山东省枣庄市枣庄三中新校2022届高三数学1月月考试题 理

2022届山东省枣庄市枣庄三中新校高三1月月考数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题．每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．2．圆关于直线对称的圆的方程为A．B．C．D．3．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y=ln（x+1）与的图像交点的横坐标所在区间为A．（0,1）B．（1,2）C．（2,3）D．（3,4）5．执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为,则判断框内应填入的条件是-12-A．k<3B．k>3C．k<4D．k>46．某公司的一品牌电子产品,2022年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落．下面大致能反映出公司2022年该产品销售量的变化情况的图象是7．函数（0≤x≤9）的最大值与最小值的和为．A．B．0C．－1D．8．如图,半径为R的圆C中,已知弦AB的长为5,则=A．B．C．D．9．已知直线a,b异面,,给出以下命题:①一定存在平行于a的平面使;②一定存在平行于a的平面使∥;③一定存在平行于a的平面使;④-12-一定存在无数个平行于a的平面与b交于一定点．则其中论断正确的是A．①④B．②③C．①②③D．②③④10．已知P（x,y）为椭圆C：上一点,F为椭圆C的右焦点,若点M满足且,则的最小值为A．B．3C．D．111．在△ABC中,若a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且cos2B+cosB+cos（A－C）=1,则有．A．a、c、b成等比数列B．a、c、b成等差数列C．a、b、c成等差数列D．a、b、c成等比数列12．已知都是定义在R上的函数，,,且（）,,对于数列（n=1,2,…,10）,任取正整数k（1≤k≤10）,则其前k项和大于的概率是．A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分．13．一个容量为20的样本数据分组后,分组与频数分别如下,2;,3;,4;,5;,4;,2．则样本在上的频率是．14．已知函数（其中,,）的部分图象如图所示,则函数f（x）的解析式是．15．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为．-12-16．已知且,现给出如下结论:①;②;③;④;;⑤的极值为1和3．其中正确命题的序号为．三、解答题:本大题共6小题,共74分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）已知是一个公差大于0的等差数列,且满足．（I）求数列的通项公式;（Ⅱ）若数列和数列满足等式:（n为正整数）求数列的前n项和．18．（本小题满分12分）如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A）,要求PM＝PN＝MN＝2（单位:千米）．如何设计,可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．19．（本小题满分12分）把一颗骰子投掷两次,观察掷出的点数,并记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为．试就方程组（※）解答下列问题:（Ⅰ）求方程组没有解的概率;-12-（Ⅱ）求以方程组（※）的解为坐标的点落在第四象限的概率．．20．（本小题满分12分）已知正△ABC的边长为,CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图所示．（Ⅰ）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;（Ⅱ）若棱锥E-DFC的体积为,求a的值;（Ⅲ）在线段AC上是否存在一点P,使BP⊥DF？如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由．21．（本小题满分12分）已知焦点在y轴,顶点在原点的抛物线C1经过点P（2,2）,以C1上一点C2为圆心的圆过定点A（0,1）,记为圆与轴的两个交点．（1）求抛物线的方程;（2）当圆心在抛物线上运动时,试判断是否为一定值？请证明你的结论;（3）当圆心在抛物线上运动时,记,,求的最大值．22．（本题满分14分）已知函数（）．（Ⅰ）若,求函数的极值;（Ⅱ）设．①当时,对任意,都有成立,求的最大值;②设的导函数．若存在,使成立,求的取值范围．2022届山东省枣庄市枣庄三中新校高三1月月考数学（文）试题参考答案-12-1-6CDBBCC7-12ABDADD13．14．15．1/216．②③17．（I）{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足．∴，又公差d>0，故，d=2an=2n－1----------------------4分（Ⅱ）n≥2时,,,又∴------------------8分n≥2时,Sn=（4+8+…+2n+1）－2=n=1时也符合,故Sn=2n+2－6----------------------------12分18．解法一:设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．因为MN＝2,所以AM＝sin（120°－θ）．………………2分在△APM中,cos∠AMP＝cos（60°＋θ）．…………………4分AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝sin2（120°－θ）＋4－2×2×sin（120°θ）cos（60°＋θ）………………………………6分＝sin2（θ＋60°）－sin（θ＋60°）cos（θ＋60°）＋4＝[1－cos（2θ＋120°）]－sin（2θ＋120°）＋4＝－[sin（2θ＋120°）＋cos（2θ＋120°）]＋＝－sin（2θ＋150°）,θ∈（0,120°）．………………………10分当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2．答:设计∠AMN为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………12分解法二（构造直角三角形）:-12-设∠PMD＝θ,在△PMD中,∵PM＝2,∴PD＝2sinθ,MD＝2cosθ．……………2分在△AMN中,∠ANM＝∠PMD＝θ,∴＝,AM＝sinθ,∴AD＝sinθ＋2cosθ,（θ≥时,结论也正确）．……………4分AP2＝AD2＋PD2＝（sinθ＋2cosθ）2＋（2sinθ）2＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ…………………………6分＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋＝＋sin（2θ－）,θ∈（0,）．…………………………10分当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．此时AM＝AN＝2,∠PAB＝30°…………………………12分解法三:设AM＝x,AN＝y,∠AMN＝α．在△AMN中,因为MN＝2,∠MAN＝60°,所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN,即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．…………………………2分因为＝,即＝,所以sinα＝y,cosα＝＝＝．………………………4分cos∠AMP＝cos（α＋60°）＝cosα－sinα＝·－·y＝．…6分在△AMP中,AP2＝AM2＋PM2－2AM·PM·cos∠AMP,即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x（x－2y）＝4＋2xy．……………………10分因为x2＋y2－xy＝4,4＋xy＝x2＋y2≥2xy,即xy≤4．所以AP2≤12,即AP≤2．当且仅当x＝y＝2时,AP取得最大值2．答:设计AM＝AN＝2km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………12分解法四（坐标法）:以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系．设M（x1,0）,N（x2,x2）,P（x0,y0）．∵MN＝2,∴（x1－x2）2＋3x＝4．…………………………2分MN的中点K（,x2）．∵△MNP为正三角形,且MN＝2,∴PK＝,PK⊥MN,∴PK2＝（x0－）2＋（y0－x2）2＝3,-12-kMN·kPK＝－1,即·＝－1,………………4分∴y0－x2＝（x0－）,∴（y0－x2）2＝（x0－）2∴（1＋）（x0－）2＝3,即（x0－）2＝3,∴（x0－）2＝x．∵x0－＞0∴x0－＝x2,∴x0＝x1＋2x2,∴y0＝x1．…………………6分∴AP2＝x＋y＝（2x2＋x1）2＋x＝x＋4x＋2x1x2＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12,……………………10分即AP≤2．答:设计AM＝AN＝2km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．………12分解法五（几何法）:由运动的相对性,可使△PMN不动,点A在运动．由于∠MAN＝60°,∴点A在以MN为弦的一段圆弧（优弧）上,………4分设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，由图形的几何性质知:AP的最大值为PF＋R．……6分在△AMN中,由正弦定理知:＝2R,∴R＝,…………8分∴FM＝FN＝R＝,又PM＝PN,∴PF是线段MN的垂直平分线．设PF与MN交于E，则FE2＝FM2－ME2＝R2－12＝．即FE＝，又PE＝．………10∴PF＝,∴AP的最大值为PF＋R＝2．答:设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小………………12分19．解:（Ⅰ）由题意知,总的样本空间有组……1分-12-方法1:若方程没有解,则,即……3分（方法2:带入消元得,因为,所以当时方程组无解）所以符合条件的数组为,……4分所以,故方程组没有解的概率为……5分（Ⅱ）由方程组得……6分若,则有即符合条件的数组有共有个……8分若,则有即符合条件的数组有共个……10分∴所以概率为,即点P落在第四象限且P的坐标满足方程组（※）的概率为．……12分20．解（1）AB//平面DEF,在△ABC中,∵E,F分别是AC,BC的中点,故EF//AB,又AB平面DEF,∴AB//平面DEF,……4分（2）∵AD⊥CD,BD⊥CD,将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B∴AD⊥BD,AD⊥平面BCD,取CD中点M,则EM//AD,∴EM⊥平面BCD,且EM=a/2,a=2．……8分（3）存在满足条件的点P．做法:因为三角形BDF为正三角形,过B做BK⊥DF,延长BK交DC于K,过K做KP//DA,交AC于P．则点P即为所求．证明:∵AD⊥平面BCD,KP//DA,∴PK⊥平面BCD,PK⊥DF,又BK⊥DF,PK∩BK=K,∴DF⊥平面PKB,DF⊥PB．又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,∴DK=KF=KC/2．故AP:OC=1:2,AP:AC=1:3……12分-12-21．（1）由已知,设抛物线方程为x2=2py,22=2p×2,解得p=1．所求抛物线C1的方程为x2=2y．-------3分（2）法1:设圆心C2（a,a2/2）,则圆C2的半径r=圆C2的方程为．令y=0,得x2－2ax+a2－1=0,得x1=a－1,x2=a+1．|MN|=|x1－x2|=2（定值）．------7分法2:设圆心C2（a,b）,因为圆过A（0,1）,所以半径r=,,因为C2在抛物线上,a2=2b,且圆被x轴截得的弦长|MN|==2=2（定值）---7分（3）由（2）知,不妨设M（a-1,0）,N（a+1,0）,----------------------12分22．解:（Ⅰ）当a＝2,b＝1时,f（x）＝（2＋）ex,定义域为（－∞,0）∪（0,＋∞）．所以f′（x）＝ex．…………………2分令f′（x）＝0,得x1＝－1,x2＝,列表x（－∞,－1）－1（－1,0）（0,）（,＋∞）f′（x）－－f（x）↗极大值↘↘极小值↗由表知f（x）的极大值是f（－1）＝e－1,f（x）的极小值是f（）＝4．………4分（Ⅱ）①因为g（x）＝（ax－a）ex－f（x）＝（ax－－2a）ex,当a＝1时,g（x）＝（x－－2）ex．因为g（x）≥1在x∈（0,＋∞）上恒成立,-12-所以b≤x2－2x－在x∈（0,＋∞）上恒成立．………………7分记h（x）＝x2－2x－（x＞0）,则h′（x）＝．当0＜x＜1时,h′（x）＜0,h（x）在（0,1）上是减函数;当x＞1时,h′（x）＞0,h（x）在（1,＋∞）上是增函数;所以h（x）min＝h（1）＝－1－e－1;所以b的最大值为－1－e－1．…………9分解法二:因为g（x）＝（ax－a）ex－f（x）＝（ax－－2a）ex,当a＝1时,g（x）＝（x－－2）ex．因为g（x）≥1在x∈（0,＋∞）上恒成立，所以g（2）＝－e2＞0,因此b＜0．………………5分g′（x）＝（1＋）ex＋（x－－2）ex＝．因为b＜0,所以:当0＜x＜1时,g′（x）＜0,g（x）在（0,1）上是减函数；当x＞1时,g′（x）＞0,g（x）在（1,＋∞）上是增函数．所以g（x）min＝g（1）＝（－1－b）e－1………………………………7分因为g（x）≥1在x∈（0,＋∞）上恒成立，所以（－1－b）e－1≥1,解得b≤－1－e－1因此b的最大值为－1－e－1．…………………9分②解法一:因为g（x）＝（ax－－2a）ex,所以g′（x）＝（＋ax－－a）ex．由g（x）＋g′（x）＝0,得（ax－－2a）ex＋（＋ax－－a）ex＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．存在x＞1,使g（x）＋g′（x）＝0成立．等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．……………………11分因为a＞0,所以＝．设u（x）＝（x＞1）,则u′（x）＝．因为x＞1,u′（x）＞0恒成立,所以u（x）在（1,＋∞）是增函数,所以u（x）＞u（1）＝－1,所以＞－1,即的取值范围为（－1,＋∞）．…………………14分解法二:因为g（x）＝（ax－－2a）ex,所以g′（x）＝（＋ax－－a）ex．由g（x）＋g′（x）＝0,得（ax－－2a）ex＋（＋ax－－a）ex＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．存在x＞1,使g（x）＋g′（x）＝0成立．等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．……11分-12-设u（x）＝2ax3－3ax2－2bx＋b（x≥1）u′（x）＝6ax2－6ax－2b＝6ax（x－1）－2b≥-2b当b≤0时,u′（x）≥0此时u（x）在[1,＋∞）上单调递增,因此u（x）≥u（1）＝－a－b因为存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立所以只要－a－b＜0即可,此时－1＜≤0………………………………12分当b＞0时,令x0＝＞＝＞1,得u（x0）＝b＞0,又u（1）＝－a－b＜0于是u（x）＝0,在（1,x0）上必有零点即存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立,此时＞0…………………………13分综上有的取值范围为（－1,+∞）------14分-12-