北京市昌平区2022学年高一数学上学期期中试题

2022~2022学年度上学期期中测试高一数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、表示正整数集的是（  ）A、QB、NC、N*D、Z2、如图中的阴影部分表示的集合是（  ）A、∁∪M∩NB、M∪∁∪NC、M∩∁∪ND、∁∪M∪N3、已知集合，则下列结论正确的是 （  ）A、B、C、D、集合M是有限集4、已知集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x﹣4≤0}，则A∪B=（ ）A、{x|﹣1≤x＜4}B、{x|2≤x＜4}C、{x|x≥﹣1}D、{x|x≤4}5、如图，可表示函数y=f（x）的图象的可能是（  ）A、B、  C、D、6、下列函数中与y=x为同一函数的是(  )A、B、C、D、-14-\n7、下列各函数中，是指数函数的是（  ）A、y=（﹣3）xB、y=﹣3xC、y=3x﹣1D、y=3﹣x8、将化成分数指数幂为（  ）A、B、C、D、9、与的图像关于(   )A、x轴对称B、y轴对称C、原点对称D、对称10、已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（  ）A、3x﹣1B、3x+1C、3x+2D、3x+411、为了得到函数y=2x+1的图象只需把函数y=2x上的所有点（  ）A、向下平移1个单位长度B、向上平移1个单位长度C、向左平移1个单位长度D、向右平移1个单位长度12、函数，满足f(x)>1的x的取值范围是( )A、(-1,1)B、C、{x|x>0或x<-2}D、{x|x>1或x<-1}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、若集合{x|a≤x≤3a﹣1}表示非空集合，则a的取值范围是________．14、函数的定义域为________．15、已知幂函数的图象过点（2，16）和（，m），则m=________． -14-\n16、函数f（x）=的最小值为______；函数f（x）与直线y=4的交点个数是____个．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分12分）已知f（x）=，画出它的图象，并求f（f（﹣3））的值．18、（本小题满分12分）计算下列各式的值：（1）（2）．19、（本小题满分12分）问k为何值时，|3x﹣1|=k无解？有一解？有两解？20、（本小题满分12分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），对于偶函数y=g（x）（x∈R），当x≥0时，g（x）=f（x）﹣2x．（1）求函数y=f（x）的解析式；-14-\n（2）求当x＜0时，函数y=g（x）的解析式，并在坐标系中，画出函数y=g（x）的图象；（3）写出函数y=|g（x）|的单调递减区间．21、（本小题满分12分）已知函数f（x）=ax﹣1（a＞0且a≠1）．（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，9）点，求a的值；（2）比较f（lg）与f（-1.9）的大小，并写出比较过程；（3）若f（lna）=e2，求a的值．22、（本小题满分10分）已知函数f（x）=log2（x+1）．当点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动时，点（，）在函数y=g（x）（x>-）的图象上运动．（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）求函数F（x）=f（x）﹣g（x）与x轴交点的横坐标．（3）函数F（x）在x∈（0，1）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若没有请说明理由． 选做题（12分，不计入总分）-14-\n我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=C，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．（1）判断函数f（x）=x+1，x∈[﹣1，3]是否为“和谐函数”？如果是，写出它的一个“和谐数”．（2）证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，是其“和谐数”；（3）判断函数u（x）=x2，x∈R是否为和谐函数，并作出证明．-14-\n高一数学答案解析部分一、单选题1、【答案】C【考点】集合的含义【解析】【解答】解：表示正整数集的是N*．故选：C．【分析】Q是有理数集；N是自然数集；N*是正整数集；Z是整数集．2、【答案】B【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于M或不属于N的元素构成，所以用集合表示为M∪∁∪N．故选B．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．3、【答案】A【考点】元素与集合关系的判断，集合的分类【解析】【分析】由于集合｜表示的为大于-2小于3的实数集合，那么可知，对于A,成立，对于B．不能是含于关系，而是属于关系，对于C．是集合与集合的关系，不能用属于符号，对于D．集合M是无限集，因此选A.4、【答案】D【考点】并集及其运算【解析】【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x﹣4≤0}={x|x≤4}，∴A∪B={x|x≤4}，故选：D．【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．5、【答案】D【考点】函数的概念及其构成要素【解析】【解答】解：根据函数的定义可知，A，B，C对应的图象不满足y值的唯一性，故D正确，故选D．【分析】根据函数的定义和函数图象之间的关系即可得到结论．6、【答案】B【考点】判断两个函数是否为同一函数-14-\n【解析】【解答】函数的定义域为R，函数的定义域为，所以与函数的定义域不同，不是同一函数；函数的定义域为R，且，与与函数为同一函数；函数的定义域为，所以与函数的定义域不同，不是同一函数；函数，与函数y=x的解析式不同，所以不是同一函数.故选：B.7、【答案】D【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】【解答】解：根据指数函数的定义：形如y=ax（a＞0，且a≠1）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确．故选：D．【分析】根据指数函数的定义，结合选项判断即可．8、【答案】D【考点】分数指数幂【解析】【解答】解：=．故选：D．【分析】直接化根式为分数指数幂得答案．9、【答案】D【考点】指数函数的图像与性质，对数函数的图像与性质，反函数【解析】【分析】因为与互为反函数，所以与的图像关于对称。选D.10、【答案】A【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1∴f（x）=3x﹣1故答案是：A【分析】通过变换替代进行求解11、【答案】B【考点】函数的图象与图象变化【解析】【解答】解：根据两个函数的关系可知，将y=2x图象再向上平移1个单位长度得到y=2x+1，-14-\n所以选B．故选：B【分析】根据图象平移和函数对应关系去求．y=2x→y=2x+1，寻找他们的变化关系12、【答案】D【考点】指数函数的图像与性质，幂函数的图像，幂函数的性质【解析】【分析】即解或，所以，选D。【点评】解不等式，往往借助于函数单调性，也可以借助于函数图象，数形结合加以分析，形象直观。二、填空题13、【答案】{a|a≥}【考点】空集的定义、性质及运算【解析】【解答】解：∵集合{x|a≤x≤3a﹣1}表示非空集合，∴3a﹣1≥a，解得a≥，∴a的取值范围是{a|a≥}；故答案为：{a|a≥}．【分析】根据题意，得3a﹣1≥a，求得a的取值范围．14、【答案】（0，1]【考点】函数的定义域及其求法，对数函数的定义域【解析】【解答】解：要使函数有意义则由⇒0＜x≤1故答案为：（0，1]．【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0建立不等式组，解之即可求出所求．15、【答案】【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】【解答】设幂函数的解析式为y=xa，其图象过点（2，16），则2a=16，解得a=4，即y=x4；-14-\n又图象过点（，m），则m==．故答案为：．【分析】设出幂函数的解析式，用待定系数法求出解析式，再计算m的值．16、【答案】2；3【考点】分段函数的应用【解析】【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，由图象可以观察函数f（x）的最小值为2，当x=1时取得最小值，由图象可以看出函数f（x）与直线y=4的交点个数有3个．故答案为：2，3【分析】作出函数的图象，利用数形结合的思想解得．三、解答题17、【答案】解：f（x）=，函数的图象为：坐标系中的点．f（f（﹣3））=f（1）=0．【考点】函数图象的作法，函数的值【解析】【分析】利用分段函数直接画出函数的图象，然后求解f（f（﹣3））的值．18、【答案】解：（1）原式=﹣1﹣+=﹣1﹣+=．（2）原式=+lg（25×4）+2=+2+2=．【考点】有理数指数幂的化简求值，对数的运算性质【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出；（2）利用对数的运算性质即可得出．19、【答案】解：方程|3x﹣1|=k的解的问题，可转化为函数y=|3x﹣1|和y=k的图象交点个数问题．如图，故0＜k＜1时，两个函数图象有两个交点，故方程有两解；k=0或k＞1时，两个函数图象有一个交点，故方程有一解；k＜0时，两个函数图象无交点，故方程无解．-14-\n【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】【分析】方程|3x﹣1|=k的解的问题，可转化为函数y=|3x﹣1|和y═k的图象交点个数问题，做函数y=|3x﹣1|的图象时，先做出y=3x﹣1的图象，再将x轴下方的部分翻折到x轴上方即可．20、【答案】解：（1）设y=f（x）=xα，代入点（2，4），得4=2α，∴α=2，∴f（x）=x2；（2）∵f（x）=x2，∴当x≥0时g（x）=x2﹣2x设x＜0，则﹣x＞0，∵y=g（x）是R上的偶函数∴g（x）=g（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x即当x＜0时，g（x）=x2+2x，图象如右图所示；（3）函数y=|g（x）|的图象如图由图象知，函数y=|g（x）|的单调递减区间是：（﹣∞，﹣2]，[﹣1，0]，[1，2]【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】【分析】（1）利用待定系数法，设f（x）=xα，代入点（2，4），解指数方程即可得α值；（2）利用偶函数的定义，设x＜0，则﹣x＞0，f（x）=f（﹣x），再代入已知解析式即可得x＜0时，函数y=g（x）的解析式，最后利用对称性画出函数图象即可；（3）先画出函数y=|g（x）|的图象，即将函数y=g（x）的图象x轴下面的部分翻到上面，再根据图象写出此函数的单调减区间即可21、【答案】解：（1）∵函数f（x）=ax﹣1（a＞0且a≠1），函数y=f（x）的图象经过点P（3，9），∴a2=9，a=3，（2）f（lg）=f（﹣2），当a＞1时，f（x）=ax﹣1，单调递增，∴f（﹣2）＜f（﹣1.9），当0＜a＜1，f（x）=ax﹣1，单调递减，f（﹣2）＞f（﹣1.9）-14-\n所以，当a＞1时，f（lg）＜f（﹣1.9），当0＜a＜1，f（lg）＞f（﹣1.9）．（3）f（lna）=e2，∴alna﹣1=e2，∴lna•（lna﹣1）=2，即lna=2，或lna=﹣1，a=e2或a=．【考点】指数函数的图像变换【解析】【分析】（1）把点代入求解，（2）化为f（﹣2），f（﹣1.9），讨论利用函数单调性求解判断，（3）alna﹣1=e2，两边取对数化为lna•（lgn﹣1）=2求解．22、【答案】解：（1）由点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动，得y=log2（x+1），由点（，）在函数y=g（x）（x>-）的图象上运动，得，∴=log2（x+1），令t=，∴x=3t，∴g（t）=，即g（x）=；（2）函数F（x）=f（x）﹣g（x）=log2（x+1）﹣，令F（x）=0，有log2（x+1）==，∴，解得x=0或x=1，∴函数F（x）的零点是x=0或x=1；（3）函数F（x）=f（x）﹣g（x）=log2（x+1）﹣=，设t==，设m=3x+1，由x∈（0，1）得m∈（1，4），函数在（1，2]上递减，在[2，4）上递增，当m=2时有最小值4，无最大值，∴t有最小值，无最大值．∴函数F（x）在x∈（0，1）内有最小值，无最大值．-14-\n【考点】复合函数的单调性，对数函数图象与性质的综合应用【解析】【分析】（1）把两动点坐标分别代入两函数解析式，然后利用换元法可求得g（x）；（2）表示出F（x），问题转化为求方程F（x）=0的根，注意函数定义域；（3）可化为F（x）=，设t=，变形后进行换元，然后利用基本不等式可求得t的最值，从而可得F（x）的最值情况；四、选做题23、设全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，集合A={x∈R|（x﹣1）（x﹣2）=0}，集合B=，分别求集合CUA、A∪B、A∩B．23、【答案】解：全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={0，1}可得∁UA={﹣1，0，3，4，5}，A∪B={0，1，2}，A∩B={1}．【考点】集合的含义，并集及其运算，交集及其运算，补集及其运算【解析】【分析】先化简集合U以及集合A和集合B，然后利用补集的定义求出CUA，最后再利用交集与并集的定义求出A∪B、A∩B即可．24、【答案】解：（1）∵对任意x1∈[﹣1，3]，令=2，得x2=2﹣x1，∴x2∈[﹣1，3]，即对任意的x1∈[﹣1，3]，存在唯一的x2=2﹣x1∈[﹣1，3]，使得=2，故正确答案为 是； 2（2）证明：①对任意x1∈[10，100]，令，即，得．∵x1∈[10，100]，∴∈[10,100]．即对任意x1∈[10，100]，存在唯一的∈[10,100]，使得．∴g（x）=lgx为“和谐函数”，其“和谐数”为．参照上述证明过程证明：函数h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”；②对任意x1∈（1，3），令，即，得，．∵x1∈（1，3），∴∈（2,8），∈（1,3）．即对任意x1∈（1，3），存在唯一的∈（1,3），使得．-14-\n∴h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”（3）解：函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”，证明如下：对任意的常数C，①若C≤0，则对于x1=1，显然不存在x2∈R，使得==C成立，所以C（C≤0）不是函数u（x）=x2，x∈R的和谐数；②若C＞0，则对于，由=得，x22=﹣2C＜0，即不存在x2∈R，使=C成立．所以C（C＞0）也不是函数u（x）=x2，x∈R的和谐数．综上所述，函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”．【考点】指数式与对数式的互化【解析】【分析】（1）根据题目対“和谐函数”的定义，对任意x1∈[﹣1，3]，令=2，得x2=2﹣x1，而x2∈[﹣1，3]，即对任意的x1∈[﹣1，3]，存在唯一的x2=2﹣x1∈[﹣1，3]，使得=2，即可得正确结果（2）参照上述证明过程，对任意x1∈（1，3），令，得，∈（1,3）∈（1，3），即可证明函数h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”（3）分c＜0和c≥0两种情况讨论，对任意的x1∈R，不存在唯一的x2∈R，使=C成立，所以函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”25、对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为不等函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x3与h（x）=2x﹣a是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为不等函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是不等函数，求实数a组成的集合．25、【答案】解：（1）当x∈[0，1]时，总有g（x）=x3≥0，满足①；当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，g（x1+x2）=（x1+x2）3=++3•x2+3x1•≥+=g（x1）+g（x2），满足②，所以函数g（x）是不等函数．（2）h（x）=2x﹣a（x∈[0，1]）为增函数，h（x）≥h（0）=1﹣a≥0，所以a≤1．由h（x1+x2）≥h（x1）+h（x2），得﹣a≥﹣a+﹣a，即a≥+﹣=1﹣（﹣1）（﹣1）．因为x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，-14-\n所以0≤﹣1≤1，0≤﹣1≤1，x1与x2不同时等于1，所以0≤（﹣1）（﹣1）＜1，所以0＜1﹣（﹣1）（﹣1）≤1．当x1=x2=0时，[1﹣（﹣1）（﹣1）]max=1，所以a≥1．综合上述，a∈{1}．【考点】指数函数综合题【解析】【分析】（1）根据不等函数的定义和条件进行判断即可；（2）根据h（x）是不等函数，验证两个条件即可．-14-