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江苏省海安中学2022学年高二数学下学期6月检测试题 理 苏教版
江苏省海安中学2022学年高二数学下学期6月检测试题 理 苏教版
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江苏省海安中学2022~2022学年度第二学期高二年级数学检测(6月)I试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。1.已知集合,则_________。2.如果复数是实数,则实数_________。3.已知,则的值为_________。4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P的横、纵坐标,则点P在直线上的概率为_________。5.已知函数,则的值为_________。6.执行下边的程序框图,若,则输出的_________。7.直线平分圆的周长,则__________。8.等比数列的各项均为正数,,前三项的和为21,则__________。129.已知实数满足,若在处取得最小值,则此时__________。10.在R上定义运算⊙:⊙,则满足⊙的实数的取值范围是__________。11.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,D为斜边BC的中点,则的值为__________。12.已知函数,则该函数的值域为__________。13.把数列的所有项按照从大到小,左大右小的原则写成如图所示的数表,第行有个数,第行的第个数(从左数起)记为,则可记为__________。14.如图放置的边长为1的正三角形PAB沿轴滚动,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是,在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积记为S,则S=__________。二、解答题:本大题共6小题,共计90分。解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题满分14分)12在△ABC中,AB=,BC=1,。(1)求的值;(2)求的值。16.(本小题满分14分)如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE。(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求证:AE∥平面BFD。17.(本小题满分14分)如图,在半径为的圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A、C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长,圆柱的体积为。(1)写出体积V关于的函数关系式;(2)当为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积V最大?18.(本小题满分16分)已知函数的定义域为(0,),且,设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线和轴的垂线,垂足分别为M、N。(1)求的值;(2)问:是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,请说明理由;(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值。1219.(本小题满分16分)已知椭圆的左、右顶点分别A、B,椭圆过点(0,1)且离心率。(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆上异于A,B两点的任意一点P作PH⊥轴,H为垂足,延长HP到点Q,且PQ=HP,过点B作直线轴,连结AQ并延长交直线于点M,N为MB的中点,试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系。20.(本小题满分16分)已知等差数列中,,令,数列的前项和为。(1)求数列的通项公式;(2)求证:;(3)是否存在正整数,且,使得,,12成等比数列?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由。数学II(附加题)21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤。A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O外一点,且AC=AB,BC交⊙O于点D。已知BC=4,AD=6,AC交⊙O于点E,求四边形ABDE的周长。B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知二阶矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为,属于特征值3的一个特征向量为,求矩阵A。C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知直线的参数方程:(为参数)和圆C的极坐标方程:,判断直线和⊙C的位置关系。D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知是正数,证明:。[必做题]第22题,第23题,每题10分,共计20分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22.(本小题满分10分)如图,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,PA⊥平面ABCD,AB=1,AD=2,PA=CD=4,求二面角的余弦值。1223.(本小题满分10分)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球。(1)求取出的4个球均为黑球的概率;(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;(3)设为取出的4个球中红球的个数,求的分布列,并求其数学期望E()。12【试题答案】数学I试题一、填空题:1.2.-13.4.5.26.7.-58.1689.(-1,0)10.(-2,1)11.1812.[1,2]13.(10,495)14.二、解答题15.解:(1)在△ABC中,∵,∴由正弦定理得:,即,∴。(7分)(2)由余弦定理可得:(舍)。∴。(14分)16.证明:(1)AD⊥平面ABE,AE平面ABE,∴AD⊥AE,在矩形ABCD中,有AD∥BC,∴BC⊥AE。∵BF⊥平面ACE,AE平面ABE,∴BF⊥AE,又∵BFBC=B,BF,BC平面BCE,∴AE⊥平面BCE。(7分)(2)设ACBD=H,连接HF,则H为AC的中点。∵BF⊥平面ACE,CE平面ABE,∴BF⊥CE,又因为AE=EB=BC,所以F为CE上的中点。在△AEC中,FH为△AEC的中位线,则FH∥AE又∵AE平面BFE,而FH平面BFE∴AE∥平面BFD。(14分)1217.解:(1)连结OB,∵,∴,设圆柱底面半径为,则,即,所以其中。(7分)(2)由,得因此在(0,)上是增函数,在(,30)上是减函数。所以当时,V有最大值。(14分)当且仅当,即时取等号,故四边形OMPN面积的最小值。(16分)19.解:(1)因为椭圆经过点(0,1),所以,又椭圆的离心率得,12即,由得,所以,故所求椭圆方程为。(6分)(2)设,则,设,∵HP=PQ,∴即,将代入得,所以Q点在以O为圆心,2为半径的圆上,即Q点在以AB为直径的圆O上。又A(-2,0),直线AQ的方程为,令,则,又B(2,0),N为MB的中点,∴,,∴,∴,∴直线QN与圆O相切。(16分)20.解:(1)设数列的公差为,由,。解得,,∴。(4分)(2)∵,,∴∴∴。(8分)(3)由(2)知,,∴,,,∵,,成等比数列,∴,即12当时,,,符合题意;当时,,无正整数解;当时,,无正整数解;当时,,无正整数解;当时,,无正整数解;当时,,则,而,所以,此时不存在正整数,且,使得,,成等比数列。综上,存在正整数,且,使得,,成等比数列。(16分)数学II(附加题)21.[选做题]A.[选修4-1:几何证明选讲]解:AB=AC=∴,则∴DE=2∴四边形ABDE的周长B.[选修4-2:矩阵与变换]解:设则12∴∴C.[选修4-4:坐标系与参数方程]解:直线消去参数,得直线的直角坐标方程为;即,两边同乘以得,得⊙C的直角坐标方程为:,圆心C到直线的距离,所以直线和⊙C相交。D.[选修4-5:不等式选讲]证明:∵,又均为正整数,∴。22.[必做题]证明:如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,4),易证为面PAC的法向量,则设面PBC的法向量,12,所以所以面PBC的法向量∴因为面PAC和面PBC所成的角为锐角,所以二面角B-PC-A的余弦值为。12
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高中 - 数学
发布时间:2022-08-25 20:48:38
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