2022-2022学年第一学期高二期中测试数学试题(满分150分,时间120分钟)一、选择题(每题5分,共60分)1、过点且与直线垂直的直线方程是( )A. B. C. D. 2、若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 3、若直线与直线垂直,则的值是( )A. 或 B. 或 C. 或 D. 或14、a,b,c表示直线,M表示平面,给出下列四个命题:①若a∥M,b∥M,则a∥b;②若bM,a∥b,则a∥M;③若a⊥c,b⊥c,则a∥b;④若a⊥M,b⊥M,则a∥b.其中正确命题的个数有()A、0个B、1个C、2个D、3个5、点P为ΔABC所在平面外一点,PO⊥平面ABC,垂足为O,若PA=PB=PC,则点O是ΔABC的()A、内心B、垂心C、重心D、外心6.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图△A′B′O′,已知O′B′=4,A′B′∥y′轴,且△ABO的面积为16,则A′O′的长为()A.4B.4C.2D.807.已知一块圆心角为300°的扇形铁皮,用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),圆锥的底面圆的直径是80cm,则这块扇形铁皮的半径是( )A.48cmB.24cmC.96cmD.192cm8\n8.四棱台的上、下底面均为正方形,它们的边长分别是1、2,侧棱长为,则该四棱台的高为()A.B.C.D.9.如图,在三棱锥中,侧面底面BCD,,,,,直线AC与底面BCD所成角的大小为 B. C. D. 10、某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为( )A. B. C. D. 11.如图,在透明塑料制成的长方体-容器内灌进一些水,将容器底面一边BC固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法:(1)水的部分始终呈棱柱状;(2)水面四边形EFGH的面积不改变;(3)棱始终与水面EFGH平行(4)当点E在上时,AE+BF是定值.其中正确的说法是( )A.(1)(2)(3)B.(1)(3)C.(1)(2)(3)(4)D.(1)(3)(4)12、如图:直三棱柱ABC—的体积为V,点P、Q分别在侧棱A和C上,AP=Q,则四棱锥B—APQC的体积为()A、B、C、D、8\n二、填空题(每题5分,共20分)13.不论k为何值,直线(2k﹣1)x﹣(k﹣2)y﹣(k+4)=0恒过的一个定点是________.14.若两条直线x+ay+3=0,(a﹣1)x+2y+a+1=0互相平行,则这两条直线之间的距离为________.15、圆锥的底面直径为AB=6,母线SB=9,D为SB上一点,且SD=SB,则点A沿圆锥表面到D点的最短距离为______16、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD成60°的角;④AB与CD所成的角是60°其中正确结论的序号______.三、解答题(本题六小题,共70分))17、(10分)已知直线经过点且圆的圆心到的距离为.(1)求直线被该圆所截得的弦长;(2)求直线的方程.18、(12分)已知圆的圆心在直线上,且圆经过点与点.(1)求圆的方程;(2)过点作圆的切线,求切线所在的直线的方程.19.(12分)如图,E、F、G、H分别是正方体ABCD-的棱BC、C、A的中点.求证:(1)GE∥平面BD(2)平面BDF∥平面H8\n20、(12分)如图所示,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=2,M为BC的中点.(1)证明:AM⊥PM;(2)求二面角P-AM-D的大小.21、(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.(1)证明:CD⊥平面PAE;(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.22、(12分)在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,EC⊥底面ABCD,F为BE的中点.(1)求证:DE∥平面ACF;(2)求证:BD⊥AE;(3)若AB=CE,在线段EO上是否存在点G,使CG⊥平面BDE?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.8\n2022-2022学年第一学期高二期中测试数学答案一、选择题(每题5分,共60分)CCBBDBAABADB二、填空题(每题5分,共20分)13、(2,3)14、15、_316、_①②④_三、解答题17、(1)解:易得圆心坐标为(0,-2),半径为5所以弦长为2(2)解:易知,当直线的的斜率不存在时,不满足题意.设直线的的斜率为k,则其方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0因为圆心到的距离为,所以解得k=2或所以直线的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=018、(1)解:设线段的中点为,∵,∴线段的垂直平分线为,与联立得交点,∴.∴圆的方程为(2)解:当切线斜率不存在时,切线方程为.当切线斜率存在时,设切线方程为,即,则到此直线的距离为,解得,∴切线方程为.故满足条件的切线方程为或19、证明 (1)取B1D1中点O,连接GO,OB,易证OGB1C1,BEB1C1,∴OGBE,四边形BEGO为平行四边形.∴OB∥GE.∵OB⊂平面BDD1B1,GE⊄平面BDD1B1,∴GE∥平面BDD1B1.8\n(2)由正方体性质得B1D1∥BD,∵B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,∴B1D1∥平面BDF.连接HB,D1F,易证HBFD1是平行四边形,∴HD1∥BF.∵HD1⊄平面BDF,BF⊂平面BDF,∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1=D1,∴平面BDF∥平面B1D1H.20、(1)证明:如图所示,取CD的中点E,连接PE,EM,EA,∵△PCD为正三角形,∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°=.∵平面PCD⊥平面ABCD,∴PE⊥平面ABCD,而AM⊂平面ABCD,∴PE⊥AM.∵四边形ABCD是矩形,∴△ADE,△ECM,△ABM均为直角三角形,由勾股定理可求得EM=,AM=,AE=3,∴EM2+AM2=AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM=E,∴AM⊥平面PEM,∴AM⊥PM.(2)解:由(1)可知EM⊥AM,PM⊥AM,∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角.∴tan∠PME===1,∴∠PME=45°.∴二面角P-AM-D的大小为45°.21、(1)如图所示,连接AC,由AB=4,BC=3,∠ABC=90°,得AC=5.又AD=5,E是CD的中点,所以CD⊥AE.∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.(2)过点B作BG∥CD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.8\n由(1)CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角,且BG⊥AE.由PA⊥平面ABCD知,∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.AB=4,AG=2,BG⊥AF,由题意,知∠PBA=∠BPF,因为sin∠PBA=,sin∠BPF=,所以PA=BF.由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC,又BG∥CD,所以四边形BCDG是平行四边形,故GD=BC=3.于是AG=2.在Rt△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以BG==2,BF===.于是PA=BF=.又梯形ABCD的面积为S=×(5+3)×4=16,所以四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=.22、(1)证明 连接OF.由ABCD是正方形可知,点O为BD的中点.又F为BE的中点,∴OF∥DE.又OF⊂平面ACF,DE⊄面ACF,所以DE∥平面ACF.(2)证明 由EC⊥底面ABCD,BD⊂底面ABCD,∴EC⊥BD.由ABCD是正方形可知,AC⊥BD.又AC∩EC=C,AC,EC⊂平面ACE,∴BD⊥平面ACE.又AE⊂平面ACE,∴BD⊥AE.(3)解 在线段EO上存在点G,使CG⊥平面BDE.理由如下:取EO的中点G,连接CG.在四棱锥E-ABCD中,AB=CE,CO=AB=CE,∴CG⊥EO.由(2)可知,BD⊥平面ACE,而BD⊂平面BDE,∴平面ACE⊥平面BDE,且平面ACE∩平面BDE=EO.∵CG⊥EO,CG⊂平面ACE,∴CG⊥平面BDE.故在线段EO上存在点G,使CG⊥平面BDE.由G为EO的中点,得=.8\n8