宿迁市2022学年度第二学期高二期末考试数学（理科）卷

高二年级期末测试数学（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．.1.已知复数z满足z(1+2i)=2-i，i为虚数单位，则复数z的模为▲.2.若以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点A的极坐标π化成直角坐标为▲.(2,)301êú3.若曲线x2+y2=1在矩阵é20ù对应的变换下变为一个椭圆，则椭圆的离心率为▲.ëû4.已知随机变量X的分布表如下所示，则实数x的值为▲.X123Px214xíy=-4t5.将参数方程ìx=2t+1(t为参数)化成普通方程为▲.î1010116.计算C5+C4-C6的结果为▲.10/10(,,0)7.若平面a的一个法向量为1122，直线l的方向向量为(1,0,1)，则l与a所成角的大10/10小为▲.8.已知某运动队有男运动员4名，女运动员3名，若现在选派3人外出参加比赛，则选出的3人中男运动员比女运动员人数多的概率是▲.10/109.若(x3+a)6的展开式中x4的系数为240，则实数a的值为▲.x10/1010.设向量a=(1,2,l),b=(2,2,-1)，若cosa,b=4，则实数l的值为▲.910/1011.观察下列恒等式:1tana=tana+2；tan2a10/101tana=tana+2tan2a+4；tan4a10/101tana…=tana+2tan2a+4tan4a+8；tan8a10/10请你把结论推广到一般情形,则得到的第n个等式为▲.10/10\n88888811.已知集合A={C0},B={C1,C2},D={C4,C5,C6}，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为▲.x2210/1012.若实数x,y满足+y4=1，则(x+1)(2y+1)的取值范围是▲.10/1013.当x<1时，等式11+x=1-x+x2+…+(-x)n+…恒成立，根据该结论，当x<1时，210/10x=a+ax+…+axn+…，则a的值为▲.(1+2x)(1-x3)01n8二、解答题：本大题共6题，第15~17题每题14分，第18~20题每题16分，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在答．题．卡．指．定．区．域．内作答．15.（本题满分14分）2已知复数z=a+i(a>0，aÎR)，i为虚数单位，且复数z+为实数．z（1）求复数z；（2）在复平面内，若复数(m+z)2对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．16.（本题满分14分）10/10ê已知矩阵M=éab1ù对应的变换将点P(1,2)变换成P¢(4,5)．ú210/10ëû（1）求矩阵M的逆矩阵M-1；（2）求矩阵M的特征向量．10/10\n16.（本题满分14分）íy=2+4sina在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为ìx=1+4cosa,î(a为参数).10/10（1）求曲线C的普通方程；（2）在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为rsin(q+p)=112，过直线l上一点P引曲线C的切线，切点为M，求PM的42最小值.17.（本题满分16分）已知某盒子中共有6个小球，编号为1号至6号，其中有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色和编号外完全相同．（1）若从盒中一次随机取出3个球，求取出的3个球中恰有2个颜色相同的概率；（2）若从盒中逐一取球，每次取后立即放回，共取4次，求恰有3次取到黄球的概率；（3）若从盒中逐一取球，每次取后不放回，记取完黄球所需次数为X，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．10/10\n16.（本题满分16分）如图，在三棱锥V-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，VO^平面ABC，垂足O落在线段AD上，E为DVBC的重心，已知BC=6,VO=3,OD=1,AO=2.（1）证明：OE//平面VAC；（2）求异面直线AC与OE所成角的余弦值；（3）设点M在线段VA上，使得VM=lVA，试确定l的值，使得二面角A-MB-CVMEOD为直二面角.10/1017.（本题满分16分）ACB(第19题）10/10nF(x)=å1Ck-1Cmxk(1-x)n-k,(nkmnkmÎN).10/10设函数k=3kn-1k≥≥，、、10/10nknn-m（1）化简:CkCm-CmCk-m(n≥k≥m，n、k、mÎN)；n（2）已知F(x)=å1Ck-1Cmxk(1-x)n-k=amxm,求a表达式；10/10k=mkn(-1)k+1n-1knm+(-1)n+1an11110/10（3）设An=åa=-a+a-a+,10/10k=2k234A>1+1+10/101n+n请用数学归纳法证明不等式2n+1n+1n+2.10/10\n高二年级期末调研测试理科数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.12.3.4.5.6.07.8.9.10.11.12.3313.14.二、解答题：在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.解答（1），则………………………2分，，………………………5分．．………………………7分（2）由题意：,………………………9分复数对应点坐标………………………11分复数对应的点在第一象限,,所以………………………14分16.解：（1）由题意得，即，解得，所以，………………………………3分10/10\n…………………………………………6分（2）矩阵的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－3)．令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3．………………………………8分①当λ＝1时，得令x＝1，则y＝－1，于是矩阵的一个特征向量为．……………10分②当λ＝3时，由得令x＝1，则y＝1，于是矩阵的一个特征向量为．综上，矩阵的特征向量为和．………………………………14分17.解.（1）由得又所以综上曲线的普通方程...................................................4分（2）由得即............................................................................................6分又直线的直角坐标方程为....................................................................8分由（1）知曲线为圆且圆心坐标为，半径为切线长当取最小时，取最小....................................................................................10分而的最小值即为到直线的距离到直线的距离为....................................................................12分10/10\n所以的最小值为4....................................................................................................14分18(1)如图，方法一：连接，因为是的重心，是的中点，即，又所以，又因为，所以....................................................3分方法二：以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系则，，，，，的重心，设，即即，因为所以，即又因为，所以.......................................3分2)，所以异面直线所成角的余弦值.......................................6分3)，则，=，，.......................................8分设平面ABV的法向量为，平面CMB的法向量为由得10/10\n即，可取.......................................11分由得即，可取.......................................14分由得解得.......................................16分19.解：（1）从盒中一次随机取出个球，记取出的3个球中恰有2个颜色相同为事件则答取出的个球颜色相同的概率.......................................................................3分（2）盒中逐一取球，取后立即放回，每次取到黄球的概率为记取4次恰有3次黄球为事件则答取4次恰有3次黄球的概率..............................................................................6分（3）的可能取值为2，3，4，5，6则，，，.........................................11分的分布列为23456.....................14分10/10\n所以的数学期望..............16分20.解答:(1)...................4分(2)由（1）得到:令得到：，即:.......................................6分.............................9分(3)所以:(1)式+(2)式得到:.............................12分用数学归纳法证明不等式,1）当时，,结论成立.2）假设时，结论成立,即:,10/10\n那么当时，所以当结论也成立,根据1）、2）不等式恒成立........................................16分10/10