江苏省南京市六校联考2022届高三数学上学期12月调研测试试题

2022届高三南京市六校联考调研测试数学试卷（Ⅰ）一、填空题（共14小题每小题5分共计70分．将正确答案填入答题纸的相应横线上）1．设集合，集合，若，则▲.2．已知复数满足（为虚数单位），则的模为▲.3.已知为实数，直线，，则“”是“”的▲条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）．4.根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为▲.5.现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为▲．6.若实数满足约束条件，则目标函数的最小值为▲．7.已知等比数列的前项和为，若，则的值是▲.8．已知，与的夹角为，，则与的夹角为-16-\n▲．9.已知，则的值为▲．10.设椭圆（）的左右焦点分别为，左准线为，为椭圆上的一点，于点，若四边形为平行四边形，则椭圆离心率的取值范围是▲.11.若均为正实数，且，则的最小值是▲．12.在中，已知，，则面积的最大值是▲.13.已知圆，直线，为直线上一点，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围是▲.14.若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是▲．-16-\n二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．（本小题满分14分）已知向量.（1）当时，求的值；（2）设函数，当时，求的值域.16.（本小题满分14分）如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，，，平面平面，，点为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求证：直线平面．17.（本小题满分15分）如图，椭圆（）的离心率，椭圆的右焦点到右准线的距离为，椭圆的下顶点为.（1）求椭圆的方程；xyoDMP（2）若过点作两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于点.求证：直线经过一定点.-16-\n18.（本小题满分15分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区，其中是半径为1百米的扇形，．管理部门欲在该地从到修建小路：在上选一点（异于、两点），过点修建与平行的小路．（1）设，试用表示修建的小路与线段及线段的总长度；PDQCNBAM（第18题）（2）求的最小值．19.（本题满分16分）已知数列的前项和为，且对一切正整数都有.（1）求证：（）；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在实数，使不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。20.（本小题满分16分）已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）若函数在点处的切线方程是，求实数及的值；（2）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（3）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.-16-\n2022届高三南京市六校联考调研测试数学试卷（Ⅱ）（加试题）21.【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A（选修4—1：几何证明选讲）（本小题满分10分）第21—A题图如图，是的一条切线，切点为，直线都是的割线，已知求证：.B.（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵，若矩阵对应的变换把直线变为直线，求直线的方程．C.（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数，，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若圆上的点到直线的最大距离为，求的值.D.（选修4—5：不等式选讲）（本小题满分10分）已知实数满足求的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.-16-\n22.（本小题满分10分）袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子。甲先摸，乙后取，然后甲再取，……，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止.每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的。用表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.（1）求随机变量的概率分布列和数学期望；（2）求甲取到白球的概率.23.（本小题满分10分）设是定义在R上的函数，已知，且.（1）若，求；（2）若，求.-16-\n2022届高三南京市六校联考调研测试数学试卷（Ⅰ）参考答案及评分标准1、1；2、；3、充分不必要；4、55；5、；6、1；7、；8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、.15.解：（1）∵，，∴，∴，……………………………………3分∴.……………………………………6分（2）方法1，………8分.……………………………10分∵，∴，∴………………12分∴，即函数的值域为.……………………14分方法2，，……………………………8分.……………………………10分∵，∴，∴………………12分∴，即函数的值域为.………………14分-16-\n16.解：方法1，为的中点平面.…………………………………3分……………7分（1）证明：四边形是菱形又点为的中点又平面平面（2）证明：……………………10分………………………………………9分.且.分别为的中点且……………………………………………11分又且四边形是平行四边形平面.又四边形是菱形，即又……………………………………………………………14分方法,2，证明：（1）∵四边形是菱形，，∴点是的中点，∵点为的中点∴，……………………3分又∵平面，平面，∴直线平面．……………7分（2）∵，点为的中点，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，………………9分∵平面，∴，∵，，∴，∴四边形为平行四边形,∴，………………11分∵，，∴，∵四边形是菱形，∴，∵，，，在平面内，∴平面．　　　　　　　　　………………14分-16-\n17.解：（1）依题意知，则，……………………………………2分又，且，∴，则，∴方程为.…………5分（2）方法1，由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，xyoDMP由得，…………7分用去代，得，…………9分∴，………………11分∴：，…………12分即，…………………………………………14分∴直线经过定点．………………………………15分方法2，由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，由得，……………………7分用去代，得，………………………9分作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，当时，，，此时直线经过轴上的点，………………………10分∵……………………………12分……………………………………14分∴，∴三点共线，即直线经过点，故直线经过定点．…………………………………15分-16-\n18.解：（1）连接，过作垂足为，过作垂足为，依题意知：，…………………2分PDQCNBAM（第18题）若，在中，若则∴…………………4分（注：未讨论的范围扣1分.）在中，……………………………6分总路径长……………………8分……………………………10分令，得，方法1，列表验证如下：极小值依表格知：当时，最小，.…………………………14分答：当时，总路径长的最小值为.…………………………………15分方法2，当时，，在内单调递减；当时，，在内单调递增.∴当时，最小，.……………………………14分（注：此处若未强调函数的单调性，只是由就下结论，扣1分.）答：当时，总路径长的最小值为.………………………………15分-16-\n19.解：（1）证明：∵（）①∴（）②由②①得（），∴（）.………………………………4分（2）解：方法1，∵（）……③∴（），……④④—③，得（）……………………………6分从而数列的奇数项依次成等差数列，且首项为，公差为4；数列的偶数项也依次成等差数列，且首项为，公差为4.在①中令得，又∵，∴在③中令得，∴…………………………………7分∴当（）时，，；……8分∴当（）时，，；…………………9分综上所述，（）.……………………………………10分方法2，由③式知，（），……………………………7分记（），则（），在①中令得，又∵，∴从而，∴（）即（）.…………………10分（3）解：令（），则且…………………12分（或………12分）∴，∴单调递减，∴.………………………13分∴不等式对一切正整数n都成立等价于对一切正整数n都成立等价于，即……………………14分∴，即，解之得-16-\n综上所述，存在实数适合题意，的取值范围是……………………………………………………16分20.解：（1）由得，…………………………1分∴，，.……………………………………2分∵函数在点处的切线方程是，∴即…………………………3分（2）由得，∴，∴.方法1，（ⅰ）当即时，对一切恒成立，∴在内单调递增，∴在上的最小值是；…………………………………4分（ⅱ）当即时，令，得，从而有①当即时，列表如下：依表格知在上的最小值是；………………………………5分②当即时，列表如下：1依表格知在上的最小值是；………………7分③当即时，列表如下：依表格知在上的最小值是.…………………………8分综上所述：当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是.……………………………9分方法2，当时，．……………………………………4分①当时，，且不是常数函数，所以在上单调递增，因此在上的最小值是；…………………………………5分-16-\n②当时，，且不是常数函数，所以在上单调递减，因此在上的最小值是；……………………………………6分③当时，令，得，且当时，，当时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，于是在上的最小值是.……………………8分综上所述：当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是.……………………………9分（3），，由，∴，又.若函数在区间内有零点，设x0为f(x)在区间内的一个零点，则由可知，在区间内不可能单调递增，也不可能单调递减．则在区间内不可能恒为正，也不可能恒为负．故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.故函数在区间内至少有三个单调区间，g(x)在区间内至少有两个零点．……………………………………………10分由（2）知当或时，函数即在区间内单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求.……………………………………………11分若，此时在区间内单调递减，在区间内单调递增．因此，，又，令（），则，令得，列表如下：依表格知：当时，，∴恒成立，……………………………………14分-16-\n于是，函数在区间内至少有三个单调区间即.综上所述：的取值范围为……………………………………………16分2022届高三南京市六校联考调研测试数学试卷（Ⅱ）参考答案及评分标准第21—A题图21A证明：∵为切线，为割线，∴，又∵，∴．…………4分∴，又∵，∴∽，∴，又∵，∴，∴．………………………………10分21B解：∵，∴.……………………………4分在直线上任取一点，它是由上的点经矩阵所对应的变换所得，则一方面，∵点在直线上，∴.……①，即，∴，…………………………7分∴……②将②代入①得，即，∴直线的方程为.……………………………10分21C解：圆的参数方程为为参数，，消去参数得，所以圆心，半径为.…………3分-16-\n直线的极坐标方程为，化为普通方程为.……………6分圆心到直线的距离为，……8分∵圆上的点到直线的最大距离为3，即，∴．…………………………………10分21D解：由柯西不等式得，………………………5分因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．………………………………10分22.解：设袋中白球共有个，，则依题意知：，∴，即，解之得（舍去）.………………………………………1分（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量的所有可能取值是1，2，3，4，5.，，，，.……………………………………………………………5分（注：此段4分的分配是每错1个扣1分，错到4个即不得分.）随机变量的概率分布列为：12345所以.…………………………………6分（2）记事件“甲取到白球”，则事件包括以下三个互斥事件：“甲第1次取球时取出白球”；“甲第1次取球时取出白球”；“甲第1次取球时取出白球”.依题意知：，，，………………9分-16-\n（注：此段3分的分配是每错1个扣1分，错到3个即不得分.）所以，甲取到白球的概率为.………………………………10分23.解：（1）∵，所以，………………………1分∴.∵无意义，∴，且，，.…………………………4分（注：不写的取值范围不扣分.）（2）∵，其中.∴（）.…………………………6分又∵，∴.……………………………………8分.即且，，.…………………………………………………………10分（注：不写的取值范围不扣分.）-16-