山西省阳泉二中高二数学上学期期中试题
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山西省阳泉二中2022-2022学年高二数学上学期期中试题一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求)1.已知直线l:x+y-1=0,则l的倾斜角为( )A.30° B.45° C.60° D.135°2.某同学做一玩具,其三视图如图所示,他欲将该玩具全部用铁皮包裹,则所需要铁皮的面积为()A.5πB.12πC.16πD.20π(第2题图)3.两条直线l1:2x+y+c=0,l2:x-2y+1=0的位置关系是( )A.垂直B.平行C.重合D.不能确定4.点P(1,-1)到直线l:的距离是( )A.B.C.D.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,体对角线BD1和平面ABCD所成角的余弦值为()A.B.C.D.6.已知直线(a-2)x+ay-1=0与直线2x+3y+5=0平行,则a的值为( )A.6B.-6C.D.-7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1上的点,F为CC1上的点,则下列直线中一定与EF垂直的是( )A.AC B.BD C.A1D1 D.A1A8.圆x2+y2=4与圆x2+y2-6x+8y-24=0的位置关系是( )A.相交B.相离C.内切D.外切(第7题图)9.已知α、β是平面,m、n是直线,给出下列命题:①若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交;④若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥β.其中真命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3-8-\n10.(文科)已知直线l:3x-4y+m=0与圆C:(x-1)2+(y-2)2=4相交于M、N两点,若|MN|=2,则m的值是( )A.0B.5C.10D.0或10(理科)已知直线l:3x-4y+m=0和圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,且圆C上至少存在两点到直线l的距离为1,则m的取值范围是( )A.(-17,13)B.(-17,-7)C.(-17,-7)∪(3,13)D.[-17,-7]∪[3,13]二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.)资11.以点C(2,-1)为圆心、3为半径的圆的标准方程为.12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=,AA1=2,则异面DD1和BC1所成角的大小是.(第12题图)13.经过两条直线x+y-3=0和x-2y+3=0的交点,且与直线2x+y-7=0平行的直线方程是.14.点D为△ABC所在平面外一点,E、F分别为DA和DC上的点,G、H分别为BA和BC上的点,且EF和GH相交于点M,则点M一定在直线上.15.若直线l:y=x+m和圆C:x2+y2﹣2x﹣2y=0只有一个公共点,则m=.16.(文科)一个长方体的长、宽、高分别为4、、3,若它的各个顶点都在同一个球面上,则这个球的体积是.(理科)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,且SC⊥平面ABC,若SC=AB=AC=1,∠BAC=120°,则球O的表面积为.三、解答题(本大题共5个小题,共52分.解答应写出必要的文字说明或推理、演算过程)17.(10分)△ABC的三个顶点的坐标分别是A(0,0),B(0,6),C(4,8),求它的外接圆的方程.18.(10分)如图,BD是空间四边形ABCD的一条对角线,平行四边形EFGH的各顶点-8-\n分别在边AB、BC、CD、DA上,求证:BD∥平面EFGH.(第18题图)19.(10分)已知线段AB的端点B的坐标是(4,4),端点A在圆O:上运动,求AB中点M的轨迹方程,并指出它的轨迹是什么图形.(第19题图)20.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为1的正方形,侧棱PD=1,PA=PC=,(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:平面PAC⊥平面PBD;(3)(文科)求点A到平面PBC的距离;(理科)求二面角P-AC-D的正切值.(第20题图)21.(10分)已知圆C:,直线.(1)求证:对,直线与圆总有两个不同的交点;-8-\n(2)设直线与圆交于A、B两点,O为坐标原点,若OA⊥OB,求实数的值.-8-\n2022—2022学年度第一学期期中试题参考答案高二数学一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)文科:DBADBABCCD理科:DBADBABCCA二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)11.;12.600或;13.2x+y-4=0;14.AC15.-2或2;16.文:36,理:5.三、解答题(本大题共5个小题,共52分,解答应写出必要的文字说明或推理、演算过程)17.(10分)解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则∴D=-8,E=-6,F=0,.........................5分∴△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-6y=0..................................10分(其它方法酌情给分)18.(10分)证明:∵四边形EFGH是平行四边形,∴EH∥FG,∵EH平面ABD,FG平面ABD,∴FG∥平面ABD,∵FG平面CBD,平面CBD∩平面ABD=BD,∴BD∥FG,∵FG平面EFGH,BD平面EFGH,∴BD∥平面EFGH...............................................10分(其它方法酌情给分)19.(10分)解:设M(x,y),A(x0,y0)则∵AB中点是M,-8-\n∴x0=2x-4,y0=2y-4,........4分∵x02+y02=4,∴(2x-4)2+(2y-4)2=4,∴(x-2)2+(y-2)2=1,∴点M的轨迹以(2,2)为圆心1为半径的圆...............................10分20.(12分)(1)证明:∵PD=DC=1,PC=,∴PD2+DC2=PC2,∴PD⊥DC,同理PD⊥DA,∵DC∩DA=D,∴PD⊥平面ABCD.....................................................4分(2)证明:由(1)知PD⊥平面ABCD,∵AC平面ABCD,∴PD⊥AC,又∵底面是ABCD正方形,∴BD⊥AC,又∵BD∩PD=D,∴AC⊥平面PDB,又∵AC平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD;.................................................................8分(3)(文科)解:∵底面是ABCD正方形,∴AD∥BC,又∵BC平面PBC,AD平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离.取PC的中点M,连接DM,则∵PD=DC,∴DM⊥PC,∵PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,∴PD⊥BC,又∵BC⊥CD,PD∩CD=D,∴BC⊥平面PCD,又∵DM平面PCD,∴BC⊥DM,又∵PC∩BC=C,-8-\n∴DM⊥平面PCB,∴DM即点D到平面PBC的距离,又∵△PCD是直角三角形,PC=,M为PA中点,∴DM=,即点A到平面PBC的距离为...................................................12分(理科)解:设AC、BD相交于点O,连接PO,则由(2)知∴AC⊥平面PDB,∵DO平面PDB,PO平面PDB,∴AC⊥DO且AC⊥PO,∴∠POD就是二面角P-AC-D的平面角.在Rt△PDO中,PD=1,DO=,∴tan∠POD=,∴二面角P-AC-D的正切值为........................................12分21.(10分)(1)证明:直线恒过定点P(0,3),∵∴点P(0,3)在圆C:内,∴对,直线与圆总有两个不同的交点;.............................................4分(2)由(1)知,对直线与圆总有两个不同的交点,可设A(x1,y1)、B(x2,y2),则由得,,所以,,∵OA⊥OB,∴,-8-\n∴∴,∴,∴.............................................................................................................10分-8-
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