四川省达州市大竹县文星中学2022届高三数学下学期开学调研考试试题 理
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四川省达州市大竹县文星中学2022届高三数学下学期开学调研考试试题理第I卷(选择题)一、选择题:共12题每题5分共60分1.设全集,集合,,则的值为A.2或-8B.-8或-2C.-2或8D.2或8【答案】D【解析】本题考查集合的运算。由题意知:,解得。选D。2.已知是虚数单位,则=A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查复数的四则运算。=。选B。3.命题“对任意都有”的否定是A.对任意,都有B.不存在,使得C.存在,使得D.存在,使得【答案】D【解析】本题考查本题考查全称量词与存在量词。根据全称命题的否定是特称命题,所以命题“对任意都有”的否定是:存在x0∈R,使得x02<1.所以选D.4.函数的图象大致为【答案】A【解析】本题考查三角函数的图像和奇函数的图像性质。首先由为奇函数,得13\n的图象关于原点对称,排除C、D,又由时,知,所以选A.5.定义在上的奇函数满足,当时,,则在区间内是A.减函数且B.减函数且C.增函数且D.增函数且【答案】B【解析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性。由函数是奇函数,有f-x=-fx,又fx满足fx+1=f-x,所以有fx+1=-fx,由此可知函数的周期为2,根据复合函数判断可知函数fx=log121-x在0,12上单调递增,利用函数和周期性可知B正确.6.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=A.-4B.-3C.-2D.-1【答案】B【解析】本题考查平面向量的数量积。由题意得:,即,解得;选B。7.已知实数x,y满足约束条件,则z=x+3y的最大值等于A.9B.12C.27D.36【答案】B【解析】本题主要考查线性规划问题.作出约束条件所表示的可行域如图,由图可知,目标函数在点y=x与2x+y-9=0的交点即A处取到最大值,解得A3,3,代入目标函数可得z=3+3×3=12.故选B。13\n8.已知两条直线l1:y=m和l2:y=4m+1(m>0,m≠17-12),与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点,与函数的图象从左至右相交于点.记线段和在轴上的投影长度分别为,当变化时,的最小值为A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查函数的图像与性质。令A,B,C,D各点的横坐标分别为,可得:,,,;即,,,;所以,;所以,当m=1时,等号成立;所以的最小值为8。选B。9.已知某四棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该四棱锥的体积是A.B.C.D.13\n【答案】C【解析】本题考查的知识点为三视图求面积、体积.由已知中的三视图可得该几何体是一个以正视图为底的四棱锥,故本题正确答案是C10.阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的S的值是A.21B.39C.81D.102【答案】D【解析】本题考查流程图。循环1次,s=3,n=2;循环2次,s=21,n=3;循环3次,s=102,n=4,此时不满足条件,结束循环,输出102.选D。11.设,则A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查指数与对数的比较大小。,,,所以;选B。12.下列说法正确的是A.若,则13\nB.函数的零点落在区间内C.函数的最小值为2D.若,则直线与直线互相平行【答案】B【解析】本题考查命题的真假。若a=1,b=-1,不等式不成立,排除A;,而且函数在区间内单增,所以在区间内存在唯一零点,B正确;令x=-1,则,不满足题意,C错;若,则直线重合,D错;所以选B。第II卷(非选择题)二、填空题:共4题每题4分共16分13.已知集合A={x|0<x<3},B={x|x-1<0},则A∩B= .【答案】(1,3).【解析】本题考查交集及其运算;B={x|x-4x-1<0}=(1,4),A∩B=.14.已知函数的最大值为1,则 .【答案】【解析】本题考查三角函数的性质与三角变换。=;又因为函数的最大值为1,所以,解得。15.已知向量与向量的夹角为,若且,则在上的投影为 【答案】-33+18【解析】本题主要考查平面向量的运算.因为向量与向量的夹角为,所以在上的投影为,问题转化为求,因为故13\n所以在上的投影为.16.下图展示了一个由区间到实数集的映射过程:区间中的实数对应数轴上的点,如图1;将线段围成一个圆,使两端点恰好重合。点从点按逆时针方向运动到点,如图2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在轴上,点的坐标为,如图3.图3中直线与轴交于,则的象就是,记作。下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)①;②在定义域上单调递增;③方程的解是;④是奇函数;⑤的图象关于点对称.【答案】②③⑤【解析】本题考查函数的图像与性质。如图,因为M在以为圆心,为半径的圆上运动。①当时,M的坐标为,直线AM方程y=x+1,所以点N的坐标为(-1,0),故f()=-1,故①错误;②由图3可以看出,m由0增大到1时,M由A运动到B,此时N由x的负半轴向正半轴运动,由此知,N点的横坐标逐渐变大,故f(x)在定义域上单调递增,②正确;③由②在定义域上单调递增可得:当M运动到AB的中点,即有直线AM:x=0,所以方程的解是,③正确;④函数定义在区间(0,1)上,所以函数非奇非偶,④错误;⑤由图3可以看出,当M点的位置离中间位置相等时,N点关于Y轴对称,即此时函数值互为相反数,故可知f(x)的图象关于点 对称,⑤正确。综上知,②③⑤正确。13\n三、解答题:共6题每题12分共74分17.(12分)在中,内角对边的边长分别是.已知.(Ⅰ)若的面积等于,试判断的形状,并说明理由;(Ⅱ)若sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求的面积.【答案】(Ⅰ)为等边三角形,理由为:,∴由余弦定理得:,即①,∵的面积等于②,∴,即ab=4,联立①②解得:a=b=2,则△ABC为等边三角形;(Ⅱ)由sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,变形得:sin(B+A)+sin(B﹣A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,若cosA=0,即A=,由c=2,C=,得b=,此时面积;若,可得sinB=2sinA,由正弦定理得:b=2a③,联立①③得:,此时△ABC面积为.【解析】本题考查的知识点为正弦定理.(Ⅰ)△ABC为等边三角形,理由为:利用余弦定理列出关系式,把c,cosC的值代入得到关系式,再由△ABC的面积等于,利用三角形面积公式列出关系式,两式联立求出a与b的值,即可对于△ABC的形状做出判断;(Ⅱ)已知等式利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简,再利用和差化积公式变形,由cosA为0与cosA不为0两种情况,分别求出三角形ABC面积即可.18.(12分)已知数列满足.13\n(Ⅰ)证明数列是等差数列;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)设,求数列的前项和.【答案】解:(Ⅰ)由已知可得,所以,即,又因为,所以.所以数列是首项为2,公差为1的等差数列.(Ⅱ)由第(Ⅰ)问可知,所以.(Ⅲ)由第(Ⅱ)问可知,,所以 , ①①得 ②②—①得 =.【解析】本题主要考查数列的递推公式,等差数列的概念、通项公式,等比数列的求和公式以及利用错位相减法对数列求和.19.(13分)如图,四边形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,EA∥PD,AD=PD=2EA,F,G,H分别为PB,EB,PC的中点。(1)求证:FG∥平面PED;(2)求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.【答案】(1)证明:因为F,G分别为PB,EB的中点,所以FG∥PE.13\n又平面,PE平面PED,所以FG∥平面PED(2)因为EA⊥平面ABCD,EA∥PD,所以PD⊥平面ABCD因为AD,CD在平面ABCD内,所以PD⊥AD,PD⊥CD. 四边形ABCD是正方形,所以AD⊥CD。以D为原点,分别以直线DA,DC,DP为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设EA=1。因为AD=PD=2EA,,,,,,,,.因为F,G,H分别为PB,EB,PC的中点,,,,,(解法一)设为平面的一个法向量,则,即,令,得.设为平面的一个法向量,则,即,令,得.所以==.所以平面与平面所成锐二面角的大小为(或)(解法二),,是平面一个法向量.,,13\n是平面平面一个法向量.平面与平面所成锐二面角的大小为(或).(解法三)延长到使得连,EA∥,四边形是平行四边形,PQ∥AD四边形是正方形,所以BC∥AD,PQ∥BC.因为F,H分别为,的中点,所以FH∥BC,FH∥PQ.因为FH平面PED,平面,∥平面PED.平面平面FGH∥平面故平面与平面所成锐二面角与二面角相等.平面平面平面是二面角的平面角.平面与平面所成锐二面角的大小为(或).【解析】本题考查线面平行,空间角问题。20.(10分)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率;(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.【答案】 (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则13\nP(A)===,P(B)===.(2)解法1:因为事件A、B相互独立,所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(·)=P()·P()=×=.所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P(·)=1-=.答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.解法2:因为事件A、B相互独立,所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=P(A·)+P(·B)+P(A·B)=P(A)·P()+P()·P(B)+P(A)·P(B)=×+×+×=.21.(13分)抛物线:(),焦点为,直线 交抛物线于、两点,是线段的中点,过作轴的垂线交抛物线于点.(1)若抛物线上有一点到焦点的距离为,求此时的值;(2)是否存在实数,使是以为直角顶点的直角三角形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)抛物线的焦点。,得。(或利用得,或(舍去))13\n(2)联立方程,消去得,设,则(),是线段的中点,,即,,得,若存在实数,使是以为直角顶点的直角三角形,则,即,结合()化简得,即,或(舍去),存在实数,使是以为直角顶点的直角三角形。【解析】本题考查抛物线的性质,直线与圆锥曲线的位置关系。22.(14分)定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b),(1)求证:f(0)=1;(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;(3)证明:f(x)是R上的增函数;(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围。【答案】(1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1。(2)令a=x,b=-x 则f(0)=f(x)f(-x) ∴当x>0时,f(x)>1>0;当x<0时,-x>0,f(-x)>0。∴,又x=0时,f(0)=1>0 ∴对任意x∈R,f(x)>0。13\n(3)任取x2>x1,则f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0∴∴,∴f(x)在R上是增函数(4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0),f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得:x-x2>0∴0<x<3。【解析】本题考查抽象函数的性质。13
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