广东省“四校”2022届高三数学上学期第二次联考试题理

“四校”2022—2022学年度高三第二次联考理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。全卷满分150分。考试时间120分钟。注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。⒉做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。参考公式：柱体体积公式：（其中为底面面积，为高）锥体体积公式：（其中为底面面积，为高）球的表面积、体积公式：（其中为球的半径）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　）　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁RM）∩N=（　　）　A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x≥2}D．{x|1＜x＜2}3、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2...960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落人区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为（　　）A.15　B.10　C.9　D.74.设{}是公差为正数的等差数列，若，且，则等于（　　）A．120B．105C．90D．755.由和所围成图形面积是（　　）A.B.C.D.6．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（　　）　A．B．C．或D．或10\n7．定义某种运算，运算原理如图所示，则的值为（）A．15B．13C．8D．4第7题图第8题图8.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）A．54B.27C.18D.99..如图，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足＝＝2，若||＝2，||＝3，∠BAC＝120°，则·的值为（　　）A．－2B．2C.D．－第9题图第10题图10．如图,在平行四边ABCD中,=90.,2AB2+BD2=4,若将其沿BD折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A—BCD的外接球的表面积BISOMIAN为（）A.B.C.D.11.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（　　）A．B．1C．D．212.已知定义在上的单调函数，对，都有，则函数的零点所在区间是（　　）10\n....第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.的展开式中的常数项为________．14.若数列是正项数列，，则_____．15．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为_______．16.在a、b、c,若其面S=_______．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题12分）设的内角所对的边分别为且.(1)求角的大小;(2)若,求的周长的取值范围.18、(本小题满分12分)为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数）频率[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)合计（1）求出上表中的的值；（2）按规定，预赛成绩不低于分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；②记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为，求的分布列和数学期望.19．（本小题12分）如图，在四棱锥中，⊥平面，于，为线段10\n上一点，且，（1）求证：平面；（2）若，，，且求与面所成角的正弦值。yx2MNTOQ20.（本小题12分）已知抛物线：，直线交于、两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点。（1）证明：抛物线在点处的切线与平行；（2）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．21.（本小题12分）设函数．（1）证明：当时，；（2）设当时，，求实数的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知圆M的极坐标方程为，现以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系。（1）求圆M的标准方程；（2）过圆心M且倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，求的值。24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（2）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．10\n“四校”2022—2022学年度高三第二次联考理科数学评分标准一.选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）题号123456789101112答案ACDBCDBCAAAC二.填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13.84.14..15..16..三、解答题（解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17、（本小题满分12分）解(1)由得…………2分又…………4分…………6分(2)由正弦定理得:,…………8分…………10分,故的周长的取值范围为.…………12分10\n18．（本小题满分12分）解：（1）由题意知，…………3分（2）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，…………4分①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件，则所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为.…………-6分②随机变量的可能取值为…………7分，,，…………10分随机变量的分布列为：…………11分因为，所以随机变量的数学期望为.…………12分19.（本小题满分12分）（1），,连接，…………1分所以，又，，又都是平面中的直线，OE∥，…………3分且，，∥…………4分（2），，且在等腰梯形中…………5分由（1）知，分别以为轴建立空间直角坐标系，10\n则…………6分设平面的法向量为则，所以取，则，，…………9分又，…………11分所以PB与平面PCD所成角的正弦值为…………12分20、（本小题满分12分）解：（1）设，…………1分联立得…………2分所以，…………3分，…………4分，所以所以抛物线在T点处的切线与MN平行。…………6分（2）由（1）可得，则…………7分…………9分…………11分解得，所以存在满足…………12分10\n21、（本小题满分12分）解：（1）证明：当时，，，即.令，．…………2分，令，得．所以当时，，故当时，，即，即，且当且仅当时等号成立．…………4分（2）解：由时，恒成立，故.…………5分设，，则．…………6分设，，…………7分则.…………8分当，即时，，时，，，故.所以单调递增，，故单调递增，恒成立，符合题意.…………10分当，即时，存在，时，，单调递减，，与恒成立矛盾.…………11分综合上述得实数的取值范围是．…………12分22、（本小题满分10分）10\n（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线…………5分（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2…………10分23、（本小题满分10分）解：（1）由，得，即…………3分（2）点M，直线l的参数方程为:…………6分代入椭圆方程整理得：…………8分故。…………10分24．（本小题满分10分）解（1）当x≤1时，﹣2x+3≤2，即≤x≤1．当1＜x≤2时，1≤2，即1＜x≤2．当x＞2时，2x﹣3≤2，即2＜x≤．10\n综上所述，原不等式的解集为{x|≤x≤}．…………5分（2）当a＞0时，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=|a﹣1|，所以，2a﹣3≥|a﹣1|，解得a≥2．所以实数a的取值范围为…………10分10