广东省揭阳市2022届高三数学毕业班第一次模拟考试试题 理
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揭阳市2022年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:棱锥的体积公式:.其中S表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则中元素的个数为A.8B.7C.6D.52.已知复数,则在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线的一条渐近线的斜率为,则该双曲线的离心率为A.B.C.2D.5.不等式组表示的平面区域的面积为A.7B.5C.3D.146.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题为真命题的是A.若;B.若;C.若;D.若;7.将5本不同的书摆成一排,若书甲与书乙必须相邻,而书丙与书丁不能相邻,则不同的摆法种数为A.48B.24C.20D.128.非空数集如果满足:①;②若对有,则称是“互倒集”.给出以下数集:①;②;③;④.其中“互倒集”的个数是A.4B.3C.2D.1二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9-13题)9.已知,若,则的值为.10.已知函数的图象经过点,则其反函数的解析式=.11.在△ABC中,的对边分别为,若,,,则______.12.某射击运动员在练习射击中,每次射击命中目标的概率是,则这名运动员在10次射击中,至少有9次命中的概率是.(记,结果用含的代数式表示)13.已知函数对应的曲线在点处的切线与轴的交点为,若,则.(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线被圆截得的弦长为.15.(几何证明选讲选做题)如图1,BE、CF分别为钝角△ABC的两条高,已知则BC边的长为.图1三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数的最小正周期为.(1)求的值;(2)若,,求的值.17.(本小题满分12分)图2是某市今年1月份前30天空气质量指数(AQI)的趋势图.图2(1)根据该图数据在答题卷中完成频率分布表,并在图3中作出这些数据的频率分布直方图;(2)当空气质量指数(AQI)小于100时,表示空气质量优良.某人随机选择当月1日至10日中的某一天到达该市,并停留2天,设是此人停留期间空气质量优良的天数,求的数学期望.(图中纵坐标1/300即,以此类推)图318.(本小题满分14分)如图4,已知中,,,⊥平面,、分别是、的中点.(1)求证:平面⊥平面;(2)求四棱锥B-CDFE的体积V;(3)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.图419.(本小题满分14分)已知为数列的前项和,(),且.(1)求的值;(2)求数列的前项和;(3)设数列满足,求证:.20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知点,点在直线上,点满足,,点的轨迹为曲线.(1)求的方程;(2)设直线与曲线有唯一公共点,且与直线相交于点,试探究,在坐标平面内是否存在点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.21.(本小题满分14分)已知函数,,其中,(e≈2.718).(1)若函数有极值1,求的值;(2)若函数在区间上为减函数,求的取值范围;(3)证明:.揭阳市2022年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.一、选择题:CBBDACBC解析:7.不同的摆法种数为:或.8.集合①,当时为空集;集合②即,,故集合②是互倒集;对于集合③当时,,当时,显然非互倒集;对于集合④,且,故集合④是互倒集.二、填空题:9.;10.;11.;12.;13.3;14.;15..解析:12.所求概率.13.由得曲线的切线的斜率,故切线方程为,令得,故数列是首项,公比的等比数列,又,所以.15.依题意得,因△BEA∽△CFA得,所以.三、解答题:16.解:(1)由得----------------------------------------------------2分(2)解法1:由得-----------------------3分∵,∴,--------------------------------------------4分∴-----------------------------------------6分∴----------------------------------------------------8分----------------------------------------10分----------------------------------------------------12分[解法2:由得,--------------------------3分即-------------------------------------------------5分-----------------------①---------------------------------6分将①代入并整理得,---------------8分解得:,-------------------------②----------------10分∵∴,∴,故②中负值不合舍去,----------------11分∴.-----------------------------------------------------------12分]17.解:(1)频率分布表和频率分布直方图如下图示:--3分--7分(2)设表示事件“此人于当月日到达该市”(=1,2,…,10).则(=1,2,…,10)-------------------------------------------------8分依题意可知,的所有可能取值为0,1,2且P(=0)=P(A5)+P(A6)=,----------------------------------------------------9分P(=1)=P(A1)+P(A4)+P(A7)+P(A10)=,---------------------------------------10分P(=2)=P(A2)+P(A3)+P(A8)+P(A9)=,--------------------------------------11分所以的数学期望.-----------------------------------12分18.(1)证明:AB⊥平面BCD,平面,-------------------1分又,,平面,------------------------------2分又E、F分别是AC、AD的中点,∴---------------------------------------3分∴EF⊥平面ABC又平面BEF,平面BEF⊥平面ABC-----------4分(2)解法1:由(1)知EFCD∴--------------------------------5分∴---------------------6分-------------------8分[解法2:取BD中点G,连结FC和FG,则FG//AB,-----5分∵AB⊥平面BCD,∴FG⊥平面BCD,-----------------6分由(1)知EF⊥平面ABC,∴.-----------------8分](3)解法1:以点C为坐标原点,CB与CD所在的直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系如图示,--------------------------------------------------------9分则,∴,,---------------10分设平面BEF的一个法向量为,由得令得,∴,------------------12分∵是平面BCD的法向量,设平面BEF与平面BCD所成的锐二面角大小为,则,∴所求二面角的余弦值为.---------------------------------------------------14分[解法2:过点B作//CD,则平面EF//CD,∴∴平面,∴为平面BEF与平面BCD的交线,---------------------------------------------10分∵平面,平面,∴,∴又,∴∴为平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的平面角,------------------------12分在中,∵BE=CE,∴,即所求二面角的余弦值为.----------------14分]19.解:(1)由和可得--------------------2分(2)解法1:当时,由得,---------------------------------4分---------------------6分∴数列是首项,公差为6的等差数列,∴-------------------------------------------------------7分∴-----------------------------------------------------8分[解法2:当时,由------------------4分可得,---------------------------------6分∴数列是首项,公差为3的等差数列,,即.--------------------------------------8分](3)证明:------------------10分--------------------11分∴-------------13分命题得证.----------------------------------------14分20.解:(1)设,由得,-------------------------------------1分又,∴,,.--------------------3分由得即,∴曲线的方程式为.----------------------------------------------------5分(2)解法1:由曲线C关于轴对称可知,若存在点,使得以为直径的圆恒过点,则点必在轴上,设,--------------------------------------------------6分又设点,由直线与曲线有唯一公共点知,直线与曲线相切,由得,∴,---------------------------------------7分∴直线的方程为,--------------------------------------------8分令得,∴点的坐标为,-----------------------------9分---------------------------------------10分∵点在以为直径的圆上,∴---------------12分要使方程对恒成立,必须有解得,-------------------------13分∴在坐标平面内存在点,使得以为直径的圆恒过点,其坐标为.---------14分[解法2:设点,由与曲线有唯一公共点知,直线与曲线相切,由得,∴,---------------------------------------6分∴直线的方程为,--------------------------------------------7分令得,∴点的坐标为,-------------------------8分∴以为直径的圆方程为:--------①-----10分分别令和,由点在曲线上得,将的值分别代入①得:-------------------------------②--------------------------------------------------------③②③联立解得或,-----------------------------------------------12分∴在坐标平面内若存在点,使得以为直径的圆恒过点,则点必为或,将的坐标代入①式得,①式,左边==右边,将的坐标代入①式得,①式,左边=不恒等于0,------------------------------------13分∴在坐标平面内是存在点,使得以为直径的圆恒过点,点坐标为为.--14分]21.解:(1)∵,∴,---------------------------------------------------------------1分①若,则对任意的都有,即函数在上单调递减,函数在上无极值;----------------------------------------------------2分②若,由得,当时,当时,,即函数在单调递减,在单调递增,∴函数在处有极小值,∴,∴.---------------------------------------------------4分(2)解法1:∵函数=在区间上为减函数且当时,,∴在上恒成立在上恒成立,----5分设,则----7分当时,,所以在上恒成立,即函数在上单调递减,-------------------8分∴当时,,∴.-----------------------------------------------------------------------9分[解法2:∵函数=在区间上为减函数∴对,-----------()恒成立,--------------5分∵,∴,当时,()式显然成立;----------------------------------------------------6分当时,()式在上恒成立,设,易知在上单调递增,-------------------------------7分∴,∴,------------------------------------------------------------8分综上得.-------------------------------------------------------------9分](3)证法1:由(2)知,当时,,,------------------------------------------10分∵对任意的有,∴∴,--------------------------------------12分∴,即.--------------------------------------------------------14分[证法2:先证明当时,令,则对任意的恒成立,----------------10分∴函数在区间上单调递减,∴当时,,----------------------------------11分∵对任意的,而---------------------------------------------12分∴.----14分]
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