四川省成都市龙泉一中高二数学上学期竞赛试题
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成都市龙泉第一中学校高二上数学竞赛考试时间:2022年10月28日16:15-17:45总分100分说明:(1-20题每小题3分,21-40题每小题2分).1、已知集合,,则=*答案:2、已知,则的值为*.答案:3、已知向量,,若向量与向量共线(R,且,则的值为*.答案:4、设是两个非空数集,定义集合,若,,则中元素的个数是*答案:85、如果,那么=*答案:6、已知倾斜角为的直线与直线平行,则的值为*答案:7、在中,内角所对边分别为,若,则是*答案:钝角三角形8、若圆有且仅有两个点到直线的距离等于1,则半径-10-的取值范围是*答案:(4,6)8、等比数列的前项和为,若,则等于*答案:1509、已知是函数图像上不同的两点,若的中点落在轴上,则的取值范围为*答案:10、已知,那么的值是*答案:0.511、已知函数,则=*答案:312、是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则的轨迹一定通过的*答案:重心13、对任意的恒成立,则的取值范围是*答案:14、已知直线,直线和坐标轴围成的四边形有外接圆,则的值等于答案:16、Giventhatthetoppointsofrectanglearerespectively.PointisamovingpointonsegmentBD,suppose,thentheexpressionofis.-10-答案:17、正方体中,二面角的度数是__*__.答案:6018、一个几何体的三视图如图1所示,则此几何体的全面积是*.答案:19、联想祖暅原理(夹在两个平行平面间的几何体,被平行于这两个平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积相等,那么这两个几何体的体积相等),请计算:由曲线和两直线所围成的平面几何图形的面积等于*答案:620、在等差数列则最大值是*.答案:21、定义运算,则函数的最大值为*答案:22、三棱锥的所有棱长均为,顶点在底面上的正投影为点,点在上,且使,则的长为*.-10-答案:23、已知函数,若,且,则的取值范围是*.答案:24、对于任意两个正数,定义运算“”如下:,其中为常数.已知,并且存在一个非零实数,使得对于任意实数都有,则的值为*.答案:325、直线过点P(1,3)且和两坐标轴围成的三角形的面积为6,则满足条件的直线有___条.答案:326、在中,角所对的边分别为.若,,过作的垂线,垂足为,设,则=*答案:27、已知是正数,且,则的最小值为*答案:2528、函数在区间上的值域是,则点所在轨迹的长度为*答案:29、在正方体中,过的直线与所成角都等于,则的取值范围为*答案:30、为数列前项和,若且对所有的()都有,则*答案:31、已知数列,,前n项部分和满足,则 。-10-答案:。32、方程的解集合为 。答案:。33、函数的值域为答案:34、长方体中,已知,,则对角线的取值范围是*答案:35、棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为,则的最大值为*_答案:36、在△ABC中,已知,过边AC上一点D作直线DE,与边AB或者BC相交于点E,使得,且DE将△ABC的面积两等分,则*答案:37、已知,且,则*答案:1038、在一个棱长为5的正方体封闭的盒内,有一个半径等于1的小球,若小球在盒内任意地运动,则小球达不到的空间的体积的大小等于*答案:39、定义在上的函数满足,当时,,则函数在上的零点个数是 .答案:60440、平面上三点,(,).若点满足,-10-且.则这样的三角形的个数为*答案:6高2022级高二上数学竞赛参考答案部分解析1-9、略10、,得,所以所以又11-14、略15、如图:情况一:两直线垂直;情况而:16、略17、略18、-10-直观图如图所示19、的长度始终为3,根据原理可得20、,所以,当时,有最大值21、如图22、可得,可知为等腰直角三角形,则,设,则23、易得则,由得24、略25、略-10-26、设,则,则,27、由平均值不等式及题设条件知,即,……当且仅当时取等号.这时由便得,…………又由条件和柯西不等式可得,……当且仅当时取等号,结合条件便知此时.由便得.当时,取最小值25.28、由图像可知:29、将移到,问题等价于过与成等角的直线,又成角。答案易得30、所以-10-31、,所以32、,只有取等号时相等。33、因为,令所以34、则35、如图:取该四面体两对对棱的中点,容易证明这四个点构成一个正方形,边长为,由于投影保持直线的平行关系不变,故正方形的投影图形要么为平行四边形(当光线不与面平行时),此时四面体的投影四边形的面积是面积的二倍(当四面体的投影是三角形时结论不变),要么是一条线段(当光线与面平行时)要使四面体投影面积最大,根据面积射影定理,只须投影光线与面垂直(即投影光线与异面直线的公垂线平行,最大投影面积为36、设,则-10-37、易知与均为负,则可以直接去掉绝对值号,讨论的正负即可38、12条棱对应的体积为,8个定点凑成一个立方体加一个内切圆,则体积为,所求体积为39、中,令,则得,函数是10为周期的周期函数又函数在上无零点,在上3个零点,所以有零点604个40、易知点是三角形的外心,第二个等式要求三角形是以为底边的等腰三角形,满足条件的三角形如图,共计6个-10-
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