四川省绵阳市2022届高三数学第三次诊断性考试试题 理

绵阳市高中2022级第三次诊断性考试数学（理）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。2.选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效j在草稿纸、试题卷上答题无效。3.考试结束后，将答题卡收回。第I卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R,集合A＝{x||x|≤1}，B={x|x≤1},则等于A.{x|x≤-1}B.{x|x<-1}C.{-1}D.{x|-1<x|≤1}2.设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q：.则下列命题为真命题的是abcd3.已知曲线的渐近线方程为，则该曲线的离心率为abcd4.函数f(x)=log2x+x的零点所在的一个区间是a(0,)b(,)c(,1)d(1,2)5.函数f(x)=x-sinx的大致图象可能是126.一个多面体的直观图和三视图如图所示，m是ab的中点，一只蜜蜂在该几何体内自由飞舞，则它飞入几何体f-amcd内的概率为abcd7.如图所示，在δabc中,d为bc的中点，bp丄da,垂足为p,且bp=2,则=a.2b.4c.8d.168.已知e为不等式组，表示区域内的一点，过点e的直线l与圆m:(x-1)2+y2=9相交于a,c两点，过点e与l垂直的直线交圆m于b、d两点，当ac取最小值时，四边形abcd的面积为a.b.c.d.129.如果正整数m的各位数字均不为4,且各位数字之和为6,则称m为“幸运数”，则四位正整数中的“幸运数”共有a.45个b.41个c.40个d.38个10.已知函数f1(x)=x2-2|x|，f2(x)=x+2,设；,若a，b∈[-2,4],且当x1,x2时，恒成立，则b-a的最大值为a.6b.4c.3d.2第ii卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若复数z满足z.i=1+2i(i为虚数单位)，则复数z=________12.执行如图所示的程序框图，则输出的s=______.1213.已知，则sinxcosx的值是______14.已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点，O、F分别为C的顶点和焦点，若，则k=______15.若数列{an}满足：对任意的nN*，只有有限个正整数m使得am<n成立，记这样的m的个数为,若将这些数从小到大排列，则得到一个新数列{}，我们把它叫做数列{an}的“星数列”.已知对于任意的nn*,an=n2给出下列结论:①数列{}*的“星数列”的前100之和为5050;②(a5)*=2;③数列的前n2项和为2n2-3n+1;④{an}的“星数列”的“星数列”的通项公式为＝n2以上结论正确的是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号）三、解答題：本大題共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小題满分12分）绵阳某汽车销售店以8万元a辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为10万元>0)的最小值;(II)若x>1时，函数y=f(x)的图象总在函数的图象的上方，求实数t的取值范围；(III)求证：绵阳市高2022级第三次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．BDACABCDBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2-i12．1113．14．15．②④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x万元/辆，年利润为y万元．则由题意得年销售量为100-2x，∴y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245．故当x=15时，y取最大值．此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．∴当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分（Ⅱ）由图表可知，利润为2万元的有1辆，2．5万元的有4辆，3万元的有5辆．∴P(X=0)=；12P(X=0．5)=；P(X=1)=．∴X的分布列为：X00．51P∴X的数学期望E(X)=×0+×0．5+×1=．∴X的数学期望为．………………………………………………………12分17．解：（Ⅰ）取AB的中点为O，连接OP，∵△PAB为等边三角形，∴PO⊥AB．①又平面PAB⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD．∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB．②∵AB与PO交于点O，由①②得：AD⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB．……………………………………………………6分（Ⅱ）以AB的中点O为原点，OB所在直线为x轴，过O平行于BC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2，AD=3，∴F(1，1，0)，A(-1，0，0)，P(0，0，)，D(-1，3，0)．∴=(2，-2，0)，=(1，0，)，=(0，3，0)，CDPFABz可求得平面ADP的法向量n=(，0，-1)，若直线DF与平面PAD的所成角为θ，则sinθ=|cos<n，>|=，又由图形可知，θ为锐角，∴cosθ=．12∴直线DF与平面PAD的所成角的余弦值为．…………………………12分18．解：（Ⅰ）由图知：，解得ω=2．∵，∴，即．由，得．∴．∴，即函数y=g(x)的解析式为g(x)=．………………………………6分（Ⅱ）∵2sin2=，∴1-cos(A+B)=1+sin(2C+)，∵cos(A+B)=-cosC，sin(2C+)=cos2C，于是上式变为cosC=cos2C，即cosC=2cos2C-1，整理得2cos2C-cosC-1=0，解得cosC=或1（舍），∴C=．由正弦定理得：=2R=4，解得c=2，12于是由余弦定理得：cosC==，∴a2+b2=12-ab≥2ab，∴ab≤4(当且仅当a=b时等号成立)．∴S△ABC=absinC=ab≤．∴△ABC的面积的最大值为．………………………………………12分19．解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，∵S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d)+8，化简得：4d=8，解得d=2．……………………………………………………………………3分（Ⅱ）由a1=1，d=2，得an=2n-1，∴=．∴Tn===≥，又∵不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立，∴≥，化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．∴m的最大正整数值为6．……………………………………………………8分（Ⅲ）由d=2，得an=a1+2n-2，又∵=1+=，又函数在和上分别是单调减函数，且时y<1；时y>1．12∵对任意的n∈N*，都有bn≤b4成立，∴3<<4，解得-6<a1<-4，即a1的取值范围为(-6，-4)．……………………………12分20．解：（ⅰ）由题可得：e=．∵以原点为圆心，椭圆c的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切，∴=b，解得b=1．再由a2=b2+c2，可解得：a=2．∴椭圆的标准方程为．……………………………………………5分（ⅱ）当直线的斜率为0时，=-4[，]，不成立；∵直线的斜率不为0，设p(x1，y1)(y1>0)，Q(x2，y2)(y2<0)，直线的方程可设为：x=my+1，代入椭圆方程得：(m2+4)y2+2my-3=0∴y1+y2=，y1y2=，而x1x2=(my1+1)(my2+1)=，∴=x1x2+y1y2=，即≤≤，解得≤m2≤1；∵；；又∵，∴12，∴当≤m2≤1时，解得≤t≤．…………………………………13分21．解：（Ⅰ）∵=，∴当2x-1>0，即x>时，>0，于是f (x)在上单调递增；∴当2x-1<0，即x<时，<0，于是 (x)在上单调递减．∵m>0，∴m+2>2．①m≤≤m+2，即0<m≤时，f>时，f (x)在[m，m+2]上单调递增，∴f (x)min=f (m)=；∴综上所述：当0<m≤时，f>时，f (x)min=．……………………………………………………………………4分（Ⅱ）构造F(x)=f (x)-g(x)(x>1)，则由题意得F(x)=(x>1)，==(x>1)，12①当t≤e2时，e2x-t≥0成立，则x>1时，≥0，即F(x)在上单增，∴F(1)=e2-2t≥0，即t≤，故t≤．②当t>e2时，=0得x=或lnt．∴F(x)在(1，lnt)上单减，在(lnt，+)上单增，∴F(x)min=F(lnt)=-2tln(lnt)-t<0．∴不成立．∴综上所述：t≤．………………………………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当x>0时，≥2e，∴≤(x>0)，∴≤．∴≤<==12<．………………………………………………………………14分12</m≤时，f></m≤时，f></a1<-4，即a1的取值范围为(-6，-4)．……………………………12分20．解：（ⅰ）由题可得：e=．∵以原点为圆心，椭圆c的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切，∴=b，解得b=1．再由a2=b2+c2，可解得：a=2．∴椭圆的标准方程为．……………………………………………5分（ⅱ）当直线的斜率为0时，=-4[，]，不成立；∵直线的斜率不为0，设p(x1，y1)(y1></n，></n成立，记这样的m的个数为,若将这些数从小到大排列，则得到一个新数列{}，我们把它叫做数列{an}的“星数列”.已知对于任意的nn*,an=n2给出下列结论:①数列{}*的“星数列”的前100之和为5050;②(a5)*=2;③数列的前n2项和为2n2-3n+1;④{an}的“星数列”的“星数列”的通项公式为＝n2以上结论正确的是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号）三、解答題：本大題共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小題满分12分）绵阳某汽车销售店以8万元a辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得出，当售价定为10万元></x|≤1}2.设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q：.则下列命题为真命题的是abcd3.已知曲线的渐近线方程为，则该曲线的离心率为abcd4.函数f(x)=log2x+x的零点所在的一个区间是a(0,)b(,)c(,1)d(1,2)5.函数f(x)=x-sinx的大致图象可能是126.一个多面体的直观图和三视图如图所示，m是ab的中点，一只蜜蜂在该几何体内自由飞舞，则它飞入几何体f-amcd内的概率为abcd7.如图所示，在δabc中,d为bc的中点，bp丄da,垂足为p,且bp=2,则=a.2b.4c.8d.168.已知e为不等式组，表示区域内的一点，过点e的直线l与圆m:(x-1)2+y2=9相交于a,c两点，过点e与l垂直的直线交圆m于b、d两点，当ac取最小值时，四边形abcd的面积为a.b.c.d.129.如果正整数m的各位数字均不为4,且各位数字之和为6,则称m为“幸运数”，则四位正整数中的“幸运数”共有a.45个b.41个c.40个d.38个10.已知函数f1(x)=x2-2|x|，f2(x)=x+2,设；,若a，b∈[-2,4],且当x1,x2时，恒成立，则b-a的最大值为a.6b.4c.3d.2第ii卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若复数z满足z.i=1+2i(i为虚数单位)，则复数z=________12.执行如图所示的程序框图，则输出的s=______.1213.已知，则sinxcosx的值是______14.已知直线y=k(x+1)(k>