江西梳城中学2022届高三数学上学期第四次月考试题文
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2022届丰城中学高三数学(文科)第四次月考试卷考试时间120分钟满分150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1.已知集合A=,B=,则=()A.B.C.D.R解析:A==,B==,故=.故选A.2已知是虚数单位,若复数是纯虚数,则实数等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】,他为纯虚数,所以实部为零,即1+2a=0,所以a=3.已知,,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】4.已知命题“,使”是假命题,则实数的取值范围是()A.B.[-2,6]C.D.(−2,6)【答案】B【解析】命题“,使”的否定为“,使”二次函数开口向上,要使它大于0恒成立,只需要,即,.5.某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是()-10-\n【答案】C【解析】:当俯视图为A时,几何体为正方体,体积为1,现体积为,所以几何体为正方体的一半,选C6.下列命题中,表示两条不同的直线,表示三个不同的平面.①若,则;②若则;③若||,||,则||;④若||,||,则.则正确的命题是()A.①③B.②③C.①④D.②④【解析】①若若则,正确②若则;不正确,可以相交,如长方体中③若则不正确可以平行,异面,相交④若则,,则,又因为所以,正确【答案】C7.函数(其中A>0,)的图象如图所示,为了得到的图象,则只需将的图象()A.向右平移个长度单位B.向左平移个长度单位C.向右平移个长度单位D.向左平移个长度单位【解析】有图可得,A=1,将()代入中,可得【答案】B8.当||取得最小值时,实数的值为()-10-\nA.1B.2C.D.【解析】:由题意可知:所以x=时,原式最小.【答案】C9.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对10.已知函数则下列结论正确的是()A.是偶函数B.是增函数C.是周期函数D.的值域为11.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为A.B.C.D.12.已知函数,且函数恰有3个不同的零点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C-10-\n【解析】因为当的时候,,所以所有大于等于0的x代入得到的相当于在[-1,0)重复的周期函数,时,,对称轴x=-1,顶点(-1,1+a)(1)如果a<-1,函数至多有2个不同的零点;(2)如果a=-1,则y有一个零点在区间(-1,0),有一个零点在,一个零点是原点;(3)如果a>-1,则有一个零点在,y右边有两个零点,故实数a的取值范围是,故选C.第II卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知数列是等差数列,数列是等比数列,则的值为.【解析】是等差数列,,是等比数列,在等比数列里,隔项的符号相同.14.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是,若,,则=.解析:由得,由得,∴,由余弦定理得,∴.15.若关于,的不等式组(是常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则.【答案】-1或0-10-\n【解析】作出不等式组表示的区域如下图所示,由图可知,要使平面区域的边界是一个直角三角形,则0或1. 16.给出定义:若(其中为整数),则叫做离实数最近的整数,记作,即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题:①点是的图像的对称中心,其中;②的定义域是,值域是;③函数的最小正周期为;④函数在上是增函数.则上述命题中真命题的序号是.【答案】②③【解析】:结合已知函数若(其中m为整数),则m叫做离实数x 最近的整数,记作,即.①函数的定义域是R,值域是;成立, ②函数的图像关于点(,0)(k∈Z)对称;不成立,③函数是周期函数,最小正周期是1;成立,④函数在上是增函数;不成立,.-10-\n三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设函数.(1)若时,解不等式;(2)如果,求的取值范围.【答案】(1);(2)(-∞,-1]∪[3,+∞).【解析】(1)当a=-1时,f(x)=︱x-1︳+︱x+1︳.由f(x)≥3得︱x-1︳+︱x+1|≥3由绝对值的几何意义知不等式的解集为(1)若a=1,则f(x)=2|x-1|不满足题设条件.若a<1,,f(x)的最小值为1-a;若a>1,,f(x)的最小值a-1.∴,f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,∴a的取值范围(-∞,-1]∪[3,+∞).解析二(1)同上;(2)根据不等式的几何性质,所以对于的充要条件是表示点x到1和a两点的距离之和。∴f(x)的最小值为|a-1|,所以对于的充要条件是|a-1|≥2,解得a≥3或a≤-1.18.(本小题满分12分)在中,角所对的边分别为且满足(I)求角的大小;(II)求的最大值,并求取得最大值时角的大小.-10-\n19.(本小题满分12分)已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.解析:(1)设等差数列首项为,公差为,依题意得,解得,故数列的通项公式为;(2)设数列的前项和为,∵,∴,记,则,两式相减得,即,∴.20.(本小题满分12分)如图,在中,,AB=BC=2,P为AB边上的一动点,,交AC于点D,现将沿PD翻折至,使平面平面PBCD.-10-\n(1)当棱锥的体积最大时,求PA的长;(2)若点P为AB的中点,E为的中点,求证:.解:(1)设,则令则单调递增极大值单调递减由上表易知:当时,有取最大值。证明:(2)作得中点F,连接EF、FP由已知得:为等腰直角三角形,所以.21.(本小题满分12分)如图1,在矩形中,,分别是,的中点,沿将矩形折起,使,如图2所示:(1)若,分别是,的中点,求证://平面;(2)若,,求三棱锥的体积.【答案】【解析】(Ⅰ)法一:取中点,连结、,分别是,的中点-10-\n,且,,且四边形为平行四边形,又平面,平面//平面法二:取中点,连结,,分别是,的中点,且,,且,四边形为平行四边形又平面,平面//平面法三:取中点,连结,,分别是,的中点,,又平面,平面平面,平面//平面,//平面,平面//平面而平面//平面(Ⅱ),平面又,,且为等边三角形而中,,故三棱锥的体积为.22.(本小题满分12分)已知函数(为常数).(Ⅰ)已知,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)当时,求的值域;(Ⅲ)设,若存在,,使得成立,求实数的取值范围.-10-\n【答案】,,【解析】(Ⅰ),切线方程为:,即为所求的切线方程.(Ⅱ)由,得.,,得.在上单调递增,在上单调递减.,,,的值域为(Ⅲ),在是增函数,,,的值域为.依题意,,即,.-10-
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