云南省玉溪一中2022学年高二数学下学期期中试题 文 新人教A版

玉溪一中2022届高二下学期期中考试数学试题（文科）班级学号姓名第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A＝{x|x＜－1或x＞1}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（）A.{x|x＞1}B.{x|x＞0}C.{x|x＜－1}D.{x|x＜－1或x＞1}2.－等于（）A.3－4iB.－3＋4iC.3＋4iD.－3－4i3.复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．4.用反证法证明命题“若，则全为0”其假设正确的是()A．至少有一个不为0B．至少有一个为0C．全不为0D．中只有一个为05.一个体积为12的正三棱柱的三视图如图1所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）A.3B.4C.5D.66.函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是（）A.(0，1]B.[1，＋∞)C.(－∞，－1]∪(0，1]D.[－1，0)∪(0，1]48yot48yot48yot48yot7.某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量与时间的函数图像可能是（）8.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f′′(x)＝(f′(x))′，若f′′(x)＜0在D-7-\n上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是（）A.f(x)＝sinx＋cosxB.f(x)＝lnx－2xC.f(x)＝－x3＋2x－1D.f(x)＝－xe－x9.函数y＝－x2＋1（0＜x＜2）的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是（）A.B.C.D.10.在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A.B.C.D.11.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F，若椭圆上存在一个P点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.12.定义在R上的可导函数f(x)满足f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，且当x∈[2，4]时，f(x)＝x2＋2xf′(2)，则f(－)与f()的大小关系是（）A.f(－)＝f()B.f(－)＜f()C.f(－)＞f()D.不确定第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.执行如图3所示的程序框图，输出结果是.14.已知函数f(x)＝x3＋f′()x2－x，则函数f(x)的图象在点(，f())处的切线方程是.15.观察上面的图形中小正方形的个数，则第6个图中有个小正方形，第n个图中有-7-\n个小正方形．16.已知函数的导数，若在处取得极大值，则的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△中，内角A，B，C所对的分别是，，。已知，,．（I）求sinC和b的值；（II）求的值．18.（本小题满分12分）如图5，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2AD＝2，BD＝，PD⊥底面ABCD.（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P—BC—D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：您是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）通过计算说明，你能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？-7-\n附：K2=20.（本小题满分12分）已知椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），它的一个顶点为M(0，1)，离心率e＝.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝3.求证：直线AB过定点，并求该定点.21.（本小题满分12分）已知a∈R，函数f(x)＝＋lnx－1，g(x)＝(lnx－1)ex＋x（其中e≈2.718）.（Ⅰ）求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值；（Ⅱ）是否存在实数x0∈(0，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.22.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数的值．玉溪一中2022届高二下学期期中考试数学试题（文科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.A；2.B；3.A；4.A；5.D；6.A；7.B；8.D；9.D；10.B；11.A；12.B.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.；14.27x＋27y＋4＝0；15.28，；16.（-1,0）-7-\n三、解答题：本大题共6个小题，共70分.17.（本小题满分12分）解：(I)在三角形ABC中，由，可得又由及，,可得.由余弦定理，得，又因为，故解得，所以，.(Ⅱ)由，，可得，所以，18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为CD2＝BC2＋BD2，所以BC⊥BD.又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.又因为PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD.而BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD.（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD.所以∠PBD即为二面角P—BC—D的平面角，即∠PBD＝.而BD＝，所以PD＝1.分别以DA，DB，DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0，0，1)，所以AP＝(－1，0，1)，BC＝(－1，0，0)，BP＝(0，－，1).设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，-7-\n则即可解得n＝(0，1，)，所以AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ＝＝＝.19.（本小题满分12分）解：(Ⅰ)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为％.(Ⅱ)，由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，得解得∴椭圆方程为＋y2＝1.（Ⅱ）显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋t，代入椭圆方程，得(3k2＋1)x2＋6ktx＋3(t2－1)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝，由k1＋k2＝3，得＋＝3，①又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，②由①，②得2k＋(t－1)·＝3，化简，得t＝.则直线AB的方程为y＝kx＋＝k(x＋)－1，∴直线AB过定点(－，－1).21.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵f(x)＝＋lnx－1，x∈(0，e]，∴f′(x)＝－＋＝.令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值.②若0＜a＜e，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减；当x∈-7-\n(a，e]时，f′(x)＞0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值lna.③若a≥e，则f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上的无最小值；当0＜a＜e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为lna；当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为.（Ⅱ）∵g(x)＝(lnx－1)ex＋x，x∈(0，e]，∴g′(x)＝(lnx－1)′ex＋(lnx－1)(ex)′＋1＝＋(lnx－1)ex＋1＝(＋lnx－1)ex＋1.由（Ⅰ）可知，当a＝1时，f(x)＝＋lnx－1.此时f(x)在区间(0，e]上的最小值为ln1＝0，即＋lnx－1≥0.当x0∈(0，e]，ex0＞0，＋lnx0－1≥0，∴g′(x0)＝(＋lnx0－1)ex0＋1≥1＞0.曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x0)＝0有实数解，而g′(x0)＞0，即方程g′(x0)＝0无实数解.故不存在x0∈(0，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直.22.（本小题满分10分）解：由已知得，所以圆ρ=2cosθ的普通方程为：，即，圆心为（1,0），半径为1.直线的普通方程为：，又因为圆与直线相切，所以圆心（1,0）到直线的距离=解得：，或.-7-