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江苏省姜堰二中高二数学上学期期中试题文
江苏省姜堰二中高二数学上学期期中试题文
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江苏省姜堰二中2022-2022学年高二数学上学期期中试题文(考试时间:120分钟满分:160分)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.1.设复数(为虚数单位),则的共轭复数为▲.2.在某频率分布直方图中,从左往右有10个小矩形,若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的,且第一组数据的频数为25,则样本容量为▲.3.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生.为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查,则应从丁专业抽取的学生人数为▲.4.某地区连续5天的最低气温(单位:°C)依次为8,-4,-1,0,2,则该组数据的方差为▲.5.已知物体运动的方程为,则t=2时的瞬时速度为▲.6.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.7.某圆锥的侧面展开图是面积为且圆心角为的扇形,此圆锥的体积为▲.8.在上随机地取一个数,则事件“直线与有公共点”发生的概率为▲.9.在平面直角坐标系中,双曲线的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为▲.10.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2,D为棱B1C1上任意一点,则三棱锥D-A1-11-\nBC的体积是▲.11.已知是抛物线:的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若是的中点,则的长度为▲.12.若函数在x=1处取得极小值,则实数a的取值范围是▲.13.圆,直线,若直线上存在点,过点作圆的两条切线,切点是,使得,则实数的取值范围是▲.14.已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,点P是椭圆上的任意一点,则的取值范围是▲. 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.15.(本小题满分14分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中.求证:(1)A1C⊥BD;(2)平面AB1D1∥平面BC1D.-11-\n16.(本小题满分14分)已知函数(1)当a=1时,求曲线在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数只有一个零点,求a的取值范围.17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,已知圆及点,.(1)若直线平行于,与圆相交于,两点,,求直线的方程;(2)在圆上是否存在点,使得?若存在,求点的个数;若不存在,说明理由.-11-\n18.(本小题满分16分)已知函数,,.(1)若曲线与直线相切且相切于点,求切点P坐标及实数的值;(2)记,求在上的最大值;19.(本小题满分16分)在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率为,且过点OxyABPEF(第18题).设为椭圆在第一象限上的点,,分别为椭圆的左顶点和下顶点,且交轴于点,交轴于点.(1)求的值;(2)若为椭圆的右焦点,求点的坐标;(3)求证:四边形的面积为定值.-11-\n20.(本小题满分16分)设椭圆C:的离心率,直线与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线与椭圆C交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆D,若圆D与y轴相交于不同的两点A,B,求△ABD的面积;(3)如图,A1,A2,B1,B2是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线B2P交x轴于点F,直线A1B2交A2P于点E,设A2P的斜率为k,EF的斜率为m,求证:2m﹣k为定值.-11-\n高二数学期中考试参考答案1.【解析】由于,所以的共轭复数为.2.150【解析】设第一个小矩形面积为,由,得,从而样本容量为.3.解析:由题意可得:甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为,所以100名学生中丁专业抽取人数为人.4.165.6.7.8.9.【解析】一条渐近线与右准线的交点为,其到另一条渐近线的距离为.10.11.如图,过点作准线的垂线,垂足为,交轴于点,所以,,所以.12.a>113.或14.15.(1)证明:在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,则有DB⊥AC,DB⊥AA1,且AA1∩AC=A,∴DB⊥面AA1C1C,∵A1C面AA1C1C,∴A1C⊥BD;…………………7分-11-\n(2)∵∴四边形ABC1D1是平行四边形,∴AD1∥BC1,又∵DB∥B1D1,AD1面AD1B1,B1D1面AD1B1,BD面DBC1,BC1面DBC1,且AD1∩D1B1=D1.∴平面AB1D1∥平面BC1D.…………………7分-11-\n17.(1)圆的标准方程为,所以圆心,半径为.因为,,,所以直线的斜率为,设直线的方程为,……………………………………………2分则圆心到直线的距离为.…………………………4分因为,而,所以,……………………………6分解得或,故直线的方程为或.…………………………………8分(2)假设圆上存在点,设,则,,即,即,………………………………10分因为,……………………………………12分所以圆与圆相交,所以点的个数为.…………………………………………………………14分18.解:(1)由,知,解得,又可求得点为,………3分所以代入,得.……………6分(2)因为,所以.①当,即时,,此时在上单调递增,所以;……………8分②当即时,当时,,单调递减,当时,,单调递增,,.-11-\n(i)当,即时,;………10分(ii)当,即时,……12分③当,即时,,此时在上单调递减,所以.……………14分综上,当时,;当时,.……………16分19.(本小题满分16分)解:(1)依题意,,,其中,解得.因为,所以.……………4分(2)由(1)知,椭圆的右焦点为,椭圆的方程为,①所以.从而直线的方程为:.②由①②得,.从而直线的方程为:.令,得,所以点的坐标为.……………9分(3)设(),且,即.则直线的方程为:,令,得.……………11分直线的方程为:,令,得.……………13分所以四边形的面积.……………16分-11-\n20.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)由于直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切,可得=b,解得b.又离心率e==,b2=a2﹣c2,联立解得即可得出.(2)把x=代入椭圆方程可得:,可得⊙D的方程为:.令x=0,解得y,可得|AB|,利用S△ABD=即可得出.(3)由(1)知:A1(﹣2,0),A2(2,0),B2(0,1),可得直线A1B2AD的方程,设直线A2P的方程为y=k(x﹣2),k≠0,且k≠,联立解得E.设P(x1,y1),与椭圆方程联立可得(4k2+1)x2﹣16k2x+16k2﹣4=0.解得P.设F(x2,0),则由P,B2,F三点共线得,.可得F.即可证明2m﹣k为定值.【解答】(1)解:∵直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切,∴=b,化为b=1.∵离心率e==,b2=a2﹣c2=1,联立解得a=2,c=.∴椭圆C的方程为=1;……………………4分(2)解:把x=代入椭圆方程可得:,解得y=±.∴⊙D的方程为:.令x=0,解得y=±,∴|AB|=,∴S△ABD===.……………………9分(3)证明:由(1)知:A1(﹣2,0),A2(2,0),B2(0,1),-11-\n∴直线A1B2的方程为,……………………11分由题意,直线A2P的方程为y=k(x﹣2),k≠0,且k≠,由,解得.设P(x1,y1),则由,得(4k2+1)x2﹣16k2x+16k2﹣4=0.∴2x1=,∴x1=,y1=k(x1﹣2)=.∴.……………………13分设F(x2,0),则由P,B2,F三点共线得,.即=,∴x2=,∴F.∴EF的斜率m==.……………………15分∴2m﹣k=﹣k=为定值.……………………16分-11-
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高中 - 数学
发布时间:2022-08-25 20:47:14
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