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山西省晋中市平遥二中高二数学上学期期中试卷理含解析
山西省晋中市平遥二中高二数学上学期期中试卷理含解析
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2022-2022学年山西省晋中市平遥二中高二(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A﹣BCD.则在三棱锥A﹣BCD中,下列命题正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC2.若直线l过点且被圆x2+y2=25截得的弦长为8,则直线l的方程是()A.x=﹣3B.C.3x+4y+15=0D.x=﹣3或3x+4y+15=03.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是()A.B.C.D.04.在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是()A.B.C.D.5.若直线=1与图x2+y2=1有公共点,则()-17-\nA.a2+b2≤1B.a2+b2≥1C.D.6.已知圆C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直线l:x﹣y+3=0,当直线l被C截得弦长为2时,则a等于()A.B.2﹣C.﹣1D.+17.圆:x2+y2﹣4x+6y=0和圆:x2+y2﹣6x=0交于A,B两点,则直线AB的方程是()A.x+3y=0B.3x+y=0C.3x﹣y=0D.3y﹣5x=08.平面α与平面β平行的条件可以是()A.α内有无穷多条直线与β平行B.α内的任何直线都与β平行C.直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥αD.直线a⊂α,直线a∥β9.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若m⊥α,n∥α,则m⊥n②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ③若m∥α,n∥α,则m∥n④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β其中正确命题的序号是()A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④10.直线kx﹣y+1﹣3k=0,当k变化是,所有直线恒过定点()A.(0,0)B.(3,1)C.(1,3)D.(﹣1,﹣3)11.用斜二测画法画出长为6,宽为4的矩形水平放置的直观图,则该直观图面积为()A.12B.24C.D.12.水平放置的△ABC的直观图如图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC是一个()A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形-17-\n二、填空题(每小题5分,共20分)13.正方体的内切球与外接球的表面积的比为__________.14.若圆B:x2+y2+b=0与圆C:x2+y2﹣6x+8y+16=0没有公共点,则b的取值范围是__________.15.直线y=k(x﹣1)与以A(3,2)、B(2,3)为端点的线段有公共点,则k的取值范围是__________.16.一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个正三棱柱的表面积__________.三、解答题.本大题共6个小题,共70分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17.求经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0垂直的直线方程.18.如图,已知空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E、F分别是BC、AD上的点,并且BE:EC=AF:FD=1:2,EF=,求AB和CD所成角的大小.19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,E是PC的中点.(1)证明:PA∥平面EDB;(2)证明:平面PAC⊥平面PDB.-17-\n20.已知点A(﹣1,2),B(0,1),动点P满足.(Ⅰ)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;(Ⅱ)若点Q在直线l1:3x﹣4y+12=0上,直线l2经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M,求|QM|的最小值.21.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,(1)证明:BC1⊥面A1B1CD;(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.22.(14分)已知圆C:(x﹣1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B(1)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程;(2)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.(3)设圆C与x轴交于M、N两点,有一动点Q使∠MQN=45°.试求动点Q的轨迹方程.-17-\n2022-2022学年山西省晋中市平遥二中高二(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A﹣BCD.则在三棱锥A﹣BCD中,下列命题正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定.【专题】证明题.【分析】由题意推出CD⊥AB,AD⊥AB,推出AB⊥平面ADC,可得平面ABC⊥平面ADC.【解答】解:∵在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD故CD⊥平面ABD,则CD⊥AB,又AD⊥AB故AB⊥平面ADC,所以平面ABC⊥平面ADC.故选D.【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查逻辑思维能力,是中档题.2.若直线l过点且被圆x2+y2=25截得的弦长为8,则直线l的方程是()A.x=﹣3B.C.3x+4y+15=0D.x=﹣3或3x+4y+15=0【考点】直线与圆的位置关系;直线的一般式方程.【专题】直线与圆.【分析】由圆的方程得到圆的圆心坐标和半径,再结合直线被圆截得的弦长等于8求出圆心到直线的距离,然后分直线的斜率存在和不存在求解直线方程,斜率不存在时直接得答案,斜率存在时由点到直线的距离公式求解.【解答】解:如图,∵圆x2+y2=25的半径为5,直线l被圆截得的半弦长为4,∴圆心到直线的距离为3.当直线l过点且斜率不存在时,直线方程为x=﹣3,满足题意;当斜率存在时,设斜率为k,则直线的点斜式方程为,整理得:2kx﹣2y+6k﹣3=0.由圆心(0,0)到直线2kx﹣2y+6k﹣3=0的距离等于3得:,解得:k=.-17-\n∴直线方程为3x+4y+15=0.综上,直线l的方程是x=﹣3或3x+4y+15=0.故选:D.【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,考查了分类讨论的数学思想方法,具体方法是由圆心到直线的距离列式求解,是中档题.3.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是()A.B.C.D.0【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离;异面直线及其所成的角.【专题】空间位置关系与距离;空间向量及应用.【分析】以DA,DC,DD1所在直线方向x,y,z轴,建立空间直角坐标系,可得和的坐标,进而可得cos<,>,可得答案.【解答】解:以DA,DC,DD1所在直线方向x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则可得A1(1,0,2),E(0,0,1),G(0,2,1),F(1,1,0)∴=(﹣1,0,﹣1),=(1,﹣1,﹣1)设异面直线A1E与GF所成角的为θ,则cosθ=|cos<,>|=0,故选:D【点评】本题考查异面直线所成的角,建立空间直角坐标系是解决问题的关键,属中档题.-17-\n4.在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是()A.B.C.D.【考点】确定直线位置的几何要素.【专题】数形结合.【分析】本题是一个选择题,按照选择题的解法来做题,由y=x+a得斜率为1排除B、D,由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增,则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上;若y=ax递减,则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上,得到结果.【解答】解:由y=x+a得斜率为1排除B、D,由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增,则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上;若y=ax递减,则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上;故选C.【点评】本题考查确定直线为主的几何要素,考查斜率和截距对于一条直线的影响,是一个基础题,这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定.5.若直线=1与图x2+y2=1有公共点,则()A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1C.D.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径,可以得到结果.【解答】解:直线与圆有公共点,即直线与圆相切或相交得:d≤r故选D.【点评】本题考查点到直线的距离公式,直线和圆的位置关系,是基础题.6.已知圆C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直线l:x﹣y+3=0,当直线l被C截得弦长为2时,则a等于()A.B.2﹣C.﹣1D.+1【考点】直线与圆相交的性质.【专题】计算题.【分析】由弦长公式求得圆心(a,2)到直线l:x﹣y+3=0的距离等于1,再根据点到直线的距离公式得圆心到直线l:x﹣y+3=0的距离也是1,解出待定系数a.【解答】解:圆心为(a,2),半径等于2,由弦长公式求得圆心(a,2)到直线l:x﹣y+3=0的距离为==1,-17-\n再由点到直线的距离公式得圆心到直线l:x﹣y+3=0的距离1=,∴a=﹣1.故选C.【点评】本题考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用.7.圆:x2+y2﹣4x+6y=0和圆:x2+y2﹣6x=0交于A,B两点,则直线AB的方程是()A.x+3y=0B.3x+y=0C.3x﹣y=0D.3y﹣5x=0【考点】两圆的公切线条数及方程的确定.【专题】计算题.【分析】当两圆相交时,直接将两个圆方程作差,即得两圆的公共弦所在的直线方程.【解答】解:因为两圆相交于A,B两点,则A,B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程,又满足第二个圆的方程将两个圆方程:x2+y2﹣4x+6y=0和圆:x2+y2﹣6x=0作差,得直线AB的方程是:x+3y=0,故选A.【点评】本题考查相交弦所在的直线的方程,两圆相交时,将两个圆方程作差,即得公共弦所在的直线方程.8.平面α与平面β平行的条件可以是()A.α内有无穷多条直线与β平行B.α内的任何直线都与β平行C.直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥αD.直线a⊂α,直线a∥β【考点】平面与平面平行的判定.【专题】空间位置关系与距离.【分析】根据面面平行的判定定理,只要其中一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面即可.【解答】解:对于选项A,α内有无穷多条直线与β平行,如果这无穷多条直线是平行的,α,β可能相交;对于选项B,α内的任何直线都与β平行,一定有两条相交直线与β平行,满足面面平行的判定定理,可以得到α∥β;对于选项C,直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α,如果a,b都平行α,β的交线,但是α与β相交;对于选项D,直线a⊂α,直线a∥β,α,β可能相交;故选B.【点评】本题考查了面面平行的判定以及学生的空间想象能力.9.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若m⊥α,n∥α,则m⊥n②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ③若m∥α,n∥α,则m∥n④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β其中正确命题的序号是()A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④-17-\n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;命题的真假判断与应用;空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系.【专题】证明题;压轴题;空间位置关系与距离.【分析】根据线面平行性质定理,结合线面垂直的定义,可得①是真命题;根据面面平行的性质结合线面垂直的性质,可得②是真命题;在正方体中举出反例,可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行,垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行,可得③④不正确.由此可得本题的答案.【解答】解:对于①,因为n∥α,所以经过n作平面β,使β∩α=l,可得n∥l,又因为m⊥α,l⊂α,所以m⊥l,结合n∥l得m⊥n.由此可得①是真命题;对于②,因为α∥β且β∥γ,所以α∥γ,结合m⊥α,可得m⊥γ,故②是真命题;对于③,设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线,而平面α是正方体下底面所在的平面,则有m∥α且n∥α成立,但不能推出m∥n,故③不正确;对于④,设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面,则有α⊥γ且β⊥γ,但是α⊥β,推不出α∥β,故④不正确.综上所述,其中正确命题的序号是①和②故选:A【点评】本题给出关于空间线面位置关系的命题,要我们找出其中的真命题,着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识,属于中档题.10.直线kx﹣y+1﹣3k=0,当k变化是,所有直线恒过定点()A.(0,0)B.(3,1)C.(1,3)D.(﹣1,﹣3)【考点】恒过定点的直线.【专题】直线与圆.【分析】化直线方程为点斜式,由点斜式的特点可得答案.【解答】解:直线方程kx﹣y+1﹣3k=0可化为y﹣1=k(x﹣3),由直线的点斜式可知直线过定点(3,1)故选:B.【点评】本题考查直线过定点问题,化直线方程为点斜式是解决问题的关键,属基础题.11.用斜二测画法画出长为6,宽为4的矩形水平放置的直观图,则该直观图面积为()A.12B.24C.D.【考点】简单空间图形的三视图.【专题】规律型.【分析】根据斜二测画法的规则,分别求出直观图的边长关系,即可求直观图的面积.【解答】解:根据斜二测画法的规则可知,矩形的直观图为平行四边形,其中O'C'=OC=6,O'A'=OA=2,∠A'O'C'=45°,∴平行四边形的面积S=2S△O'A'C'=2×=,故选:C.-17-\n【点评】本题主要考查斜二测画法的应用,熟练掌握斜二测画法的基本原则.12.水平放置的△ABC的直观图如图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC是一个()A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形【考点】平面图形的直观图.【专题】计算题;转化思想.【分析】由图形和A′O′=通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B'C',AO⊥BC,且AO=,故三角形为正三角形.【解答】解:由图形知,在原△ABC中,AO⊥BC,∵A′O′=∴AO=∵B′O′=C′O′=1∴BC=2∴AB=AC=2∴△ABC为正三角形.故选A【点评】本题考查了平面图形的直观图的画法及其先关性质,把握好直观图与原图形的关系,是个基础题.二、填空题(每小题5分,共20分)13.正方体的内切球与外接球的表面积的比为.【考点】球的体积和表面积.【专题】计算题.【分析】正方体的内切球的直径为正方体的棱长,外接球的直径为正方体的对角线长,设出正方体的棱长,即可求出两个半径,求出两个球的面积之比.-17-\n【解答】解:正方体的内切球的直径为,正方体的棱长,外接球的直径为,正方体的对角线长,设正方体的棱长为:2a,所以内切球的半径为:a;外接球的直径为2a,半径为:a,正方体的内切球与外接球的面积之比:==.故答案为:.【点评】本题是基础题,考查正方体的外接球与内切球的面积之比,求出外接球的半径,是解决本题的关键.14.若圆B:x2+y2+b=0与圆C:x2+y2﹣6x+8y+16=0没有公共点,则b的取值范围是{b|﹣4<b<0,或b<﹣64}.【考点】圆与圆的位置关系及其判定.【专题】直线与圆.【分析】由题意可得,两个圆相离或相内含,若两个圆相离,则由两个圆的圆心距d大于两个圆的半径之和,求得b的范围.若两个圆相内含,则由两个圆的圆心距d小于两个圆的半径之差,求得b的范围,再把这2个b的范围取并集,即得所求.【解答】解:圆B:x2+y2+b=0表示圆心为O(0,0)、半径等于的圆,(b<0);圆C:x2+y2﹣6x+8y+16=0即(x﹣3)2+(y+4)2=9表示圆心为(3,﹣4)、半径等于3的圆.由题意可得,两个圆相离或相内含.若两个圆相离,则由两个圆的圆心距d大于两个圆的半径之和,即>3+,求得﹣4<b<0.若两个圆相内含,则由两个圆的圆心距d小于两个圆的半径之差,即<|3﹣|,求得b<﹣64,故答案为:{b|﹣4<b<0,或b<﹣64}.【点评】本题主要考查圆的标准方程,两个圆的位置关系的判定方法,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题.15.直线y=k(x﹣1)与以A(3,2)、B(2,3)为端点的线段有公共点,则k的取值范围是[1,3].【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.【专题】计算题.【分析】求出直线恒过的定点,画出图形,求出PA,PB的斜率即可得到k的范围.【解答】解:因为直线y=k(x﹣1)恒过P(1,0),画出图形,直线y=k(x﹣1)与以A(3,2)、B(2,3)为端点的线段有公共点,就是直线落在阴影区域内,所以kPA==1;kPB==3;所求k的范围是[1,3].-17-\n故答案为:[1,3].【点评】本题是基础题,考查直线的斜率的应用,斜率的求法,考查数形结合的思想,计算能力.16.一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个正三棱柱的表面积24.【考点】由三视图求面积、体积.【专题】空间位置关系与距离.【分析】根据三视图可判断几何体是一个一个正三棱柱,底面边长为4,高为2,再根据几何体求解面积.【解答】解:三视图如图所示:根据三视图可判断几何体是一个一个正三棱柱,底面边长为2,高为2,∴表面积:3×4×2+2××(4)2=24+8;故答案为:24+8;【点评】本题考查了空间几何体的三视图,性质,面积公式,属于中档题.-17-\n三、解答题.本大题共6个小题,共70分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17.求经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0垂直的直线方程.【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.【专题】直线与圆.【分析】依题意,可求得两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点,利用所求直线与直线3x+y﹣1=0垂直可求得其斜率,从而可得其方程.【解答】解:由得交点(,)…又直线3x+y﹣1=0斜率为﹣3,…所求的直线与直线3x+y﹣1=0垂直,所以所求直线的斜率为,…所求直线的方程为y+=(x+),化简得:5x﹣15y﹣18=0…【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系,考查直线的点斜式方程,求得直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点与斜率是关键,属于基础题.18.如图,已知空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E、F分别是BC、AD上的点,并且BE:EC=AF:FD=1:2,EF=,求AB和CD所成角的大小.【考点】异面直线及其所成的角.【专题】计算题;空间角.【分析】连结BD,在BD上取点G,使BG:GD=1:2,连结EG、FG,利用线段成比例证出EG∥CD且FG∥AB,可得EG和FG所成的锐角(或直角)就是异面直线AB和CD所成的角.分别算出EG、FG的长,在△EFG中利用余弦定理算出∠EGF=60°,即可得出AB与CD所成的角的大小.【解答】解:连结BD,在BD上取点G,使BG:GD=1:2,连结EG、FG,∵在△BCD中,=,∴EG∥CD同理可证:FG∥AB∴EG和FG所成的锐角(或直角)就是异面直线AB和CD所成的角.∵在△BCD中,EG∥CD,CD=3,BG:GD=1:2,∴EG==1.又∵在△ABD中,FG∥AB,AB=3,FG:AB=2:3,∴FG==2.-17-\n在△EFG中,EG=1,FG=2,EF=,∴由余弦定理,得,∴∠EGF=60°,即EG和FG所成的锐角为60°.因此,AB与CD所成的角为60°.【点评】本题在特殊的空间四边形中求异面直线所成角大小.着重考查了空间平行线的判定与性质、余弦定理和异面直线所成角的定义与求法等知识,属于中档题.19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,E是PC的中点.(1)证明:PA∥平面EDB;(2)证明:平面PAC⊥平面PDB.【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.【专题】证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.【分析】(1)欲证PA∥平面EDB,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面EDB内一直线平行,连接AC,交BD于O,连接EO,根据中位线定理可知EO∥PA,PA⊄平面EDB,EO⊂平面EDB,满足定理所需条件;(2)证明AC⊥平面PBD,即可证明平面PAC⊥平面PDB.【解答】证明:(1)设AC与BD相交于点O,则O为AC的中点.∵E是P的中点,∴EO∥PA又∵EO⊂平面EDB,PA⊄平面EDB,∴PA∥平面EDB;(2)∵PO⊥平面ABCD,∴PD⊥AC又∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD从而AC⊥平面PBD,∴平面PAC⊥平面PBD.-17-\n【点评】本题考查直线与平面平行的判定,以及平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力,逻辑思维能力,计算能力,是中档题.20.已知点A(﹣1,2),B(0,1),动点P满足.(Ⅰ)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;(Ⅱ)若点Q在直线l1:3x﹣4y+12=0上,直线l2经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M,求|QM|的最小值.【考点】轨迹方程.【专题】直线与圆.【分析】1)设P点的坐标为(x,y),利用点A(﹣1,2),B(0,1),动点P满足,建立方程,整理即得点P的轨迹方程;(2)结合题意,|QM|最小时,|CQ|最小,当且仅当圆心C到直线的距离最小,利用勾股定理,求出|QM|就是最小值.【解答】解:(Ⅰ)设P(x,y),则∵点A(﹣1,2),B(0,1),动点P满足,∴,∴化简(x﹣1)2+y2=4;(Ⅱ)由题意,|QM|最小时,|CQ|最小,当且仅当圆心C到直线的距离最小,此时d==3,∴由勾股定理可得|QM|的最小值为=.【点评】本题考查两点间距离公式及圆的性质,着重考查直线与圆的位置关系,勾股定理的应用,考查计算能力,转化思想的应用,属于中档题.21.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,(1)证明:BC1⊥面A1B1CD;(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.-17-\n【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.【分析】(1)要证BC1⊥面A1B1CD;应通过证明A1B1⊥BC1.BC1⊥B1C两个关系来实现,两关系容易证明.(2)因为BC1⊥平面A1B1CD,所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影,所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.在RT△A1BO中求解即可.【解答】解:(1)连接B1C交BC1于点O,连接A1O.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中因为A1B1⊥平面BCC1B1.所以A1B1⊥BC1.又∵BC1⊥B1C,又BC1∩B1C=O∴BC1⊥平面A1B1CD(2)因为BC1⊥平面A1B1CD,所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影,所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.设正方体的棱长为a在RT△A1BO中,A1B=a,BO=a,所以BO=A1B,∠BA1O=30°,即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.【点评】本题考查空间直线与平面垂直关系的判断,线面角大小求解,考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力.22.(14分)已知圆C:(x﹣1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B(1)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程;(2)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.(3)设圆C与x轴交于M、N两点,有一动点Q使∠MQN=45°.试求动点Q的轨迹方程.【考点】直线和圆的方程的应用;直线的一般式方程;轨迹方程.【专题】计算题.【分析】(1)由已知中圆C的标准方程,我们易确定圆心C的坐标,进而得到直线PC的斜率,然后根据弦AB被点P平分,我们易得l与直线PC垂直,利用点斜式易求出满足条件的直线l的方程;(2)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,由此我们可得到直线l的方程,代入点到直线距离公式,求出弦心距,然后根据弦心距,半弦长,半径构成直角三角形,满足勾股定理,得到弦AB的长.(3)由圆C与x轴交于M、N两点,我们易求出M、N两点的坐标,然后根据动点Q使∠MQN=45°,构造关于动点(x,y)的方程,整理即可得到动点Q的轨迹方程.【解答】解(1)已知圆C:(x﹣1)2+y2=9的圆心为C(1,0),因直线过点P与PC垂直,所以直线l的斜率为﹣,-17-\n直线l的方程为y﹣2=﹣(x﹣2),即x+2y﹣6=0.(2)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y﹣2=x﹣2,即x﹣y=0圆心C到直线l的距离为,圆的半径为3,弦AB的长为.(3)∵圆C与x轴交于M(﹣2,0),N(4.0)两点∴tan45°=.1=1=x2﹣2x﹣8+y2=6y或x2﹣2x﹣8=﹣6y∴Q点的轨迹方程是:(x﹣1)2+(y﹣3)2=18(y>0),或(x﹣1)2+(y+3)2=18(y<0)【点评】本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用,直线的一般式方程,轨迹方程,其中由于直线l过点P(2,2),故使用点斜式方程求解比较简便.-17-
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