人大附中高二年级第一学期期末数学（理）练习

人大附中高二年级第一学期期末数学（理）练习&选修2-1模块考核试卷2022年1月14日命题人：吴中才候立伟审卷人：梁丽平说明：本试卷分I卷和II卷，I卷17道题，共100分，作为模块成绩；II卷4道题，共50分；I卷、II卷共21题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在密封线内填写个人信息。I卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1.集合，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若,，则()A.B.C.D.3.如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则等于（）18/18\nA.B.C.D.4.给定原命题：“若，则全为”，那么下列命题形式正确的是（）A.逆命题：若全为，则B.否命题：若，则全不为C.逆否命题：若全不为，则D.否定：若，则全不为05.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程是（）A.B.C.D.6.已知点是双曲线上一点，若，则的面积为（）A.B.C.5D.18/18\n7.已知是经过抛物线的焦点的弦，若点、的横坐标分别为和，则该抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.8.在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点的轨迹为曲线，则下列命题中：①曲线关于原点对称；②曲线关于轴对称；③曲线关于轴对称；④曲线关于直线对称所有真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9.以为渐近线且经过点的双曲线方程为______________.10.已知向量，，若，则_____________.11.设、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，若，则_______，__________.12.已知的顶点,,,是边上的高，则点的坐标为_________.18/18\n13.已知命题方程有两个不相等的负根；命题：方程无实根.若为真，为假，则的取值范围为__________.14.已知点，点，直线的斜率之积为，记点的轨迹为.（I）曲线的方程为_________；（II）设为曲线上的两点，满足(为原点)，则面积的最小值是_________三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本题满分12分）已知向量，.（I）计算和；（II）求18/18\n16.（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，，，.（I）求证：;（II）求直线与平面所成的角的正弦值.17.（本题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点.（I）求抛物线的标准方程；（II）若的面积为，求.18/18\nII卷（共6道题，满分50分）一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18.已知点为抛物线上的一个动点，过点作1的两条切线，切点为.（I）当最小时，点的坐标为___________；（II）四边形的面积的最小值为________.19.在四面体中，若分别是棱、、、、的中点，则相交于一点，则点为四面体的重心.设，，，.（I）重心的坐标为___________；（II）若的重心为，则____________.18/18\n二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20.（本题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为、，过点的直线与椭圆相交于两点，且的周长为.（I）求椭圆的标准方程；（II）若原点O关于直线的对称点在椭圆上，求直线的方程.18/18\n21.（本题满分16分）如图(1)，在中，，，是边上一点，沿将图形折叠成图（2），使得二面角是直二面角.（I）若是边的中点，求二面角的大小；（II）若，求点到平面的距离；（III）是否存在一点，使得二面角是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（1）（2）18/18\n人大附中2022-2022学年度第一学期期末高二年级数学（理）练习&必修1-1模块考核试卷参考答案I卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）题号12345678答案ACCADCDA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.10.11.，12.13.18/18\n14.（I）（II）三、解答题（本大题共3小题，共38分）15.解:（I）（II）又，故16.解：（I）证明：如图所示，连接，交于点.由题意可知：在直三棱柱中，底面而故由线面垂直的性质定理可得：，又，即，故由线面垂直的判定定理可得：18/18\n而故由线面垂直的性质定理可得：又在正方形中，，于是有：而，故可得：（II）以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.，由题意易知：A点坐标为，B点坐标为点坐标为，点坐标为故有：，，设平面的法向量则有：，即取，可得：18/18\n故平面的法向量设直线与平面所成角为，则17.解：（I）依题意可设：抛物线的标准方程为由其焦点为易得：故所求抛物线的标准方程为（II）①当直线斜率不存在即与轴垂直时，易知：此时的面积为不符合题意，故舍去.②当直线斜率存在时，可设其为，则此时直线的方程为将其与抛物线的方程：联立化简整理可得：设两点坐标分别为，由韦达定理可得：18/18\n法1：由弦长公式可得：由点到直线的距离公式可得：坐标原点到直线的距离为故的面积为解得：法2：而故解得：，又因此，当的面积为4时，所求弦的长为16.II卷（共6道题，满分50分）一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分）18/18\n18.（I）或（II）19.（I）（II）二、解答题（本大题共2小题，满分30分.）20.解：（I）依题意可设椭圆的标准方程为由左右焦点坐标可知：由的周长为可得：于是得：又故可得：所求椭圆的方程为（II）由题意易知：直线的斜率存在，可设其为，故直线的方程为设原点关于直线的对称点的坐标为则线段的中点的坐标为由题意可知：点在直线上，故有①18/18\n点在椭圆上，故有②线段与直线垂直，故有③由①③可得：将其代入②可得：故所求直线的方程为或21.解：（I）法一：在图（1）中，，，当为边的中点时，且有在图（2）中取的中点易知：在中，，在中，，故即为半平面与半平面所成角在图（2）中，，又，故由线面垂直的判定定理可得：18/18\n而再由线面垂直的性质定理可得：因二面角为直二面角，且，故又因此，于是在中，又在图（1）中，故在中，即所求二面角的大小为法二：以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系由题意可知：四点坐标分别为A，B18/18\nC，D于是有：，，设平面的法向量，平面的法向量则有即即取，可得平面的法向量为，平面的法向量设二面角的大小为，由图（2）可知：为锐角故因此，所求二面角的大小为.（II）在图（1）中，当时，有，过点作交于点，易知，18/18\n在中，过点作于点，过点作于点易得：，于是：在图（2）中，由二面角为直二面角可知：设点到平面的距离为在三棱锥中，有即：于是故点到平面的距离为18/18