安徽省池州市东至县大渡口中学高一数学上学期期中试卷含解析

2022-2022学年安徽省池州市东至县大渡口中学高一（上）期中数学试卷一．选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1．已知A={0，1，2，3，4}，B={1，3，5}，则A∩B为()A．{0，2}B．{1，3}C．{0，1，3}D．{2}2．集合A={﹣1，1}，则集合A的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个3．在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的有()①f（x）=x﹣1，g（x）=②f（x）=1，g（x）=（x+1）0③f（x）=|x|，g（x）=④f（x）=，g（x）=．A．0个B．1个C．3个D．4个4．函数y=log2|x|的图象特点为()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称5．已知a=0.52b=log30.5c=2.80.5则a、b、c的大小关系是()A．c＞a＞bB．a＞b＞cC．b＞a＞cD．c＞b＞a6．设M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是()-15-\nA．B．C．D．7．若a＞0，a≠1，则函数y=ax﹣1的图象一定过点()A．（0，1）B．（1，1）C．（1，0）D．（0，﹣1）8．已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=m则f（5）+f（﹣5）的值为()A．4B．0C．2mD．﹣m+49．函数f（x）=loga（4﹣ax）在区间上是减函数，则实数a的取值范围是()A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．（2，+∞）10．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是()A．（0，1）B．C．D．二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）11．已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（5）=__________．12．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=__________．13．设奇函数f（x）的定义域为，若当x∈时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是__________．-15-\n14．函数的值域为__________．15．函数的最小值为__________．三、解答题16．已知集合A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，2﹣a，a2+4a﹣2}，A∩B={3，7}，求a的值及集合A∪B．17．（1）计算：；（2）解方程：．18．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，且A∪B=A，求m的取值范围．19．已知函数．（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．20．设函数f（x）=x2﹣2x+3（x∈）的最小值为g（t），求g（t）的表达式．21．若f（x）是定义在R上的减函数，且对任意的a、b∈R满足：f（a+b）=f（a）+f（b）．且f（﹣2）=12-15-\n（1）判断f（x）的奇偶性；（2）若f（k﹣2）＜f（2k）﹣6，求实数k的取值范围．-15-\n2022-2022学年安徽省池州市东至县大渡口中学高一（上）期中数学试卷一．选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1．已知A={0，1，2，3，4}，B={1，3，5}，则A∩B为()A．{0，2}B．{1，3}C．{0，1，3}D．{2}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，分析集合A与B的全部元素，由交集的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，集合A={0，1，2，3，4}，B={1，3，5}，则A∩B={1，3}；故选B．【点评】本题考查集合交集的计算，关键是理解交集的含义．2．集合A={﹣1，1}，则集合A的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个【考点】子集与真子集．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】解法1：根据集合和子集的定义把集合的子集列举出来，即可得到个数；解法2：根据集合子集的公式2n（其中n为集合的元素），求出集合的子集个数．【解答】解：解法1：∵集合A={﹣1，1}，∴集合的子集有：∅，{﹣1}，{1}，{﹣1，1}，∴集合A的子集共有4个；解法2：∵集合A={﹣1，1}，∴集合中有2个元素，∴集合A的子集共有22=4个．故选：B．【点评】本题考查的知识点是计算集合子集的个数，n元集合有2n个子集，有2n﹣1个非空子集，有2n﹣1个真子集．有2n个非空真子集是解答本题的关键．属于基础题．-15-\n3．在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的有()①f（x）=x﹣1，g（x）=②f（x）=1，g（x）=（x+1）0③f（x）=|x|，g（x）=④f（x）=，g（x）=．A．0个B．1个C．3个D．4个【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】常规题型．【分析】分别计算每组选项中两个函数的定义域、值域，再看对应法则，三者都相同时才是同一个函数【解答】解：对于①：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域为{x|x≠﹣1}，定义域不同∴①不是同一个函数对于②：f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠﹣1}，定义域不同∴②不是同一个函数对于③：定义域都是R，值域都是A．B．C．D．【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】可用排除法根据函数定义域、值域以及函数概念进行逐一验证可得答案．【解答】解：A项定义域为，D项值域不是，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符．故选B．【点评】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．7．若a＞0，a≠1，则函数y=ax﹣1的图象一定过点()-15-\nA．（0，1）B．（1，1）C．（1，0）D．（0，﹣1）【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】令令x﹣1=0求出x的值，代入解析式求出定点的坐标．【解答】解：令x﹣1=0得，x=1，代入数y=ax﹣1=1，∴函数y=ax﹣1的图象一定过点（1，1），故选B．【点评】本题考查了指数函数的图象过定点（0，1）的应用，令指数为零求解即可，是基础题．8．已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=m则f（5）+f（﹣5）的值为()A．4B．0C．2mD．﹣m+4【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由题意设g（x）=ax7﹣bx5+cx3，则得到g（﹣x）=﹣g（x），即g（5）+g（﹣5）=0，求出f（5）+f（﹣5）的值．【解答】解：设g（x）=ax7﹣bx5+cx3，则g（﹣x）=﹣ax7+bx5﹣cx3=﹣g（x），∴g（5）=﹣g（﹣5），即g（5）+g（﹣5）=0∴f（5）+f（﹣5）=g（5）+g（﹣5）+4=4，故选A．【点评】本题考查了利用函数的奇偶性求值，根据函数解析式构造函数，再由函数的奇偶性对应的关系式求值．9．函数f（x）=loga（4﹣ax）在区间上是减函数，则实数a的取值范围是()A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．（2，+∞）【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先将函数f（x）=loga（4﹣ax）转化为y=logat，t=4﹣ax两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．【解答】解：令y=logat，t=4﹣ax，-15-\n①若0＜a＜1，则函y=logat，是减函数，由题设知t=4﹣ax为增函数，需a＜0，故此时无解．（2）若a＞1，则函数y=logat是增函数，则t为减函数，需a＞0，且4﹣a×2＞0，可解得1＜a＜2，综上可得实数a的取值范围是（1，2）．故选：B．【点评】本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围，属于中档题．10．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是()A．（0，1）B．C．D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】压轴题．【分析】由f（x）在R上单调减，确定a，以及3a﹣1的范围，再根据单调减确定在分段点x=1处两个值的大小，从而解决问题．【解答】解：依题意，有0＜a＜1且3a﹣1＜0，解得0＜a＜，又当x＜1时，（3a﹣1）x+4a＞7a﹣1，当x＞1时，logax＜0，因为f（x）在R上单调递减，所以7a﹣1≥0解得a≥综上：≤a＜故选C．【点评】本题考查分段函数连续性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小．二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）11．已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（5）=0．-15-\n【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】令2x+1=t，可得x=，代入所给的条件求得f（t）=﹣（t﹣1），由此求得f（5）的值．【解答】解：∵已知f（2x+1）=x2﹣2x，令2x+1=t，可得x=，∴f（t）=﹣（t﹣1），故f（5）=4﹣4=0，故答案为0．【点评】本题主要考查用换元法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．12．已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=3．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题．【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值【解答】解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案为：3．【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值．13．设奇函数f（x）的定义域为，若当x∈时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5}．-15-\n【考点】函数奇偶性的性质；函数的图象．【专题】数形结合．【分析】由奇函数图象的特征画出此抽象函数的图象，结合图象解题．【解答】解：由奇函数图象的特征可得f（x）在上的图象．由图象可解出结果．故答案为{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5}．【点评】本题是数形结合思想运用的典范，解题要特别注意图中的细节．14．函数的值域为．【考点】函数的值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】可求导，从而可判断出f（x）在其定义域上单调递增，从而便有f（2）≤f（x）≤f（3），这样即可得出f（x）的值域．【解答】解：由得，2≤x≤3；∵f′（x）=；∴f（x）在上单调递增；∴f（2）≤f（x）≤f（3）；即；∴f（x）的值域为．-15-\n故答案为：．【点评】考查函数值域的概念，根据导数判断函数单调性的方法，以及根据增函数的定义求函数的值域．15．函数的最小值为﹣1．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】运用对数的运算性质和换元法，可得t=log3x，（t≥0），则y=t（t﹣2）=（t﹣1）2﹣1，由二次函数的最值的求法，即可得到所求．【解答】解：函数=log3x（log3x﹣2），令t=log3x，（t≥0），则y=t（t﹣2）=（t﹣1）2﹣1，当t=1，即x=3时，取得最小值，且为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用对数函数的单调性和换元法，转化为二次函数的最值求法，属于基础题．三、解答题16．已知集合A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，2﹣a，a2+4a﹣2}，A∩B={3，7}，求a的值及集合A∪B．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】常规题型；计算题．【分析】由A∩B={3，7}知，3，7既是集合A的元素，也是集合B的元素，从而建立关于a的方程，然后利用集合元素的特征检验即可．【解答】解：∵A∩B={3，7}∴7∈A，∴a2+4a+2=7即a=﹣5或a=1-15-\n当a=﹣5时，B={0，7，7，3}（舍去）当a=1时，B={0，7，1，3}∴B={0，7，1，3}．∴A∪B={0，1，2，3，7}【点评】本题考查集合间的相互关系，解题时要熟练掌握基本概念．注意集合元素的互异性，是个基础题．17．（1）计算：；（2）解方程：．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值；函数的零点．【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由指数幂的运算法则化简可得；（2）方程可化为3x﹣49=25，由指数幂的运算解方程可得．【解答】解：（1）化简可得=+1+=+1+=5；（2）方程可化为3x﹣49=25，∴3x=25+49=81=34，解得x=4【点评】本题考查指数幂的化简求值，属基础题．18．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，且A∪B=A，求m的取值范围．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由给出的集合A和B，再由A∪B=A得到B⊆A，然后分B为空集和不是空集讨论，当B不是空集时利用端点值的关系列不等式求解．【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，由A∪B=A，∴B⊆A，①当B=∅时，满足B⊆A，此时m+1＞2m﹣1，-15-\n∴m＜2；②当B≠∅时，∵B⊆A，则，解得2≤m≤3．综上，m∈（﹣∞，3]．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了分类讨论的数学思想方法，关键是对端点值的取舍，是基础题．19．已知函数．（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．【考点】函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）f（x）为分式函数，则由分母不能为零，解得定义域；（2）要求用定义证明，则先在（1，+∞）上任取两变量且界定大小，然后作差变形看符号．【解答】解：（1）由x2﹣1≠0，得x≠±1，所以，函数的定义域为x∈R|x≠±1（2）函数在（1，+∞）上单调递减．证明：任取x1，x2∈（1，+∞），设x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，∵x1＞1，x2＞1，∴x12﹣1＞0，x22﹣1＞0，x1+x2＞0．又x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，故△y＜0．-15-\n因此，函数在（1，+∞）上单调递减．【点评】本题主要考查函数定义域的基本求法和单调性定义证明函数的单调性．20．设函数f（x）=x2﹣2x+3（x∈）的最小值为g（t），求g（t）的表达式．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先求出函数f（x）的对称轴x=1，从而可讨论区间和对称轴的关系：分t+1≤1，t＜1＜t+1，和t≥1三种情况，然后根据二次函数在上的单调性及取得顶点情况便可求出每种情况的f（x）的最小值，从而得出g（t）的表达式．【解答】解：f（x）的对称轴为x=1；①t+1≤1，即t≤0时，f（x）在上单调递减；∴f（t+1）=t2+2是f（x）的最小值；②t＜1＜t+1，即0＜t＜1时，f（1）=2是f（x）的最小值；③t≥1时，f（x）在上单调递增；∴f（t）=t2﹣2t+3是f（x）的最小值；∴综上得，．【点评】考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及根据单调性的定义求函数在闭区间上的最小值，以及根据抛物线顶点求二次函数最小值的方法．21．若f（x）是定义在R上的减函数，且对任意的a、b∈R满足：f（a+b）=f（a）+f（b）．且f（﹣2）=12（1）判断f（x）的奇偶性；（2）若f（k﹣2）＜f（2k）﹣6，求实数k的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【专题】综合题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用赋值法，先求出f（0）的值，再令令a=x，b=﹣x，根据奇偶性的定义即可判断，-15-\n（2）令x=y=﹣1，求出f（﹣1）=6，由f（k﹣2）＜f（2k）﹣6，转化为f（k﹣2）＜f（2k﹣1），根据函数的单调性，得到k﹣2＞2k﹣1解得即可．【解答】解：设x=y=0：f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0，再令a=x，b=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，（2）令x=y=﹣1则f（﹣2）=2f（﹣1）=12得f（﹣1）=6，∵f（k﹣2）＜f（2k）﹣6=f（2k）﹣f（1）=f（2k）+f（﹣1）=f（2k﹣1），又f（x）是定义在R上的减函数，∴k﹣2＞2k﹣1解得k＜﹣1，故k的取值范围为（﹣∞，﹣1）【点评】本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，函数奇偶性的定义及其证明，利用函数性质和函数的单调性解不等式的方法，转化化归的思想方法．-15-