山东省实验中学2022学年高二数学下学期期末考试试题 理 新人教A版
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山东省实验中学2022届高二期终考试理科数学试卷一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.在复平面内,复数对应的点位于(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知,则“”是“”的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.直线与圆的位置关系是(C)A.相离B.相切C.相交D.与k的取值有关4.函数的图象如图,则的解析式可以为(D)A.B.C.D.5.正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为,则此球的表面积为(B)A.B.C.D.6.设斜率为的直线l与双曲线交于不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.7.已知函数的定义域为[a,b],值域为[0,1],那么满足条件的有序对共有()A.3对B.4对C.5对D.9对8.在正整数数列中,由1开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染1,再染2个偶数2、4;再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9;再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16;再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直染下去,得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,….则在这个红色子数列中,由1开始的第2022个数是()A.3948B.3953C.3955D.39589\n9.已知:奇函数的定义域为R,且是以2为周期的周期函数,数列是首项为1,公差为1的等差数列,则的值等于()A0 B1 C-1 D210.如果关于x的方程有且仅有一个正实数解,那么实数的取值范围为()A.B.或C.D.若二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.若椭圆的左焦点在抛物线的准线上,则p的值为_________.12.双曲线-=1的左右焦点分别为F1﹑F2,在双曲线上存在点P,满足︱PF1︱=5︱PF2︱。则此双曲线的离心率e的最大值为.13.已知,为原点,点的坐标满足,则的最大值是14.某种股票今天的股价是2元/股,以后每一天的指数都比上一天的股价增加0.2%,则100天以后这种基金的股价约是__________元/股(精确到0.01).15.设函数的定义域分别为DJ,DE.且DJDE,若对于任意DJ,都有则称函数为在DE上的一个延拓函数.设为在上的一个延拓函数,且是奇函数,则=________________________;设,为在R上的一个延拓函数,且且是偶函数,则=________________________.三.(解答题本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)某办公室有5位教师,只有3台电脑供他们使用,教师是否使用电脑是相互独立的。(1)若上午某一时段A、B、C三位教师需要使用电脑的概率分别是、、,求这一时段A、B、C三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率;9\n(2)若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是,求在这一时段该办公室电脑使用的平均台数和无法满足需求的概率。解:(1)甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A、B、C,因为各位教师是否使用电脑是相互独立的,所以甲、乙、丙三位教师中恰有2位使用电脑的概率是:……6分(2)电脑数无法满足需求,即指有4位以上(包括4位)教师同时需要使用电脑,记有4位教师同时需要使用电脑的事件为M,有5位教师同时需要使用电脑的事件为N,……………………………………8分所以,所求的概率是:P=P(M)+P(N)=。…………11分,即平均使用台数为台。……………………12分17.(本小题满分12分)已知角α、β满足:5sinα+5cosα=8,且α∈(0,),β∈(,),求cos(α+β)的值.解:∵5sinα+5cosα=8,∴sin(α+)=.………………3分∵α∈(0,),∴α+∈(,),∴cos(α+)=.………………5分又∵,………………8分∵β∈(,),∴β+∈(,),∴cos(β+)=-,………………10分∴sin[(α+)+(β+)]=sin(α+)cos(β+)+cos(α+)sin(β+)=-,∴cos(α+β)=-.………………12分18.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为等腰直角三角形,∠B=900,D为棱BB1上一点,且面DA1C⊥面AA1C1C.1)求证:D点为棱BB1的中点;9\nA1C1B1ACBA1D2)若二面角A-A1D-C的平面角为600,求的值。解:1)过点D作DE⊥A1C于E点,取AC的中点F,连BF﹑EF。∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C,面DA1C内的直线DE⊥A1C∴直线DE⊥面AA1C1C………3分又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC,易知BF⊥AC,∴BF⊥面AA1C1C由此知:DE∥BF,从而有D,E,F,B共面,又易知BB1∥面AA1C1C,故有DB∥EF,从而有EF∥AA1,A1C1B1ACBA1DHEFG又点F是AC的中点,所以DB=EF=AA1=BB1,所以D点为棱BB1的中点;………6分2)解法1:延长A1D与直线AB相交于G,易知CB⊥面AA1B1B,过B作BH⊥A1G于点H,连CH,由三垂线定理知:A1G⊥CH,由此知∠CHB为二面角A-A1D-C的平面角;………9分设AA1=2b,AB=BC=;在直角三角形A1AG中,易知AB=BG。9\n在直角三角形DBG中,BH==,在直角三角形CHB中,tan∠CHB==,据题意有:=tan600=,解得:,所以=。………12分9\n2)解法2:建立如图所示的直角坐标系,设AA1=2b,AB=BC=,A1C1B1ACBA1DyOxZ则D(0,0,b),A1(a,0,2b),C(0,a,0)所以,………8分设面DA1C的法向量为则可取又可取平面AA1DB的法向量cos〈〉………10分据题意有:,解得:=………12分19.(本小题满分13分)已知.⑴求函数在区间上的最小值;⑵对一切实数,恒成立,求实数a的取值范围;⑶证明对一切,恒成立.解:⑴,当,,单调递减,当,,单调递增.………………………………………………………………1分①,t无解;………………………………………………2分②,即时,;………………………………3分③,即时,在上单调递增,;9\n所以.………………………………………………………………5分⑵,则,设,则,,,单调递增,,,单调递减,所以,因为对一切,恒成立,所以;………………9分⑶问题等价于证明,由⑴可知的最小值是,当且仅当时取到,设,则,易得,当且仅当时取到,从而对一切,都有成立.………………13分20.(本小题满分13分)设正项数列{}的前项和为Sn,q为非零常数。已知对任意正整数n,m,当n>m时,总成立。1)求证数列{}是等比数列;2)若正整数n,m,k成等差数列,求证:+≥。解:1)因为对任意正整数n,m,当n>m时,总成立。所以当≥2时:,即,且也适合,又>0,故当≥2时:(非零常数),即{}是等比数列。………5分2)若,则。所以≥。………7分若,则,,。………8分9\n所以≥。………10分又因为≤。所以≥≥。综上可知:若正整数n,m,k成等差数列,不等式+≥总成立。当且仅当时取“=”。………13分21.(本小题满分13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A,B两点,N为弦AB的中点。1)求直线ON(O为坐标原点)的斜率KON;2)对于椭圆C上任意一点M,试证:总存在角(∈R)使等式:=cos+sin成立。解:1)设椭圆的焦距为2c,因为,所以有,故有。从而椭圆C的方程可化为:①………2分易知右焦点F的坐标为(),据题意有AB所在的直线方程为:②………3分由①,②有:③设,弦AB的中点,由③及韦达定理有:所以,即为所求。………5分9\n2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立。设,由1)中各点的坐标有:,所以。………7分又点在椭圆C上,所以有整理为。④由③有:。所以⑤又A﹑B在椭圆上,故有⑥将⑤,⑥代入④可得:。………11分对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,而在直角坐标系中,取点P(),设以x轴正半轴为始边,以射线OP为终边的角为,显然。也就是:对于椭圆C上任意一点M,总存在角(∈R)使等式:=cos+sin成立。………13分9
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