广东省清远市2022届高三数学上学期期末考试试题 理 新人教A版
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清远市2022届高三上学期期末考试数学(理)试题第一卷(选择题40分)一、选择题(40分)1、图中阴影部分表示的集合是()A、 B、 C、 D、2、已知a,bR,i是虚数单位,若a+bi与2-i互为共轭复数,则(a+bi)2=( ) A、5-4i B、5+4i C、3-4i D、3+4i 3、已知,且,则a=( ) A、-1 B、2或-1 C、2 D、-24、阅读如图的程序框图,若输入m=2,n=3,则输出a=( ) A、6 B、4 C、3 D、25、下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A、y=x+1 B、y=-x2 C、y= D、y=x|x|6、设平面与平面相交于直线m,直线a在平面内,直线b在平面内,且b⊥m,则“a⊥b”是“⊥”的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件10\n7、已知实数x,y满足约束条件,若的最小值为3,则实数b=( ) A、 B、 C、1 D、8、设定义在(0,+)上的函数,则当实数a满足时,函数y=g(x)的零点个数为( ) A、1 B、2 C、3 D、4第二卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡的横线上)(一)必做题(9~13题)9、图中阴影部分的面积等于______10、在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P,使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是_____11、某几何体的三视图如下图所示:其中正视图和侧视图都是上底为3,下底为9,高为4的等腰梯形,则该几何体的全面积为_____12、已知圆C:,直线:L:x+y+a=0(a>0),圆心到直线L的距离等于,则a的值为____13、如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,该椭圆被称为“黄金椭圆”,其离心率为,类比“黄金椭圆”,可推算出“10\n黄金双曲线的离心率e等于_____(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)14.(几何证明选讲选做题)如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90º,且AB=6,AC=4,AD=12,则∠ACB=______15.(极坐标与参数方程选做题)在极坐标系中,点A(2,)与曲线上的点的最短距离为_____三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答题应写出必要的文字说明,推理证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)已知函数(1)求函数的最小值和最小正周期;(2)设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且,,判断△ABC的形状,并求三角形ABC的面积.17.(本题满分12分)为了解学生身高情况,某校以10%的比例对高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如右:(1)估计该校学生身高在170~185cm之间的概率;(2)从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人,其中从身高在185~190cm之间选取的人数记为X,求X的分布列和期望。18.(本题满分14分)在等腰直角△BCP中,BC=PC=4,∠BCP=90°,A是边BP的中点,现沿CA把△ACP折起,使PB=4,如图1所示。10\n(1)在三棱锥P-ABC中,求证:平面PAC⊥平面ABC;(2)在图1中,过A作BC的平行线AE,AE=2,过E作AC的平行线与过C作BA的平行线交于D,连接PE、PD得到图2,求直线PB与平面PCD所成角的大小.19.(本题满分14分)已知双曲线的焦点为(0,-2)和(0,2),离心率为,过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点(A、B在轴的上方).(1)求双曲线的标准方程;(2)探究是否为定值,若是求出该定值,若不是定值说明理由.20.(本小题满分14分)设数列的前项和为,且满足,.(1)求;(2)数列的通项公式;(3)设,求证:.21.(本题满分14分)设函数.(1)若函数在处有极值,求函数的最大值;(2)①若是正实数,求使得关于的不等式在上恒成立的取值范围;②证明:不等式.清远市2022届上学期期末教学质量检测高三理科数学答案10\n题号12345678答案CDBADBAC第二卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡的横线上)(一)必做题(9~13题)9.110.11.21012..313.(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)14.(几何证明选讲选做题)30°15.(极坐标与参数方程选做题)1三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答题应写出必要的文字说明,推理证明过程或演算步骤)16.解:(1)=………1分=………2分………3分-1……4分,故其最小正周期是………5分(2)∵…………7分又∵0<2<2π,∴……8分∴,………9分∵B=,∴A=,∴△ABC是直角三角形………10分由正弦定理得到:=,∴………11分设三角形ABC的面积为S,∴S=………12分17.解:(1)由统计图知,样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35(人),……2分样本容量为70,……3分所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率f==0.5.……4分故由f估计该校学生身高在170~185cm之间的概率P1=0.5.……5分(2)由题意可知=0,1,2……7分10\n,……8分……9分……10分的分布列为X012……11分的期望为。……12分18.解:(1)在三棱锥P-ABC中,依题意可知:…………1分∵PA=AB=,PB=4,…………2分则…………3分又AB,则PA⊥平面ABC…………5分∵平面PAC∴平面PAC⊥平面ABC.…………6分(2)方法一:由(1)知,又,∴平面PAC…………7分∵AB∥CD∴平面PAC…………8分过A作于H,则…………9分又∵∴…………10分又AB∥CD,AB平面,∴AB//平面,∴点A到平面的距离等于点B到平面的距离.…………11分∵在Rt△PAC中,PA=2,AC=2,PC=4∴PC边上的高,此即为点A到平面PCD的距离…………12分设直线PB与平面PCD所成角为,则,…………13分又,所以即直线PB与平面PCD所成角的大小为;…………14分方法二:由(1)知AB,AC,AP两两相互垂直,分别以AB,AC,AP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2)……9分(解法一)∵AB∥CD,∴,10\n又AC∥ED∴四边形ACDE是直角梯形∵AE=2,AE∥BC,∴∠BAE=135°,因此∠CAE=45°.…………10分所以D(-,2,0).∴,…………11分设是平面PCD的一个法向量,则∴解得取得…………12分又设表示向量与平面PCD的法向量所成的角,则…………13分∴即直线PB与平面PCD所成角的大小为.…………14分(解法二)∵AB∥CD,∴…………10分∴,…………11分设是平面PCD的一个法向量,则即∴解得取得…………12分则…………13分∴即直线PB与平面PCD所成角的大小为.…………14分19.解:(1)依题意可设双曲线的标准方程为()………1分∵c=2,………2分………3分∴………4分∴双曲线的标准方程为.………5分(2)是定值2,理由如下:………6分10\n设直线AB:(没有b>0,不得分这1分)………7分由得………8分解得………9分设双曲线渐近线方程:与联立,………10分得,…11分,………12分=3………13分∴==2………14分(没有导致情况多种的扣2分)20.证明:(1)∵∴……………2分(2)∵……①∴当时,……②(没有n≥2扣1分)∴①-②得,………………5分∵,∴………7分(没有验证n=1成立扣1分)是首项为2,公比为的等比数列,………8分(3)∵∴………10分(或者由公式计算得,公式对的1分,化简对得1分)………12分(说明:也可以)10\n∴………………14分21.解:(1)由已知得:,………1分又∵函数在处有极值∴,即……2分∴………3分∴,当时,,单调递增;当时,,单调递减;………4分(或者列表)∴函数的最大值为………5分(2)①由已知得:………6分(i)若,则时,∴在上为减函数,∴在上恒成立;………7分(ii)若,则时,∴在上为增函数,∴,不能使在上恒成立;…8分(iii)若,则时,,当时,,∴在上为增函数,此时,∴不能使在上恒成立;9分综上所述,的取值范围是.………10分10\n②由以上得:,………11分取得:………12分令,………13分则,.因此.∴………14分10
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