的电压U(V)，电流I(A)和电阻R(Ω)三者之间有关系式为U＝IR，且电路的电压U恒为6V.(1)求出电流I关于电阻R的函数表达式；(2)如果接入该电路的电阻为25Ω，则通过它的电流是多少？(3)如图，怎样调整电阻箱R的阻值，可以使电路中的电流I增大？若电流I＝0.4A，求电阻R的值．解析：(1)根据电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，设出I＝(R≠0)后把U＝6V代入求得表达式即可；(2)将R＝25Ω代入上题求得的函数关系式即可得电流的值；(3)根据两个变量成反比例函数关系确定答案，然后代入0.4A求得R的值即可．解：(1)∵某电路的电压U(V)，电流I(A)和电阻R(Ω)三者之间有关系式U＝IR，∴I＝，代入U＝6V得I＝，∴电流I关于电阻R的函数表达式是I＝；(2)∵当R＝25Ω时，I＝＝0.24A，∴电路的电阻为25Ω时，通过它的电流是0.24A；(3)∵I＝，∴电流与电阻成反比例函数关系，∴要使电路中的电流I增大可以减小电阻．当I＝0.4A时，0.4＝，解得R＝15Ω.方法总结：明确电压、电流和电阻的关系是解决问题的关键．【类型五】反比例函数与气体压强的综合某容器内充满了一定质量的气体，当温度不变时，容器内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．(1)求出这个函数的关系式；(2)当容器内的气体体积是0.6m3时，此时容器内的气压是多少千帕？(3)当容器内的气压大于240kPa时，容器将爆炸，为了安全起见，容器内气体体积应不小于多少m3？解析：(1)设出反比例函数关系式，根据图象给出的点确定关系式；(2)把V＝0.6m3代入函数关系式，求出p的值即可；(3)因为当容器内的气压大于240kPa时，容器将爆炸，可列出不等式求解．解：(1)设这个函数的表达式为p＝.根据图象可知其经过点(2，60)，得60＝，解得k＝120.则p＝；(2)当V＝0.6m3时，p＝＝200(kPa)； (3)当p≤240kPa时，得≤240，解得V≥.所以为了安全起见，容器的体积应不小于m3.方法总结：根据反比例函数图象确定函数关系式以及知道变量的值求函数值或知道函数值的范围求自变量的范围是解决问题的关键．【类型六】反比例函数的综合应用如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．已知第12分钟时，材料温度是14℃.(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的取值范围)；(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？解析：(1)首先根据题意，材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例函数关系．将题中数据代入可求得两个函数的关系式；(2)把y＝12代入y＝4x＋4得x＝2，代入y＝得x＝14，则对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．解：(1)设加热停止后反比例函数表达式为y＝，∵y＝过(12，14)，得k1＝12×14＝168，则y＝；当y＝28时，28＝，解得x＝6.设加热过程中一次函数表达式为y＝k2x＋b，由图象知y＝k2x＋b过点(0，4)与(6，28)，∴解得∴y＝(2)当y＝12时，y＝4x＋4，解得x＝2.由y＝，解得x＝14，所以对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．方法总结：现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问题的关键是首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．三、板书设计1．反比例函数在路程问题中的应用；2．反比例函数在工程问题中的应用；3．利用反比例函数解决利润问题；4.反比例函数在其他学科中的应用； 5．反比例函数与一次函数的综合应用．本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题．将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”，使学生逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.