华师大版八下数学17.5实践与探索第2课时建立一次函数的模型解决实际问题学案

第2课时建立一次函数的模型解决实际问题学习目标：1.通过图象获取函数相关信息，运用图象来解释实际问题中相关量的含义.2.了解到函数是刻画和研究现实世界数量关系的重要数学模型，也是一种重要的数学思想，提高学生应用函数的能力.自主学习一、知识链接1.函数的表示方法有、、.2.说一说用待定系数法求一次函数表达式的步骤.3.直线y1=2x+1与y2=1-x的交点坐标是，当x时，y1>y2.二、新知预习问题:为了研究某合金材料的体积V(cm3)随温度t(℃)变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下：能否据此求出V和t的函数关系？1.画一画将这些数值所对应的点在坐标系中作出．我们发现，这些点大致位于一条直线上，可知V和t近似地符合一次函数关系．我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相符合，求出近似的函数关系式．如下图所示的就是一条这样的直线，较近似的点应该是(10，1000.3)和(60，1002.3)．设V＝kt＋b(k≠0)，把(10，1000.3)和(60，1002.3)代入，可得k＝，b＝．V＝．你也可以将直线稍稍挪动一下，不取这两点，换上更适当的两点．2.学习归纳我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的关系式．但是现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们是什么函数，需要我们根据经验分析，也需要进行近似计算和修正，建立比较接近的函数关系式进行研究．合作探究 一、探究过程探究点1：用一次函数刻画实际问题中的数量关系例1为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳相对应的四档高度，得到如下数据：(1)小明经过对数据探究，发现：桌高y是凳高x的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式（不要求写出x的取值范围）；(2)小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm，凳子的高度为43.5cm，请你判断它们是否配套？说明理由．【针对训练】酒精的体积随温度的升高而增大，在一定范围内近似于一次函数关系.现测得一定量的酒精在0℃时的体积是5.250升，在40℃时的体积是5.481升.求出其函数关系式.这些酒精在10℃和30℃时的体积各是多少(精确到0.001升)？探究点2：获取实际问题中的图象信息例2小刚上午7：30从家里出发步行上学，途径少年宫时走了1200步，用时10分钟，到达学校的时间是7：55.为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步．(1)小刚步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？(2)下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半个小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留．问：①小刚到家的时间是下午几时？②小刚回家过程中，离家的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数表达式．解析：由于速度＝路程÷时间，可以算出每分钟的步数，再根据走100米用了150步，可求出每步走几米，两者结果的乘积就是速度．再由路程公式就可求出小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程；问题(2)玩之前的步行时间是(1200－300)÷45＝20分钟，玩之后 的步行时间是(800＋300)÷110＝10,20＋10＋30＝60分钟，于是到达家的时间是5：00；B点是表示小刚和玩伴玩的地点，所以点B的坐标为(20,1100)．求线段CD所在直线的函数表达式可用待定系数法也可以用路程与时间的关系去解决．【针对训练】如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同的路线，由甲地到乙地行驶过程中路程和时间之间的关系图，已知两地相距80千米.根据图象回答：(1)出发得早，早个小时；(2)到达乙地较早，早个小时；(3)求出两人的平均速度分别是多少？探究点3：用一次函数解决方案问题例3某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者．果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(2)试讨论用哪种购买方案优惠？【方法总结】用一次函数解决方案问题的步骤：1.把实际问题转化为数学函数问题，列出函数关系式（建立数学模型）；2.通过解不等式或画函数图象的方式确定自变量的范围；3.利用一次函数的增减性选择出最佳方案.二、课堂小结建立一次函数解决实际问题1.用一次函数刻画实际问题中的数量关系2.获取实际问题中的图象信息3.用一次函数解决方案问题当堂检测1.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示（实线为甲的路程与时间的关 系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象），小王根据图象得到如下四个信息，其中错误的是（　　）A.这是一次1500米赛跑B.甲、乙两人中先到达终点的是乙C.甲、乙同时起跑D.甲在这次赛跑中的速度为5米/秒　第1题图第2题图第3题图2.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知，当x________时，选用个体车主较合算．3.某公司市场营销部的个人月收入y（元）与其每月的销售量x（件）成一次函数关系，其图象如图所示，根据图中给出的信息可知，当营销人员的月销售量为0件时，他的月收入是___________元.4.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示.⑴请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50和x>50时，y与x的函数表达式；⑵根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收费标准是多少？当每月用电量超过50度时，收费标准是多少？ 参考答案自主学习一、知识链接1.列表法图象法表达法2.（1）设一次函数的表达式；（2）根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；（3）解方程（组），求出待定系数的值；（4）写出函数表达式.3.（0,1）>0二、新知预习1.0.04999.90.04t+999.9合作探究一、探究过程探究点1：用一次函数刻画实际问题中的数量关系例1解：(1)设y=kx+b，将x=37,y=70和x=42,y=78代入得解得故桌高y是凳高x的函数关系式为y=1.6x+10.8.（2）y=1.6x+10.8，当y=77时，x=41.375≠43.5，故它们不配套.【针对训练】解：设V=kT+b，将T=0,V=5.250和T=40,V=5.481代入得解得即V=0.005775T+5.250.当T=10时，V=5.30775≈5.308.当T=30时，V=5.42325≈5.423.故酒精在10℃和30℃时的体积分别为5.308升、5.423升.探究点2：获取实际问题中的图象信息例2解：(1)小刚每分钟走1200÷10＝120(步)，每步走100÷150＝(米)，所以小刚上学的步行速度是120×＝80(米/分)．小刚家和少年宫之间的路程是80×10＝800(米)．少年宫和学校之间的路程是80×(25－10)＝1200(米)．(2)①＋30＋＝60(分钟)，所以小刚到家的时间是下午5：00.②小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时＝20分，此时小刚离家1100米，所以点B的坐标是(20,1100)． 线段CD表示小刚与同伴玩了30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s(米)与行走时间t(分)之间的函数关系，由路程与时间的关系得s＝1100－110(t－50)，即线段CD所在直线的函数表达式是s＝6600－110t.【针对训练】解：（1）骑自行车者3（2）骑摩托车者3（3）80÷8=10(km/h)；80÷（5-3）=40(km/h).故骑自行车者和骑摩托车者的速度分别为10km/h、40km/h.探究点3：用一次函数解决方案问题例3解：(1)甲方案：y=9x(x≥3000);乙方案：y=8x+5000(x≥3000).(2)令9x=8x+5000，解得x=5000.故当x=5000时，甲、乙两方案结果一样；当x≥5000时，选用乙方案更优惠；当x≤5000时，选用甲方案更优惠；当堂检测1.C2.>15003.30004.解：（1）当0≤x≤50时，y=x.当x>50时，设y=kx+b，将x=50,y=25和x=100,y=70代入得解得即y=0.9x-20.(2)当每月用电量不超过50度时，每度0.5元；当每月用电量超过50度时，其中的50度每度0.5元，超过部分每度0.9元.