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山东德州市武城二中高二第一次月考数学试卷
山东德州市武城二中高二第一次月考数学试卷
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2022-2022学年山东省德州市武城二中高二(上)第一次月考数学试卷 一、选择题1.过点P(﹣2,m)和Q(m,4)的直线斜率等于1,那么m的值等于( )A.1或3B.4C.1D.1或42.已知a>0,b<0,c>0则直线ax+by+c=0必不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是( )A.3x+4y﹣5=0B.3x+4y+5=0C.3x﹣4y+5=0D.3x﹣4y﹣5=04.过点(﹣1,2)且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为( )A.3x+2y﹣1=0B.3x+2y+7=0C.2x﹣3y+5=0D.2x﹣3y+8=05.已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切,且与直线l2:3x+4y﹣6=0平行,则直线l1的方程是( )A.3x+4y﹣1=0B.3x+4y+1=0或3x+4y﹣9=0C.3x+4y+9=0D.3x+4y﹣1=0或3x+4y+9=06.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是( )A.B.4C.D.27.点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ﹣2=0的距离的最大值是( )A.1+B.2+C.1+D.2+8.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面积是( )A.B.C.D.9.若直线x+my=2+m与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交,则实数m的取值范围为( )A.(﹣∞,+∞)B.(﹣∞,0)C.(0,+∞)D.(﹣∞,0)U(0,+∞)14/1510.若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是( )A.4B.9C.10D.1211.已知圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=4,过直线x﹣y﹣6=0上的一点M作圆C的切线,切点为N,则|MN|的最小值为( )A.2B.C.4D.312.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )A.B.5C.D. 二、填空题13.已知直线l1:3x+my﹣1=0,直线l2:(m+2)x﹣(m﹣2)y+2=0,且l1∥l2,则m的值为 .14.若x,y满足约束条件.则的最大值为 .15.一个正四棱锥的三视图如图所示,则此正四棱锥的侧面积为 .16.在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是 (写出所有正确命题的编号).①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点;③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点;④存在恰经过一个整点的直线. 14/15三、解答题17.已知直线l1:ax+2y+1=0,直线l2:x﹣y+a=0.(1)若直线l1⊥l2,求a的值及垂足P的坐标;(2)若直线l1∥l2,求a的值及直线l1与l2的距离.18.已知直线l的方程是y=﹣(a+1)x+2﹣a(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若l与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,求直线l的方程.19.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆C关于直线x+y﹣1=0对称,圆心在第二象限,半径为(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)已知不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴、y轴上的截距相等,求直线l的方程.20.已知直线l:4x+3y﹣8=0(a∈R)过圆C:x2+y2﹣ax=0的圆心交圆C于A、B两点,O为坐标原点.(I)求圆C的方程;(II)求圆C在点P(1,)处的切线方程;(III)求△OAB的面积.21.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为多少?甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)12822.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由. 14/152022-2022学年山东省德州市武城二中高二(上)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题1.过点P(﹣2,m)和Q(m,4)的直线斜率等于1,那么m的值等于( )A.1或3B.4C.1D.1或4【考点】直线的斜率.【分析】利用直线的斜率公式求解.【解答】解:∵过点P(﹣2,m)和Q(m,4)的直线斜率等于1,∴k==1,解得m=1.故选:C. 2.已知a>0,b<0,c>0则直线ax+by+c=0必不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】直线的一般式方程.【分析】化方程为斜截式方程,由斜率和截距的意义可得.【解答】解:由题意可知a>0,b<0,c>0,直线方程可化为y=x﹣,∴直线的斜率>0,截距>0,∴直线ax+by+c=0必不经过第四象限,故选:D. 3.与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是( )A.3x+4y﹣5=0B.3x+4y+5=0C.3x﹣4y+5=0D.3x﹣4y﹣5=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程.【分析】令x=0,可得直线3x﹣4y+5=0与y轴的交点.令y=0,可得直线3x﹣4y+5=0与x轴的交点,此点关于y轴的对称点为.可得:与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线经过两点:,.利用截距式即可得出.【解答】解:令x=0,则y=,可得直线3x﹣4y+5=0与y轴的交点.14/15令y=0,可得x=﹣,可得直线3x﹣4y+5=0与x轴的交点,此点关于y轴的对称点为.∴与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线经过两点:,.其方程为:=1,化为:3x+4y﹣5=0.故选:A. 4.过点(﹣1,2)且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为( )A.3x+2y﹣1=0B.3x+2y+7=0C.2x﹣3y+5=0D.2x﹣3y+8=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c=0,再把点(﹣1,2)代入,即可求出c值,得到所求方程.【解答】解:∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直,∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0∵直线过点(﹣1,2),∴﹣3×(﹣1)﹣2×2+c=0∴c=1∴所求直线方程为3x+2y﹣1=0.故选:A. 5.已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切,且与直线l2:3x+4y﹣6=0平行,则直线l1的方程是( )A.3x+4y﹣1=0B.3x+4y+1=0或3x+4y﹣9=0C.3x+4y+9=0D.3x+4y﹣1=0或3x+4y+9=0【考点】直线与圆的位置关系;直线的一般式方程与直线的平行关系.【分析】由直线的一般式方程与直线的平行关系,设出直线l1的方程为3x+4y+m=0,再由直线l1与圆相切,得到圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关于m的方程,求出方程的解得到m的值,即可确定出直线l1的方程.【解答】解:∵直线l1与直线l2:3x+4y﹣6=0平行,∴设直线l1为3x+4y+m=0,将圆的方程化为x2+(y+1)2=1,得到圆心坐标为(0,﹣1),半径r=1,又直线l1与圆x2+y2+2y=0相切,∴圆心到3x+4y+m=0的距离d=r,即=1,解得:m=9或m=﹣1,则直线l1的方程为3x+4y﹣1=0或3x+4y+9=0.故选D 6.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是( )14/15A.B.4C.D.2【考点】简单线性规划的应用.【分析】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件对应的可行域,分析满足条件的图形的形状,结合三角形面积的求法,即可求解.【解答】解:由已知易得满足约束条件的可行域即为△ABC,又∵,故选B. 7.点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ﹣2=0的距离的最大值是( )A.1+B.2+C.1+D.2+【考点】点到直线的距离公式.【分析】利用点到直线的距离公式、两角和差的正弦关系及其正弦函数的单调性即可得出.【解答】解:点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ﹣2=0的距离d==,当且仅当=﹣1时d取得最大值,d=.故选:B. 8.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面积是( )A.B.C.D.【考点】斜二测法画直观图.14/15【分析】由直观图和原图的面积之间的关系直接求解即可.【解答】解:因为,且若△A′B′C′的面积为×2××=,那么△ABC的面积为故选A. 9.若直线x+my=2+m与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交,则实数m的取值范围为( )A.(﹣∞,+∞)B.(﹣∞,0)C.(0,+∞)D.(﹣∞,0)U(0,+∞)【考点】直线与圆相交的性质.【分析】直线l:x+my=2+m通过整理,发现它虽然在动,但是经过定点M(2,1),再将点M(2,1)代入圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0方程,发现点M恰好在圆上,因此可得直线l只要与圆不相切,就能与圆相交,从而满足题意.因此求出直线与圆相切时的m值,再求对立面即得实数m的取值范围.【解答】解:∵直线l:x+my=2+m整理,得x﹣2+m(y﹣1)=0,∴动直线l经过定点M(2,1),∵圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0化成标准方程,得(x﹣1)2+(y﹣1)2=1∴圆心坐标为C(1,1),半径r=1又∵点M(2,1)满足(2﹣1)2+(1﹣1)2=1,恰好在圆C上,∴当直线l与圆C不相切时,必定有l与圆C相交若直线l与圆C相切,有,可得m=0因此,可得当m≠0时,总有l与圆C相交故选D 10.若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域,然后结合x2+y2的几何意义,即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,14/15∵A(0,﹣3),C(0,2),∴|OA|>|OC|,联立,解得B(3,﹣1).∵,∴x2+y2的最大值是10.故选:C. 11.已知圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=4,过直线x﹣y﹣6=0上的一点M作圆C的切线,切点为N,则|MN|的最小值为( )A.2B.C.4D.3【考点】圆的切线方程.【分析】求出C(1,1)到直线x﹣y﹣6=0的距离d,可得|MN|的最小值.【解答】解:圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=4,圆心坐标为(1,1),半径为2.要使|MN|最小,需圆心C(1,1)到直线x﹣y﹣6=0的M的距离最小,而CM的最小值即圆心C(1,1)到直线x﹣y﹣6=0的距离d==3,故|MN|的最小值为=,故选:B. 12.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )A.B.5C.D.14/15【考点】由三视图求面积、体积.【分析】几何体为边长为1的正方体切去一个三棱锥得到的,共含有7个面.【解答】解:由三视图可知该几何体为边长为1的正方体切去一个三棱锥得到的,三棱锥的底面边长为正方体相邻三个面的对角线长,剩余几何体有3个面为原正方体的面,有3个面为原正方体面的一半,有1个面为等边三角形,边长为原正方体的面对角线长.∴几何体的表面积为1×3++()2=.故选A. 二、填空题13.已知直线l1:3x+my﹣1=0,直线l2:(m+2)x﹣(m﹣2)y+2=0,且l1∥l2,则m的值为 1或﹣6 .【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.【分析】根据直线平行的等价条件进行求解即可得到结论.【解答】解:若l1∥l2,则m(m+2)+3(m﹣2)=0,解得:m=1或﹣6,故答案为:1或﹣6. 14.若x,y满足约束条件.则的最大值为 3 .【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定的最大值.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).设k=,则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率,由图象知OA的斜率最大,由,解得,即A(1,3),则kOA==3,即的最大值为3.故答案为:3.14/15 15.一个正四棱锥的三视图如图所示,则此正四棱锥的侧面积为 60 .【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图可得四棱锥为正四棱锥,判断底面边长与高的数据,求出四棱锥的斜高,代入棱锥的侧面积公式计算.【解答】解:由三视图知:此四棱锥为正四棱锥,底面边长为6,高为4,则四棱锥的斜高为=5,∴四棱锥的侧面积为S==60.故答案为:60. 16.在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是 ①③④ (写出所有正确命题的编号).①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点;③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点;④存在恰经过一个整点的直线.【考点】命题的真假判断与应用;确定直线位置的几何要素.【分析】逐项判断即可.①举例说明即可;②举反例即可判断;③说明当直线l经过两个整点时直线l经过无穷多个整点时关键;④举例说明即可得到该命题正确.【解答】解:①如直线,该直线不经过任何整点,因为当x为整数时,y都是无理数,故①正确;②取k=,b=﹣都是无理数,但直线经过整点(1,0),故此②错误;③当直线经过无穷多过整点时肯定经过两个整点,当直线经过两个整点时,设两整点的坐标为(m,n),(p,q),且m≠p,n≠q,则直线方程为14/15,当x=k(m﹣p)+m,k∈Z时,y=k(n﹣q)+n∈Z,即直线经过整点(k(m﹣p)+m,k(n﹣q)+n),k∈Z,k每取一个整数就对应一整点,所以直线经过无穷多个整点,故③正确;④若直线方程为,直线经过整点(0,0),当x取不为零的任意整数时,y都是无理数,故该直线仅经过整点(0,0),故④正确.综上可知,答案为:①③④. 三、解答题17.已知直线l1:ax+2y+1=0,直线l2:x﹣y+a=0.(1)若直线l1⊥l2,求a的值及垂足P的坐标;(2)若直线l1∥l2,求a的值及直线l1与l2的距离.【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系.【分析】(1)由垂直可得a×1+2×(﹣1)=0,解得a值可得直线的方程,联立方程可解交点坐标;(2)当直线l1∥l2时,,解得a值可得直线的方程,由平行线间的距离公式可得答案.【解答】解:(1)∵直线l1:ax+2y+1=0,直线l2:x﹣y+a=0,当直线l1⊥l2时,a×1+2×(﹣1)=0,解得a=2,∴l1:2x+2y+1=0,直线l2:x﹣y+2=0,联立解得∴a的值为2,垂足P的坐标为(,);(2)当直线l1∥l2时,,解得a=﹣2,∴l1:﹣2x+2y+1=0,直线l2:﹣2x+2y+4=0,由平行线间的距离公式可得d==∴a的值为﹣2,直线l1与l2的距离为 18.已知直线l的方程是y=﹣(a+1)x+2﹣a(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若l与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,求直线l的方程.【考点】直线的截距式方程;三角形的面积公式.【分析】(1)依题意,由=a﹣2即可求得a,从而可得直线l的方程;(2)设所围成的面积为S,列出S的表达式,利用S=2即可求得参数a的值,从而得到所求直线的方程.14/15【解答】解:(1)依题意a+1≠0,∴=a﹣2,∴a=2,或a=0,∴所求的直线方程是3x+y=0,或x+y﹣2=0.(2)设所围成的面积为S,则S=•|a﹣2|=2,∴(a﹣2)2=4|a+1|,解得a=8,或a=0,∴所求直线方程是x+y﹣2=0,或9x+y+6=0. 19.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆C关于直线x+y﹣1=0对称,圆心在第二象限,半径为(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)已知不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴、y轴上的截距相等,求直线l的方程.【考点】圆的标准方程;圆的切线方程.【分析】(Ⅰ)由圆的方程写出圆心坐标,因为圆C关于直线x+y﹣1=0对称,得到圆心在直线上代入得到①,把圆的方程变成标准方程得到半径的式子等于得到②,①②联立求出D和E,即可写出圆的方程;(Ⅱ)设l:x+y=a,根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出a即可.【解答】解:(Ⅰ)由x2+y2+Dx+Ey+3=0知圆心C的坐标为(﹣,﹣)∵圆C关于直线x+y﹣1=0对称∴点(﹣,﹣)在直线x+y﹣1=0上即D+E=﹣2,①且=2②又∵圆心C在第二象限∴D>0,E<0由①②解得D=2,E=﹣4∴所求圆C的方程为:x2+y2+2x﹣4y+3=0(Ⅱ)∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,设l:x+y=a∵圆C:(x+1)2+(y﹣2)2=2∴圆心C(﹣1,2)到切线的距离等于半径,即||=,∴a=﹣1或a=3所求切线方程x+y=﹣1或x+y=3 20.已知直线l:4x+3y﹣8=0(a∈R)过圆C:x2+y2﹣ax=0的圆心交圆C于A、B两点,O为坐标原点.(I)求圆C的方程;(II)求圆C在点P(1,)处的切线方程;(III)求△OAB的面积.【考点】正弦定理;点到直线的距离公式;圆的一般方程;圆的切线方程.14/15【分析】(I)圆C:x2+y2﹣ax=0的圆心为(,0),将圆心坐标代入4x+3y﹣8=0即可求得a,从而可得圆C的方程;(II)将点P(1,)的坐标代入x2+y2﹣4x=0成立,即点P(1,)在x2+y2﹣4x=0上,设过点P(1,)的切线l1的斜率为k,利用kPC•k=﹣1可求得k,从而可得切线l1的方程;(III)由题意可知,|AB|为圆x2+y2﹣4x=0的直径,其长度为4,利用点到直线的距离公式可求得原点(0,0)到直线l:4x+3y﹣8=0的距离,从而可求△OAB的面积.【解答】解:(I)∵圆C:x2+y2﹣ax=0的圆心为(,0)…直线l:4x+3y﹣8=0过圆C的圆心,∴4×+3×0﹣8=0,∴a=4…∴圆C的方程为:x2+y2﹣4x=0…(II)∵点P(1,)在x2+y2﹣4x=0上,且圆心为(2,0)…∴设过点P(1,)的切线l1的斜率为k,过P、C两点的直线的斜率为kPC,则…kPC=…∵PC⊥l1∴kPC•k=﹣1,故k=…∴切线l1的方程为y﹣=(x﹣1),即x﹣y+2=0…(III)∵圆C:x2+y2﹣4x=0的半径为2,…∴|BA|=2r=4…点O(0,0)到直线l:4x+3y﹣8=0的距离为d==…∴S△OAB=|ABC|•d=×4×=… 21.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为多少?甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【考点】简单线性规划.【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨,利润为z元,然后根据题目条件建立约束条件,得到目标函数,画出约束条件所表示的区域,然后利用平移法求出z的最大值.【解答】解:设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨,利润为z元,14/15则,目标函数为z=3x+4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.由z=3x+4y得y=﹣x+,平移直线y=﹣x+,由图象可知当直线y=﹣x+,经过点B时,直线y=﹣x+的截距最大,此时z最大,解方程组,解得:,即B的坐标为x=2,y=3,∴zmax=3x+4y=6+12=18.则每天生产甲乙两种产品分别为2,3吨,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元. 22.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.【考点】轨迹方程;直线与圆的位置关系.【分析】(1)通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论;(2)设当直线l的方程为y=kx,通过联立直线l与圆C1的方程,利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论;(3)通过联立直线L与圆C1的方程,利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点(4,0)决定的直线斜率,即得结论.14/15【解答】解:(1)∵圆C1:x2+y2﹣6x+5=0,整理,得其标准方程为:(x﹣3)2+y2=4,∴圆C1的圆心坐标为(3,0);(2)设当直线l的方程为y=kx、A(x1,y1)、B(x2,y2),联立方程组,消去y可得:(1+k2)x2﹣6x+5=0,由△=36﹣4(1+k2)×5>0,可得k2<由韦达定理,可得x1+x2=,∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为,其中﹣<k<,∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为:(x﹣)2+y2=,其中<x≤3;(3)结论:当k∈(﹣,)∪{﹣,}时,直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点.理由如下:联立方程组,消去y,可得:(1+k2)x2﹣(3+8k2)x+16k2=0,令△=(3+8k2)2﹣4(1+k2)•16k2=0,解得k=±,又∵轨迹C的端点(,±)与点(4,0)决定的直线斜率为±,∴当直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点时,k的取值范围为(﹣,)∪{﹣,}. 14/15
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高中 - 数学
发布时间:2022-08-25 20:32:29
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文章作者:U-336598
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