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上海市浦东新区2022学年度第二学期质量抽测高三数学试卷
上海市浦东新区2022学年度第二学期质量抽测高三数学试卷
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浦东新区2022学年度第二学期质量抽测高三数学试卷2022.4注意:1.答卷前,考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2.本试卷共有21道试题,满分150分,考试时间120分钟.一、填空题(本大题共有12小题,满分54分)只要求直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.1、已知集合,集合,则=____________.2、若直线的参数方程为,则直线在轴上的截距是___________.3、已知圆锥的母线长为4,母线与旋转轴的夹角为,则该圆锥的侧面积为__________.4、抛物线的焦点到准线的距离为______2_______.5、已知关于的二元一次方程组的增广矩阵为,则=___5_______.6、若三个数的方差为,则的方差为9.7、已知射手甲击中A目标的概率为0.9,射手乙击中A目标的概率为0.8,若甲、乙两人各向A目标射击一次,则射手甲或射手乙击中A目标的概率是___0.98________.8、函数的单调递减区间是_______________.9、已知等差数列的公差为2,前项和为,则=_________.10、已知定义在上的函数满足:①;②;③在上的表达式为,则函数与函数的图象在区间上的交点的个数为6.11、已知各项均为正数的数列满足:,且,则首项所有可能取值中的最大值为16.11/1112、已知平面上三个不同的单位向量满足,若为平面内的任意单位向量,则的最大值为_________________.二、选择题(本大题共有4小题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分.13、若复数满足,则复数在复平面上所对应的图形是(D)A、椭圆;B、双曲线;C、直线;D、线段.14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图:(1)(2)(3)(4)则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是(C)A、(1)(3)(4);B、(2)(4)(3);C、(1)(3)(2);D、(2)(4)(1).15、已知,则=(C)A、2;B、2或;C、2或0;D、或0.16、已知等比数列满足,,,则的取值范围是(D)A、;B、;C、;D、.11/11三、解答题(本大题共有5小题,满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤.17、(本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)如图所示,球O的球心O在空间直角坐标系的原点,半径为1,且球O分别与轴的正半轴交于三点.已知球面上一点.(1)求两点在球O上的球面距离;(2)求直线CD与平面ABC所成角的大小.解:(1)由题意:则,……………………………………………………2分所以,即为等边三角形,所以,…………4分则…………………………6分(2)设直线CD与平面ABC所成角为,易得平面的一个法向量,…………………………11分则,…………………………13分即直线CD与平面ABC所成角…………………………14分11/1118、(本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)某地计划在一处海滩建造一个养殖场.OABPQ(1)如图,射线为海岸线,,现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个的养殖场,问如何选取点,才能使养殖场的面积最大,并求其最大面积.(2)如图,直线为海岸线,现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一:围成三角形(点在直线上),使三角形面积最大,设其为;方案二:围成弓形(点在直线上,是优弧所在圆的圆心且),其面积为;试求出的最大值和(均精确到0.001平方千米),并指出哪一种设计方案更好.ABOCED解:(1)设由余弦定理得,…4分则,(平方千米)即选取时养殖场的面积最大.…………6分11/11(2)方案一:围成三角形设,由,当且仅当时取等号.所以,(平方千米),当且仅当时取等号.……………9分方案二:围成弓形设弓形中扇形所在圆的半径为,而扇形圆心角为、弧长为1千米,故.…………10分于是…………11分(平方千米)…………13分即,方案二所围成的养殖场面积较大,方案二更好.……………14分11/1119、(本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)已知双曲线,其右顶点为.(1)求以为圆心,且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程;(2)设直线过点,其法向量为,若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为,求的值.解:(1)由题意,,渐近线方程:,即……………2分则半径,……………4分所以圆方程为:……………6分(2)若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为,则其中一点必定是与直线平行的直线与双曲线其中一支的切点……………8分设直线与双曲线C相切,并且与直线平行,则,即有,消去,得到……………10分则,解得,所以…………12分又是与之间的距离,所以或者……………14分11/1120、(本小题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)若数列对任意的,都有,且,则称数列为“级创新数列”.(1)已知数列满足,且,试判断数列是否为“2级创新数列”,并说明理由;(2)已知正数数列为“级创新数列”且,若,求数列的前项积;(3)设是方程的两个实根(),令,在(2)的条件下,记数列的通项,求证:,.解:(1)由,∴,即,……………………2分且,………………………3分∴是“2级创新数列”………………………4分(2)由正数数列是“级创新数列”,得,且∴,………………………6分∴是等比数列,且首项,公比;∴;………………………7分由………………………9分,∴……………………10分11/11(3)由,;……………………12分由是方程的两根,∴;……………………14分∴.…………………16分11/1121、(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)对于定义域为的函数,若函数是奇函数,则称为正弦奇函数.已知是单调递增的正弦奇函数,其值域为,.(1)已知是正弦奇函数,证明:“为方程的解”的充要条件是“为方程的解”;(2)若,求的值;(3)证明:是奇函数.证明:(1)必要性:为方程的解,即,故,即为方程的解.…………………………………………………2分充分性:为方程的解,即,故,,即为方程的解.………………………………4分(2)因为,由单调递增,可知.……………………5分由(1)可知,若函数是正弦奇函数,则当为方程的解,必有为方程的解,,即,而,故,从而,即;……………………7分11/11同理,故,即;…………………………9分综上,.…………………………10分(3)的值域为且单调递增,故对任意,存在唯一的使得.…………11分可设,下证.当时,由(2)知,命题成立;………………………………12分假设时命题成立,即,而由的单调性知,知,则当时,为方程的解,故为方程的解,且由单调性知,故,得;同理,故.……………………………………………14分要证是奇函数,只需证:对任意,都有.记,若,则,;……………………………………………………15分若,则,,而正弦函数在上单调递增,故由得.若,同理可证得.…………………17分11/11综上,对任意,都有.故是奇函数.……………18分11/11
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高中 - 数学
发布时间:2022-08-25 20:18:45
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文章作者:U-336598
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