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安徽省宿松县凉亭中学2022届高三数学上学期期中试题文

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安徽省宿松县凉亭中学2022-2022学年高三上学期期中考试数学试卷(文)第Ⅰ卷(选择题共共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=R,集合A={x|y=},B={y|y=},则=()A.[-1,0]B.(-1,0)C.D.2.已知函数,则=()A.B.C.D.3.下列命题中,真命题是()A.对于任意x∈R,;B.若“p且q”为假命题,则p,q均为假命题;C.“平面向量的夹角是钝角”的充分不必要条件是“”;D.存在m∈R,使是幂函数,且在上是递减的.4.设等比数列的前n项和为,若,则公比q=()A.1或-1B.1C.-1D.5.已知实数x,y满足约束条件,则的最大值为()A.B.C.D.6.设向量,其中,若,则=()A.B.C.D.7.设,若,则的最小值为()A.B.6C.D.8.中内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,若,-17-\n则角A=()A.B.C.D.9.已知在处的极值为10,则()A.0或-7B.-7C.0D.710.已知函数,则函数的大致图像为()11.在平面直角坐标系xoy中,圆C的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则实数k的取值范围是()A.B.C.D.12.已知函数,若函数有且只有一个零点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.13.已知,则的值为________.14..某空间几何体的三视图如图所示,则这个空间几何体的表面积是________.15.已知双曲线C:的离心率为,AB为左、右顶点,点P-17-\n为双曲线C在第一象限的任意一点,点O为坐标原点,若直线PA,PB,PO的斜率分别为,记,则m的取值范围为________.16.设集合为平面直角坐标系xoy内的点集,若对于任意,存在,使得,则称点集M满足性质P.给出下列四个点集:①②③④其中所有满足性质P的点集的序号是______.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..17.已知函数,若函数的图像与直线(a为常数)相切,并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.(1)求的表达式及a的值;(2)将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数,求其单调增区间.18.(本小题满分12分)已知正项数列中,其前n项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,,求19.(本小题满分12分)在如图所示的多面体PMBCA中,平面PAC平面ABC,PAC是边长为2的正三角形,PM//BC,且,.(1)求证:PABC;(2)若多面体PMBCA的体积为,求PM的长.-17-\n20.(本小题满分12分)设函数.(1)求函数的单调区间;(2)若,k为整数,为的导函数,且当时,,求k的最大值.21.(本小题满分12分)如图,抛物线4x的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆的长半轴相等,设椭圆的右顶点为A,在第一象限的交点为B,O为坐标原点,且△OAB的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过A点作直线交于C、D两点,射线OC、OD分别交于E、F两点,记△OEF,△OCD的面积分别为,问是否存在直线,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分10分)已知函数.(1)解不等式;-17-\n(2)若a>0,求证:.参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=R,集合A={x|y=},B={y|y=},则=()A.[-1,0]B.(-1,0)C.D.【知识点】函数的定义域;函数的值域;集合运算.【答案】【解析】C解析:A=(-1,1),B=,故=,所以选C.【思路点拨】先化简集合A、B,再由补集、交集的意义求得结论.2.已知函数,则=()A.B.C.D.【知识点】分段函数的函数值.【答案】【解析】C解析:∵,∴=,故选C.【思路点拨】先分析在哪两个整数之间,利用x≥1时的条件,把其变换到x<1的情况,再用x<1时的表达式求解.3.下列命题中,真命题是()A.对于任意x∈R,;B.若“p且q”为假命题,则p,q均为假命题;C.“平面向量的夹角是钝角”的充分不必要条件是“”;D.存在m∈R,使是幂函数,且在上是递减的.【知识点】充分条件;必要条件;基本逻辑联结词及量词.【答案】【解析】D解析:x=2时不成立,所以A是假命题;若“p且q”为假命题,则p,q可以一真一假,所以B是假命题;因为时,向量可能共线反向,即-17-\n夹角是180°,不是钝角,所以C是假命题;而当m=2时,是幂函数,且在上是递减的,所以D成立.故选D.【思路点拨】逐个分析每个命题的真假.4.设等比数列的前n项和为,若,则公比q=()A.1或-1B.1C.-1D.【知识点】等比数列及其前n项和.【答案】【解析】A解析:当q=1时,成立;当q≠1时,,综上得q=1或-1,故选A.【思路点拨】分q=1与q≠1两种情况讨论求解.5.已知实数x,y满足约束条件,则的最大值为()A.B.C.D.【知识点】线性规划的应用.【答案】【解析】B解析:因为,所以要求z的最大值,只需求的最小值,画出可行域可得,使取得最小值的最优解为A(,2),代入得所求为,故选B.【思路点拨】把目标函数化为,则只需求可行域中的点(x,y)与点(-1,-1)确定的直线的斜率的最小值即可.6.设向量,其中,若,则=()A.B.C.D.【知识点】向量数量积的坐标运算;已知三角函数值求角.【答案】【解析】D解析:因为,-17-\n所以,又因为,所以因为,所以=,故选D.【思路点拨】利用向量的模与向量数量积的关系,转化为数量积运算,从而得,再由得结论.7.设,若,则的最小值为()A.B.6C.D.【知识点】基本不等式【答案】【解析】A解析:由题可知故选A.【思路点拨】根据不等式成立的条件,可凑出应用基本不等式的条件,最后找出结果.8.中内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,若,则角A=()A.B.C.D.【知识点】正弦定理;余弦定理【答案】【解析】A解析:由已知条件可知,再由余弦定理可知,【思路点拨】由正弦定理可得到角与边的关系,再根据余弦定理可求出角的余弦值.9.已知在处的极值为10,则()A.0或-7B.-7C.0D.7【知识点】利用导数研究函数的极值【答案】【解析】B解析:=3x2+2ax+b,由题意得,=3+2a+b=0①,f(1)=1+a+b+a2=10②,-17-\n联立①②解得或,当a=﹣3,b=3时,=3x2﹣6x+3=3(x﹣1)2,x<1或x>1时,>0,所以x=1不为极值点,不合题意;经检验,a=4,b=﹣11符合题意,所以故答案为:B【思路点拨】求出导函数,令导函数在1处的值为0;f(x)在1处的值为10,列出方程组求出a,b的值,注意检验.10.已知函数,则函数的大致图像为()【知识点】函数的图象与性质【答案】【解析】A解析:由函数的奇偶性可知函数为非奇非偶函数,所以排除B,C,再令,说明当x为负值时,有小于零的函数值,所以排除D.【思路点拨】根据函数的性质排除不正确的选项,现由特殊值判定函数的情况,最后可得解.11.在平面直角坐标系xoy中,圆C的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则实数k的取值范围是()A.B.C.D.【知识点】直线和圆的方程的应用【答案】【解析】C解析:将圆C的方程整理为标准方程得:(x﹣4)2+y2=1,∴圆心C(4,0),半径r=1,∵直线y=kx﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,∴只需圆C′:(x﹣4)2+y2=4与y=kx﹣2有公共点,∵圆心(4,0)到直线y=kx﹣2的距离d=≤2,解得:0≤k≤.故答案为:[0,].-17-\n【思路点拨】将圆C的方程整理为标准形式,找出圆心C的坐标与半径r,根据直线y=kx﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,得到以C为圆心,2为半径的圆与直线y=kx﹣2有公共点,即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2,利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围.12.已知函数,若函数有且只有一个零点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【知识点】函数与方程【答案】【解析】B解析:由题可知有一个根,即,所以可变为与只有一个交点的问题,由两个函数的图象可知,所以选B.【思路点拨】函数与方程的问题,也是数形结合的问题,根据函数的图象关系可求出结果.【题文】第Ⅱ卷(非选择题共90分)【题文】二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.13.已知,则的值为________.【知识点】诱导公式;二倍角公式【答案】【解析】解析:【思路点拨】用已知角表示未知角,再结合二倍角公式即可。14..某空间几何体的三视图如图所示,则这个空间几何体的表面积是________.【知识点】由三视图求面积、体积.-17-\n【答案】【解析】解析:由三视图可知,该几何体为上部为半径为的球,下部为半径为1,高为2的半个圆柱,几何体的表面积为等于球的表面积:4π×=π,半圆柱的底面面积为2××=,半圆柱的侧面积为2×(2+)=4+2.几何体的表面积为:.故答案为:.【思路点拨】由三视图可知,该几何体为上部为半径为的球,下部为半径为1,高为2的半个圆柱,利用相关的面积公式求解即可解答.15.已知双曲线C:的离心率为,AB为左、右顶点,点P为双曲线C在第一象限的任意一点,点O为坐标原点,若直线PA,PB,PO的斜率分别为,记,则m的取值范围为________.【知识点】双曲线的简单性质.【答案】【解析】解析:∵双曲线C:的离心率为,∴∴,设P,∵点P为双曲线C在第一象限的任意一点,∴,即,∵AB为左、右顶点,点O为坐标原点,若直线PA,PB,PO的斜率分别为,∴,又∵双曲线渐近线为,∴,∴0<<,故答案为.【思路点拨】由已知条件推导出,,,由此能求出的取值范围.16.设集合为平面直角坐标系xoy内的点集,若对于任意,存在,使得,则称点集M满足性质P.给出下列四个点集:-17-\n①②③④其中所有满足性质P的点集的序号是______.【知识点】命题的真假判断与应用.A2【答案】【解析】③④解析:对于①,;,定义域是R,对于任意,不存在,使得,①不满足点集M满足性质P.对于②,;的定义域,对于任意,不妨取(1,0),不存在,使得,②不满足点集M满足性质P.对于③,.图形是圆,对于任意,存在,x2与x1符号相反,即可使得,③满足点集M满足性质P.对于④,.图形是双曲线,对于任意,存在,x2与x1符号相反,即可使得,④满足点集M满足性质P.正确判断为③④.【思路点拨】分析性质P的含义,说明数量积小于0,向量的夹角是钝角,推出结果即可.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..17.已知函数,若函数的图像与直线(a为常数)相切,并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.(1)求的表达式及a的值;(2)将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数,求其单调增区间.【知识点】三角函数的化简求值三角函数的图象与性质【答案】【解析】(1)(2)解析-17-\n:(1)由题意得,由解析式可知函数的最小正周期为(2)将函数的图象向左平移个单位,得到,再向上平移1个单位,得到,即由,整理得,所以函数的单调增区间是【思路点拨】把式子化成一个三角函数的形式,即可求出最小正周期,再根据图象的平移可求出函数的单调区间.18.(本小题满分12分)已知正项数列中,其前n项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,,求【知识点】数列的求和;数列递推式【答案】【解析】(1)an=2n﹣1(2)解析:(1)由题设条件知4Sn=(an+1)2,得4Sn+1=(an+1+1)2,两者作差,得4an+1=(an+1+1)2﹣(an+1)2.整理得(an+1﹣1)2=(an+1)2.又数列{an}各项均为正数,所以an+1﹣1=an+1,即an+1=an+2,故数列{an}是等差数列,公差为2,又4S1=4a1=(a1+1)2,解得a1=1,故有an=2n﹣1(2)由(1)可得∴Tn=【思路点拨】(1)由4Sn=(an+1)2,得4Sn+1=(an+1+1)2,两者作差,研究{an}的相邻项的关系,由此关系求其通项即可.(2)由(1)可,裂项求和即可.19.(本小题满分12分)在如图所示的多面体PMBCA中,平面PAC平面ABC,PAC是边长为2的正三角-17-\n形,PM//BC,且,.(1)求证:PABC;(2)若多面体PMBCA的体积为,求PM的长.【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【答案】【解析】(1)见解析;(2)2解析:(1)∵,,,∴,∴⊥∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∴BC⊥平面PAC,∵PA⊂平面PAC,∴BC⊥PA.……………………6分(2)过点A作AD⊥PC垂足为D,设PM的长为x,由(1)知,BC⊥平面PAC,∴BC⊥AD,,∵BCPC=C,∴AD⊥平面BCPM,∴AD为多面体PMBCA的高,且AD=……………………8分又PM//BC,且,∴四边形BCPM是上下底分别为x,4,高为2的直角梯形,∴多面体PMBCA的体积为,解得,即PM的长为2.……………………12分【思路点拨】(1)先证明AC⊥BC,再利用平面PAC⊥平面ABC,证明BC⊥平面PAC,即可证明PA⊥BC;(2)作AD⊥PC于点D,证明AD⊥平面BCPM,求出四边形BCPM的面积,再根据多面体PMBCA的体积求出PM的长即可.20.(本小题满分12分)设函数.(1)求函数的单调区间;(2)若,k为整数,为的导函数,且当时,-17-\n,求k的最大值.【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【答案】【解析】(1)f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增;(2)2解析:(1)函数f(x)=ex﹣ax﹣2的定义域是R,f′(x)=ex﹣a,若a≤0,则f′(x)=ex﹣a≥0,所以函数f(x)=ex﹣ax﹣2在(﹣∞,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)=ex﹣a<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)=ex﹣a>0;所以,f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.(2)由于a=1,所以,(x﹣k)f´(x)+x+1=(x﹣k)(ex﹣1)+x+1故当x>0时,(x﹣k)f´(x)+x+1>0等价于k<(x>0)①令g(x)=,则g′(x)=由(I)知,函数h(x)=ex﹣x﹣2在(0,+∞)上单调递增,而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)=ex﹣x﹣2在(0,+∞)上存在唯一的零点,故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为α,则有α∈(1,2)当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0;所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g′(α)=0,可得eα=α+2所以g(α)=α+1∈(2,3)由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2【思路点拨】(1)求函数的单调区间,可先求出函数的导数,由于函数中含有字母a,故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性,给出单调区间;(2)由题设条件结合(I),将不等式,(x﹣k)f´(x)+x+1>0在x>0时成立转化为k<(x>0)成立,由此问题转化为求g(x)=在x>0上的最小值问题,求导,确定出函数的最小值,即可得出k的最大值.21.(本小题满分12分)如图,抛物线4x的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆的长半轴相等,设椭圆的右顶点为A,在第一象限的交点为B,O为坐标原点,且△OAB的面积为.(1)求椭圆的标准方程;-17-\n(2)过A点作直线交于C、D两点,射线OC、OD分别交于E、F两点,记△OEF,△OCD的面积分别为,问是否存在直线,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.【知识点】待定系数法求椭圆的方程;直线与圆锥曲线.【答案】【解析】(1);(2)存在直线或x-y-2=0,使得,理由:见解析.解析:(1)因为,所以焦准距p=2,由抛物线与椭圆的长半轴相等知a=2,-------1分因为,所以,代入抛物线方程得,--3分又B点在椭圆上,代入椭圆方程,解得,故椭圆的标准方程是:--------5分(2)因为直线不垂直于y轴,故直线的方程可设为x=my+2,由得.设,故.-----7分.--------8分又直线OC的斜率为,故直线OC的方程为:x=,-17-\n由得,同理.所以,--------11分又,解得,故存在直线或x-y-2=0,使得.-----12分【思路点拨】(1)易得a=2,再由△OAB的面积及点B在抛物线上,得点B坐标,把点B坐标代入椭圆方程求得b值即可;(2)由于直线不垂y轴,故直线的方程可设为x=my+2,代入抛物线方程得,由韦达定理得C、D纵坐标关于m的等式;再用C、D纵坐标表示E、F的纵坐标,最后用C、D、E、F的纵坐标表示,从而得关于m的方程,求得m值.22.(本小题满分10分)已知函数.(1)解不等式;(2)若a>0,求证:.【知识点】绝对值不等式的解法;绝对值不等式性质的应用【答案】【解析】(1);(2)证明:见解析.解析:(1)由题意,得,因此只须解不等式------------2分当x≤1时,原不式等价于-2x+3≤2,即;当时,原不式等价于1≤2,即;-17-\n当x>2时,原不式等价于2x-3≤2,即.综上,原不等式的解集为.-------5分(2)由题.当a>0时,=---------10分【思路点拨】(1)分段讨论解含绝对值的不等式;(2)利用绝对值不等式的性质:证明结论.-17-

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-08-25 20:31:23 页数:17
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文章作者:U-336598

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