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四川省宜宾市一中高中数学上学期第十二周周练题

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四川省宜宾市一中2022-2022学年高中数学上学期第十二周周练题一、选择题(本大题共14小题,共70.0分)1.若曲线x21−k+y21+k=1表示椭圆,则k的取值范围是(  )A.k>1B.k<−1C.−1<k<1d.−1<k<0或0<k<1【答案】d【解析】【分析】曲线x21−k+y21+k=1表示椭圆,可得1−k>01+k>01−k≠1+k,解出即可得出.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.【解答】解:∵曲线x21−k+y21+k=1表示椭圆,∴1−k>01+k>01−k≠1+k,解得−1<k<1,且k≠0.故选:d.2.设椭圆x24+y2=1的左焦点为f,p为椭圆上一点,其横坐标为3,则|pf|=(>b>0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为(  )9A.12B.33C.22D.24【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的简单性质.属基础题.先根据题意可知c=b,进而求得a和c的关系,离心率可得.【解答】解:依题意可知2c=2b,即b=c,所以a=b2+c2=2c∴椭圆的离心率e=ca=22.故选C.1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为43,则C的方程为(  )A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=1【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.利用△AF1B的周长为43,求出a=3,根据离心率为33,可得c=1,求出b,即可得出椭圆的方程.【解答】解:∵△AF1B的周长为43,∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,∴4a=43,∴a=3,∵离心率为33,∴ca=33,c=1,∴b=a2−c2=2,∴椭圆C的方程为x23+y22=1.故选A.2.椭圆的焦距为8,且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10,则该椭圆的标准方程是(  )A.x225+y29=1B.y225+x29=1或x225+y29=1C.y225+x29=1D.y225+x216=1或x216+y29=1【答案】B【解析】【分析】由题意求得c=4,a=5,b2=a2−c2=9,分类讨论即可求得椭圆的标准方程.9本题考查椭圆的标准方程,考查分类讨论思想,属于基础题.【解答】解:由题意可知:焦距为2c=8,则c=4,2a=10,a=5,b2=a2−c2=9,∴当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程:x225+y29=1,当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程:y225+x29=1,故椭圆的标准方程为:x225+y29=1或y225+x29=1,故选B.1.已知椭圆:x2k+y22=1,若椭圆的焦距为2,则k为(  )A.1或3B.1C.3D.6【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的简单性质直接求解.本题考查椭圆的简单性质,考查椭圆的标准方程中各字母的几何意义,属于简单题.【解答】①若焦点在y轴上,椭圆x2k+y22=1中,a2=2,b2=k,则c=2−k,∴2c=22−k=2,解得k=1.②若焦点在x轴上,椭圆x2k+y22=1中,a2=k,b2=2,则c=k−2,∴2c=2k−2=2,解得k=3.综上所述,k的值是1或3.故选A.2.设P为椭圆x29+y24=1上的一点,F1、F2是该椭圆的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=2:1则△PF1F2的面积为(  )A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】先由椭圆的方程求出|F1F2|=25,再由|PF1|=2|PF2|,求出|PF1|=4,|PF2|=2,由此能够推导出△PF1F2是直角三角形,其面积=12×|PF1| ×|PF2|.本题考查椭圆的性质,判断出△PF1F2是直角三角形能够简化运算.【解答】解:∵|PF1|:|PF2|=2:1,∴可设|PF1|=2k,|PF2|=k,由题意可知2k+k=6,∴k=2,∴|PF1|=4,|PF2|=2,9∵|F1F2|=25,∴△PF1F2是直角三角形,其面积=12×|PF1| ×|PF2|=12× 4×2=4.故选C.1.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP⋅FP的最大值为(  )A.2B.3C.6D.8【答案】C【解析】解:由题意,F(−1,0),设点P(x0,y0),则有x024+y023=1,解得y02=3(1−x024),因为FP=(x0+1,y0),OP=(x0,y0),所以OP⋅FP=x0(x0+1)+y02=x024+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=−2,因为−2≤x0≤2,所以当x0=2时,OP⋅FP取得最大值224+2+3=6,故选C.先求出左焦点坐标F,设P(x0,y0),根据P(x0,y0)在椭圆上可得到x0、y0的关系式,表示出向量FP、OP,根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案.本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力.2.已知P是以F1,F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,若PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则此椭圆的离心率为(  )A.12B.23C.13D.53【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的定义的应用,考查勾股定理及椭圆离心率公式的应用,考查计算能力,属于中档题.由题意可知:设|PF1|=2m,|PF2|=m,根据椭圆定义,结合勾股定理计算求解【解答】解:椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦点在x轴上,设|PF1|=2m,|PF2|=m,由椭圆的定义可得:|PF1|+|PF2|=2a,2m+m=2a,即a=3m2,∵PF1⊥PF2,由勾股定理可知:|PF1|2+|PF2|2=丨F1F2丨 2,4m2+m2=(2c)2,即5m2=4c2,∴c=52m,9∴e=ca=52m32m=53,故选D.1.已知椭圆的方程为x29+y24=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点,F2是椭圆的右焦点,则△ABF2的周长的最小值为(  )A.7B.8C.9D.10【答案】D【解析】解:椭圆的方程为x29+y24=1,∴2a=6,2b=4,c=25,连接AF1,BF1,则由椭圆的中心对称性可得△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|,当AB位于短轴的端点时,|AB|取最小值,最小值为2b=4,l=2a+|AB|=6+|AB|≥6+4=10.故选:D.利用三角形的周长以及椭圆的定义,求出周长的最小值.本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的定义及焦点三角形的性质,考查数形结合思想,属于基础题.2.设椭圆x216+y212=1的左右交点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且满足PF1⋅PF2=9,则|PF1|⋅|PF2|的值为(  )A.8B.10C.12D.15【答案】D【解析】解:∵P是椭圆x216+y212=1一点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,∴|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=4,PF1⋅PF2=9,即|PF1|⋅|PF2|cosθ=9,16=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|cosθ=(|PF1|+|PF2|)2−2|PF1|⋅|PF2|−18=64−2|PF1|⋅|PF2|−18=16,∴|PF1|⋅|PF2|=15,故选:D.根据椭圆的定义可判断|PF1|+|PF2|=8,平方得出|PF1|2+|PF2|2,再利用余弦定理求解即可.本题考查了椭圆的定义以及简单性质的应用,焦点三角形的问题,结合余弦定理整体求解,属于中档题.91.已知椭圆C:x24+y2b2=1(0<b<2),作倾斜角为3π4的直线交椭圆c于a,b两点,线段ab的中点为m,o为坐标原点,若直线om的斜率为12,则b=a.1b.2c.3d.62【答案】b【解析】【分析】本题考查了椭圆的性质应用,以及直线与椭圆的位置关系,由题意,利用“点差法”,结合直线斜率,得到结果.【解答】解:∵设ax1,y1,bx2,y2,mx0,y0,∴依题意,kab=tan3π4=−1,x0=x1+x22,y0=y1+y22,∵x124+y12b2=1,x224+y22b2=1,∴两式相减,得:x12−x224+y12−y22b2=0,∴x1+x2x1−x24=−y1+y2y1−y2b2,∴2x04=−2y0b2×−1,∴x02=2y0b2,∵直线om的斜率为12,∴y0x0=12,∴b24=12,∵0<b<2,∴b=2.故选b.9二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)1.若一个椭圆的长轴长是短轴长的3倍,焦距为8,则这个椭圆的标准方程为______.【答案】x218+y22=1或y218+x22=1【解析】解:若椭圆的焦点在x轴,可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),且2c=8,即c=4.又2a=6b,∴a=3b,结合a2=b2+c2,得9b2=b2+16,∴b2=2,则a2=9b2=18.∴椭圆标准方程为x218+y22=1.若椭圆的焦点在y轴,同理可得y218+x22=1.故答案为:x218+y22=1或y218+x22=1.若椭圆的焦点在x轴,可设出椭圆标准方程,并得到c,再由长轴长是短轴长的3倍可得a=3b,结合隐含条件a2=b2+c2求得a,b的值,则椭圆方程可求,若椭圆的焦点在y轴,同理可得椭圆方程.本题考查了椭圆标准方程的求法,考查了椭圆的简单几何性质,考查分类讨论思想,是基础题.2.方程x215−k+y2k−9=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是______.【答案】(12,15)【解析】解:方程x215−k+y2k−9=1表示焦点在y轴上的椭圆,可得:k−9>15−k>0,解得k∈(12,15)故答案为:(12,15).利用椭圆的简单性质列出不等式求解即可.本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.3.设椭圆x2m+y23=1的两个焦点F1,F2都在x轴上,P是第一象限内该椭圆上的一点,且sin∠PF1F2+sin∠PF2F1sin∠F1PF2=2,则正数m的值为_________________.【答案】4【解析】【分析】本题考查椭圆的定义,几何性质、正弦定理等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,由椭圆x2m+y23=1的两个焦点F1,F2都在x轴上,得m>3,正弦定理得:PF1+PF1F1F2=2a2c=2,由此能求出m.【解答】9解:∵椭圆x2m+y23=1的两个焦点F1,F2都在x轴上,∴m>3,∵P是第一象限内该椭圆上的一点,且sin⁡∠PF1F2+sin⁡∠PF2F1sin⁡∠F1PF2=2,∴由正弦定理得:PF1+PF1F1F2=2a2c=2,∴e=ca=m−3m=12,解得m=4.故答案为4.1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0左右焦点分别是F1 −1,0 , F21,0,点A是直线x+y−2=0上的动点,若点A在椭圆C上,则椭圆C的离心率的最大值为         .解:由题可知x2a2+y2b2=1x+y−2=0,化简得a2+b2x2−4a2x+4a2−a2b2=0,点A在椭圆C上,所以上方程有解,所以∆=−4a22−4a2+b24a2−a2b2≥0,又c=1,b2=a2−1,所以有a2≥52,a≥102,所以e=ca=1a≤1102=105,故答案为105.或者通过对称性和椭圆的定义解决问题,比通解更快、更直观。2.求适合下列条件的椭圆标准方程:(1)与椭圆x22+y2=1有相同的焦点,且经过点(1,32)9(2)经过A(2,−22),B(−2,−32)两点【答案】解:(1)椭圆x22+y2=1的焦点坐标为(±1,0), ∵椭圆过点(1,32), ∴2a=(1+1)2+322+(1−1)2+322=4, ∴a=2,b=3, ∴椭圆的标准方程为x24+y23=1; (2)设所求的椭圆方程为x2m+y2n=1,m>0,n>0,m≠n. 把A(2,−22),B(−2,−32)两点代入,得: 4m+12n=12m+34n=1, 解得m=8,n=1, ∴椭圆方程为x28+y2=1.1.(1)【答案】解:设所求点P(x,y),F1(−1,0),F2(1,0),动圆半径为r,由题易得|PF1|=6−r,|PF2|=2+r,∴|PF1|+|PF2|=8>2,由点P到两定点F1,F2距离之和为定长8,且大于|F1F2|=2c=2,满足椭圆定义,∴轨迹方程:x216+y215=1.动圆圆心P的轨迹方程x216+y215=1.(2)方程x2+(y−2)2+x2+(y+2)2=10化简的结果是A.x225+y216=1B.x225+y221=1C.x225+y24=1D.y225+x221=1【答案】D【解析】解:∵方程x2+(y−2)2+x2+(y+2)2=10,表示平面内到定点F1(0,−2)、F2(0,2)的距离的和是常数10(10>4)的点的轨迹,∴它的轨迹是以F1、F2为焦点,长轴2a=10,焦距2c=4的椭圆;∴a=5,c=2,b=25−4=21;∴椭圆的方程是y225+x221=1,即为化简的结果.故选:D.根据方程得出它表示的几何意义是椭圆,从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程.本题考查了椭圆的定义问题,解题时应根据题意得出方程表示的几何意义是什么,从而得到化简的结果,是基础题.2.已知椭圆C的焦点为F1(−22  , 0)和 F2(22  , 0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点.求:9(1)椭圆C的标准方程;(2)弦AB的中点坐标及弦长.【答案】解:(1)∵椭圆C的焦点为F1(−22,0)和 F2(22,0),长轴长为6,∴椭圆的焦点在x轴上,c=22,a=3,∴b=1,∴椭圆C的标准方程x29+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB线段的中点为M(x0,y0),由x2+9y2=9y=x+2,消去y,得10x2+36x+27=0,∴x1+x2=−185,x1x2=2710,∴x0=−95,∵y0=x0+2=2−95=15,∴弦AB的中点坐标为(−95,15),|AB|=1+k2|x1−x2|=1+k2(x1+x2)2−4x1x2=2(−185)2−4×2710=635.1.在平面xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=32.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l 方程为y=12x+m,直线l 与椭圆C交于A,B两点,求△PAB面积的最大值.【答案】(12分)解:(1)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=32.可得:4a2+1a2−c2=1ca=32,解得a=22,c=6,则b=2,椭圆方程为:x28+y22=1.(2)设直线方程为y=12x+m,A(x1,y1)、B(x2,y2),联立方程组y=12x+mx28+y22=1整理得:x2+2mx+2m2−4=0,x1+x2=−2m,x1x2=2m2−4,利用弦长公式得:|AB|=5(4−m2),由点线距离公式得到P到l的距离d=2|m|5.S=12|AB|⋅d=12⋅5(4−m2)⋅2|m|5=m2(4−m2)≤m2+(4−m2)2=2.当且仅当m2=2,即m=±2时取到最大值.最大值为:2.9</b<2),作倾斜角为3π4的直线交椭圆c于a,b两点,线段ab的中点为m,o为坐标原点,若直线om的斜率为12,则b=a.1b.2c.3d.62【答案】b【解析】【分析】本题考查了椭圆的性质应用,以及直线与椭圆的位置关系,由题意,利用“点差法”,结合直线斜率,得到结果.【解答】解:∵设ax1,y1,bx2,y2,mx0,y0,∴依题意,kab=tan3π4=−1,x0=x1+x22,y0=y1+y22,∵x124+y12b2=1,x224+y22b2=1,∴两式相减,得:x12−x224+y12−y22b2=0,∴x1+x2x1−x24=−y1+y2y1−y2b2,∴2x04=−2y0b2×−1,∴x02=2y0b2,∵直线om的斜率为12,∴y0x0=12,∴b24=12,∵0<b<2,∴b=2.故选b.9二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)1.若一个椭圆的长轴长是短轴长的3倍,焦距为8,则这个椭圆的标准方程为______.【答案】x218+y22=1或y218+x22=1【解析】解:若椭圆的焦点在x轴,可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a></k<1,且k≠0.故选:d.2.设椭圆x24+y2=1的左焦点为f,p为椭圆上一点,其横坐标为3,则|pf|=(></k<1d.−1<k<0或0<k<1【答案】d【解析】【分析】曲线x21−k+y21+k=1表示椭圆,可得1−k>

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-08-25 20:25:26 页数:10
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文章作者:U-336598

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