北大附中高二第二学期数学期中考试

北大附中高二第二学期数学期中考试______班姓名：________　　　　一、选择题：（30分）　　1．若用C、R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则　　A．C=R∪IB．R∩I={0}　　C．D．R∩I=ф　　2．已知x、y是复数，　　（1）若，则x=y=0，　　（2）若xy=0，则x=0或y=0　　（3），　　（4）若则x是纯虚数。　　上面的命题中正确的命题的个数是　　A．0B．1C．2D．3　　3．若a>b>0则　　A．B．　　C．D．　　　　4．某个命题与自然数n有关，如果当n=k(k∈N)时该命题成立，那么可推出n=k+1时该命题也成立，现已知当n=100时该命题不成立，那么可以推得：　　A．当n=101时该命题不成立　　B．当n=101时该命题成立　　C．当n=99时该命题不成立　　D．当n=99时该命题成立　　5．复数等于　　A．B．　　C．D．　　6．集点在（-1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是　　A．6/6\n　　B．　　C．　　D．　　7．用一个与圆柱母线成60度的平面截圆柱，截口是一个椭圆，这个椭圆的离心率是　　A．B．0.5　　C．0.25D．　　8．设双曲线C：的左准线与x轴交点是M，则过M与双曲线C有且只有一个交点的直线共有　　A．2条B．3条　　C．4条D．无数条　　9．过抛物线的焦点做直线交抛物线与，两点，若则|AB|等于：　　A．2pB．4p　　C．6pD．8p　　10．将曲线C向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线C′，若曲线C′的方程为，则曲线C的焦点坐标为：　　A．（6，1），（0，-1）B．（-6，1）（0，1）　　C．（-3，2），（-3，-4）D．（3，2），（3，-4）　　　　二、填空题：（32分）　　11．椭圆：的离心率e=_______，准线方程：________.　　12．复数的实部是______，虚部是______.　　13．已知等比数列中，，，　　，则等于_________。　　14．计算：。6/6\n　　15．双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，过，一条渐近线方程为12x-5y=0，则双曲线方程为：___________　　16．已知方程|z-2|-|z+2|=a表示等轴双曲线（实轴和虚轴长度相等的双曲线），则实数a的值为：________　　17．已知|z|=2，则当z=_________时，有|z+5i|的最大值等于___________　　18．某桥的桥洞是抛物线，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为_________米。（精确到0.1米）　　　　三．过程题：　　19．（6分）求满足下列条件的复数z：　　20．（8分）过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O是坐标原点，求△OPQ的面积。　　21．（12分）已知数列满足：，,（n∈N）　　（1）计算、、，猜想数列的通项公式；用数学归纳法给出证明。　　（2）比较与的大小，证明得到的结论。　　22．（12分）设双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率e=2，其中一个焦点与抛物线相同，直线a：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，　　（1）求双曲线C的方程；（2）k为何值时，以AB为直径的圆过原点；　　（3）是否存在这样的实数k，使A、B关于直线y=mx对称(m为常数)？若存在求出k；若不存在说明理由。　　　　　　　　北大附中高二第二学期数学期中考试参考答案　　一．1.D2.B3.A4.C5.D6.D7.B8.C9.B10.B　　二．　　11．，　　12．-2，3　　13．　　14．-1+(7-9i)/5=-12/5-9i/56/6\n　　15．　　16．　　17．2i7　　18．2.6　　　　三．　　19．解设z=x+yi,x,y∈R　　　　解得：　　所求复数为：z=3i　　　　20．解：　　（1）计算得：、、；(1分)　　猜想的通项公式为：其中n∈N　　下面用数学归纳法给出证明：　　直接验算知，,满足。　　假设n=k和n=k+1时猜想成立，即；；　　　　　　猜想也成立，　　由数学归纳法知：　　的通项公式是其中n∈N　　（2），，、、，　　、、　　当n≥7有，成立，(1分)　　下面证明这一结论：　　n=7时已验证命题成立：6/6\n　　假设n=k（≥7）时有成立，　　n=k+1时：，　　这是因为k≥7时，　　命题也成立，由数学归纳法知：　　对n≥7得自然数，有成立。(5分)　　综上所述：当n=1或n≥7时：；当使：2≤n≤6时，。(6分)　　　　21．解：　　抛物线的焦点为F（1，0），过F点倾斜角为的直线方程设为y=-(x-1)与联立。　　可以求得|PQ|=8。坐标原点O到直线y=-(x-1)的距离为△OPQ的高，其数值为，　　故所求△OPQ的面积为（面积单位）。　　　　22．略解：　　（1）所求双曲线C的方程：　　（2）……①与直线a：y=kx+1……②联立　　得：……③　　△>0得……④　　设，，要使以AB为直径的圆过原点，就要OA⊥OB，　　也即：　　利用③和韦达定理，得，k=±1这个结果也满足条件④。　　（3）若双曲线C上存在A、B关于直线y=mx对称，则，⑤　　AB的中点，应在直线y=mx上，　　于是：6/6\n　　……⑥　　再由③代入⑥：　　。　　得到k=3/m这与⑤矛盾。故所求k不存在。　　　　6/6