安徽省滁州市定远县育才学校2022届高三数学上学期期中试题理
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育才学校2022届高三上学期期中考试卷理科数学第I卷选择题60分一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:“∀x∈[1,2]都有x2≥a”.命题q:“∃x∈R,使得x2+2ax+2-a=0成立”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,-2]B.(-2,1)C.(-∞,-2]∪{1}D.[1,+∞)2.若为实数,则“”是的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是()A.0B.C.1D.4.设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( )A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数5.设函数f(x)=若F(x)=f(x)+x,x∈R,则F(x)的值域为( )A.(-∞,1]B.[2,+∞)C.(-∞,1]∪[2,+∞)D.(-∞,1)∪(2,+∞)-8-\n6.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2022年全年投入研发资金130万元.在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)A.2022年B.2022年C.2022年D.2022年7.函数f(x)=cosx(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )8.函数在内()A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点9.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA等于( )A.B.C.D.10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.511.数列{}满足,则{}的前60项和为()A.3690B.3660C.1845D.183012.已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是( )A.B.C.D.第II卷非选择题90分二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.设集合M={y|y=2-x,x<0},N={a|a=},则M∩N=________.14.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f+f(1)=________.-8-\n15.已知函数的图象是折线段,其中、、,函数()的图象与轴围成的图形的面积为.16.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上.若·=,则·=________.三、解答题(共6小题,共70分)17.(12分)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值.18.(12分)已知幂函数f(x)=x(m2+m)-1(m∈N*)(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数还经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.19.(12分)已知函数f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)满足f(2)<f(3).(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式;(2)对于(1)中得到的函数f(x),试判断是否存在q>0,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为[-4,]?若存在,求出q;若不存在,请说明理由.20.(12分)已知函数f(x)=+lnx.(1)当a=时,求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;(2)若函数g(x)=f(x)-x在[1,e]上为增函数,求正实数a的取值范围.-8-\n21.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cosB=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.22.(10分)某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x元时,销售量可达到15—0.1x万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货价格.问:(1)每套丛书售价定为100元时,书商能获得的总利润是多少万元?(2)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大?高三理科数学答案一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)-8-\n1.C2.A3.A4.A5.C6.B7.D8.B9.D10.B11.D12.B二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.{x|x>1}14.-215.16.三、解答题(共6小题,共70分)17.(1)0(2)f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数(3)f(x)在[2,9]上的最小值为-2【解析】(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0所以f<0,即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.(3)∵f(x)在[0,+∞)上是单调递减函数.-8-\n∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9).由f=f(x1)-f(x2),得f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2.18.(1)函数f(x)=x(m2+m)-1(m∈N*)的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数(2)1≤a<.【解析】(1)m2+m=m(m+1),m∈N*,而m与m+1中必有一个为偶数,∴m(m+1)为偶数.∴函数f(x)=x(m2+m)-1(m∈N*)的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.(2)∵函数f(x)经过点(2,),∴=2(m2+m)-1,即2=2(m2+m)-1.∴m2+m=2.解得m=1或m=-2.又∵m∈N*,∴m=1.由f(2-a)>f(a-1)得解得1≤a<.∴a的取值范围为[1,).19.(1)∵f(2)<f(3),∴f(x)在第一象限是增函数.故-k2+k+2>0,解得-1<k<2.又∵k∈Z,∴k=0或k=1.当k=0或k=1时,-k2+k+2=2,∴f(x)=x2.(2)假设存在q>0满足题设,由(1)知g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2].-8-\n∵g(2)=-1,∴两个最值点只能在端点(-1,g(-1))和顶点(,)处取得.而-g(-1)=-(2-3q)=≥0,∴g(x)max==,g(x)min=g(-1)=2-3q=-4.q=2.∴存在q=2满足题意.20.(1)当a=时,f(x)=+lnx,f′(x)=,令f′(x)=0,得x=2,∴当x∈[1,2)时,f′(x)<0,故f(x)在[1,2)上单调递减;当x∈(2,e]时,f′(x)>0,故f(x)在(2,e]上单调递增,故f(x)min=f(2)=ln2-1.又∵f(1)=0,f(e)=<0.∴f(x)在区间[1,e]上的最大值f(x)max=f(1)=0.综上可知,函数f(x)在[1,e]上的最大值是0,最小值是ln2-1.(2)∵g(x)=f(x)-x=+lnx-x,∴g′(x)=(a>0),设φ(x)=-ax2+4ax-4,由题意知,只需φ(x)≥0在[1,e]上恒成立即可满足题意.∵a>0,函数φ(x)的图象的对称轴为x=2,∴只需φ(1)=3a-4≥0,即a≥即可.故正实数a的取值范围为.21.a=3,c=2.cos(B-C)=.【解析】(1)由·=2,得c·acosB=2,又cosB=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB,又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.联立得或因为a>c,所以a=3,c=2.-8-\n(2)在△ABC中,sinB===.由正弦定理,得sinC=sinB=×=.因为a=b>c,所以C为锐角,因此cosC===.于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.22.(1)每套丛书售价定为100元时,销售量为15-0.1×100=5(万套),此时每套供货价格为30+=32(元),书商所获得的总利润为5×(100-32)=340(万元).(2)每套丛书售价定为x元时,由解得0<x<150.依题意,单套丛书利润P=x-(30+)=x--30,∴P=-[(150-x)+]+120.∵0<x<150,∴150-x>0,由(150-x)+≥2=2×10=20,当且仅当150-x=,即x=140时等号成立,此时,Pmax=-20+120=100.∴当每套丛书售价定为100元时,书商获得总利润为340万元,每套丛书售价定为140元时,单套丛书的利润最大,最大值为100元.-8-
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