江西梳城中学2022届高三数学上学期第四次月考试题理
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丰城中学2022-2022学年上学期高三月考试卷数学理 科(课改实验班)一、选择题(每小题5分,共60分)1.函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的可能区间是( )A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)2.已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为( )X4a9P0.50.1bA.5 B.6 C.7 D.83.某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33~48这16个数中取的数是39,则在第1小组1~16中随机抽到的数是( )A.5B.7C.11 D.134.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于( )A.C102B.C2C.C22 D.C1025.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为( )A.10B.3 C.D.6.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为安全起见,首尾一定安排两位爸爸,另外,两个小孩一定排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为( )A.48B.36C.24 D.127.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是( )A.2B.3C.4D.68.已知非零向量a,b,满足a⊥b,则函数f(x)=(ax+b)2(x∈R)是( )A.既是奇函数又是偶函数 B.非奇非偶函数C.偶函数 D.奇函数9.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a,b,c的值为( )-13-\nA.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不存在这样的a,b,c10.F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为( )A.2B.C. D.11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为m的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=m,PA=PC=m,若在这个四棱锥内放一个球,则此球的最大半径是( )A.(2-)mB.(2+)mC.(2-)mD.(2+)m12.已知△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若3+4+5=0,则△AOC的面积为( )A. B. C. D.二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知函数f(x-2)=则f(1)=________.14.已知3的展开式中的常数项为a,则直线y=ax与曲线y=x3所围成的图形的面积为________.15.在区间[-1,1]上任取两数m和n,则关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不相等实根的概率为________.16.已知双曲线x2-=1上存在两点M,N关于直线y=x+m对称,且MN中点在抛物线y2=18x上,则实数m的值为________.三、解答题(共70分)17.(本小题满分12分)请认真阅读下列程序框图,然后回答问题,其中n0∈N.(1)若输入n0=0,写出所输出的结果;-13-\n(2)若输出的结果中,只有三个自然数,求输入的自然数n0的所有可能的值.18.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,E为棱CC1上的动点.(1)求异面直线BD与A1E所成的角;(2)确定E点的位置,使平面A1BD⊥平面BDE.19.(本小题满分12分)甲袋中装有大小相同的红球1个,白球2个;乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个,白球3个.先从甲袋中取出1个球投入乙袋中,然后从乙袋中取出2个小球.(1)求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率;(2)记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.F2也是抛物线C2:的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=.(Ⅰ)求C1的方程;-13-\n(Ⅱ)平面上的点N满足,直线l∥MN,且与C1交于A,B两点,若,求直线l的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x4+ax3+bx2+c,其图象在y轴上的截距为-5,在区间[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,又当x=0,x=2时取得极小值.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)能否找到垂直于x轴的直线,使函数f(x)的图象关于此直线对称,并证明你的结论;(Ⅲ)设关于x的方程f(x)=λ2x2-5()的两个非零实根为x1、x2.问是否存在实数m,使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|对任意t∈[-3,3]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分10分)已知函数f(x)=|2x+1|-|x-3|.①解不等式f(x)≤4;②若存在x使得f(x)+a≤0成立,求实数a的取值范围.四、附加题(共10分)23.(每小题5分)(1)已知三棱锥的底面是边长为的正三角形,.若为的中心,则的长为.(2)若函数,则的最小值是.-13-\n丰城中学2022-2022学年上学期高三月考试卷数学理 科(课改实验班) 参考答案一、选择题(每小题5分,共60分)1.函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的可能区间是( )A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)解析:容易知道,原函数单调递增,f(1)=ln2-2<0,f(2)=ln3-1>0,故零点在区间(1,2)上,故选B.2.已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为( )X4a9P0.50.1bA.5 B.6 C.7 D.8解析:由题意得0.5+0.1+b=1,且E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3,因此b=0.4,a=7.故选C.3.某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33~48这16个数中取的数是39,则在第1小组1~16中随机抽到的数是( )A.5B.7C.11 D.13解析:间隔数k==16,即每16人抽取一个人.由于39=2×16+7,所以第1小组中抽取的数值为7.故选B.4.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于( )A.C102B.C2C.C22 D.C102解析:“X=12”表示第12次取到红球,前11次有9次取到红球,2次取到白球,因此P(X=12)=C92=C102.故选D.5.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为( )A.10B.3 C.D.解析:=(1,2,-4),又平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),-13-\n所以P到α的距离为|||cos〈,n〉|===.故选D.6.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为安全起见,首尾一定安排两位爸爸,另外,两个小孩一定排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为( )A.48B.36C.24 D.12解析:由题意得,爸爸排法为A种,两个小孩排在一起有A种排法,妈妈和孩子共有A种排法,∴排法种数共为A×A×A=24(种).答案:C7.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是( )A.2B.3C.4D.6解析:由x2+y2+2x-4y+3=0,得(x+1)2+(y-2)2=2,依题意得圆心C(-1,2)在直线2ax+by+6=0上,所以有2a×(-1)+b×2+6=0,即a=b+3.①又由点(a,b)向圆所作的切线长为l=,②将①代入②,得l==,∵b∈R,∴当b=-1时,lmin=4.故选C.8.已知非零向量a,b,满足a⊥b,则函数f(x)=(ax+b)2(x∈R)是( )A.既是奇函数又是偶函数 B.非奇非偶函数C.偶函数 D.奇函数解析:∵a⊥b,∴a·b=0,f(x)=(ax+b)2=a2x2+2a·bx+b2=a2x2+b2.又∵f(-x)=a2(-x)2+b2=a2x2+b2,∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.故选C.9.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a,b,c的值为( )A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不存在这样的a,b,c解析:由题意知,等式对一切n∈N*都成立,可取n=1,2,3,代入后构成关于a,b,c的方程组,求解即得.令n=1,2,3分别代入已知得即解得,a=,b=,c=.故选A.10.F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为( )-13-\nA.2B.C. D.解析:如图所示,由双曲线的定义,得|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a,因为△ABF2是正三角形,所以|BF2|=|AF2|=|AB|,因此|AF1|=2a,|AF2|=4a,且∠F1AF2=120°,在△F1AF2中,4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2,所以e=.故选B.11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为m的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=m,PA=PC=m,若在这个四棱锥内放一个球,则此球的最大半径是( )A.(2-)mB.(2+)mC.(2-)mD.(2+)m解析:由题知,此球内切于四棱锥时,半径最大,设该四棱锥的内切球的球心为O,半径为r,连接OA,OB,OC,OD,OP,易知VP-ABCD=VO-ABCD+VO-PAD+VO-PAB+VO-PBC+VO-PCD,即×m2×m=×m2×r+××m2×r+××m2×r+××m2×r+××m2×r,解得r=(2-)m,所以此球的最大半径是(2-)m.故选C.12.已知△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若3+4+5=0,则△AOC的面积为( )A. B. C. D.解析:依题意,得(3+5)2=(-4)2,92+252+30·=2,即34+30cos∠AOC=16,cos∠AOC=-,sin∠AOC==,△AOC的面积为||||sin∠AOC=,故选A.-13-\n二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知函数f(x-2)=则f(1)=________.解析:令x-2=1,则x=3,∴f(3)=1+32=10.答案:1014.已知3的展开式中的常数项为a,则直线y=ax与曲线y=x3所围成的图形的面积为________.解析:Tk+1=C3-k(x2)k=Cx3k-3,令3k-3=0,得k=1,即常数项a=3,直线y=3x与曲线y=x3交点的横坐标分别为-,0,,所以所围成图形的面积为2(3x-x3)dx=2=.答案:15.在区间[-1,1]上任取两数m和n,则关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不相等实根的概率为________.解析:由题意知-1≤m≤1,-1≤n≤1.要使方程x2+mx+n2=0有两个不相等实根,则Δ=m2-4n2>0,即(m-2n)(m+2n)>0.作出可行域,如图,当m=1时,nC=,nB=-,所以S△OBC=×1×=,所以方程x2+mx+n2=0有两个不相等实根的概率为==.答案:16.已知双曲线x2-=1上存在两点M,N关于直线y=x+m对称,且MN中点在抛物线y2=18x上,则实数m的值为________.解析:设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为P(x0,y0),则由①-②,得x-x=,即(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),也即2x0=··2y0=·(-1)·2y0,∴y0=-3x0,③-13-\n又P在直线y=x+m上,∴y0=x0+m,④由③④解得P.代入抛物线y2=18x,得m2=18·,∴m=0或-8.经检验m=0或-8均符合题意.答案:0或-8三、解答题(共70分)17.(本小题满分12分)请认真阅读下列程序框图,然后回答问题,其中n0∈N.(1)若输入n0=0,写出所输出的结果;(2)若输出的结果中,只有三个自然数,求输入的自然数n0的所有可能的值.解:(1)若输入n0=0,则输出的数为20,10,5,4,2.(2)要使结果只有三个数,只能是5,4,2.所以应使5≤<10.解得1<n0≤3,即n0=3,2.所以输入的n0可能值为2,3.18.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,E为棱CC1上的动点.(1)求异面直线BD与A1E所成的角;(2)确定E点的位置,使平面A1BD⊥平面BDE.证明:(1)连接AC,A1C1,∵正方体AC1中,AA1⊥平面ABCD,∴AA1⊥BD.∵正方体ABCD中,AC⊥BD且AC∩AA1=A,∴BD⊥平面ACC1A1且E∈CC1,∴A1E⊂平面ACC1A1,∴BD⊥A1E.(2)E为CC1中点.-13-\n设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连接A1O,EO,由(1)得BD⊥平面A1ACC1,∴BD⊥A1O,BD⊥EO.∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E为CC1中点,∴A1O2+OE2=AA+AO2+OC2+EC2=a2+2+2+2=a2,A1E2=A1C+C1E2=2a2+=a2,即A1O2+OE2=A1E2,∴A1O⊥OE.又OE∩BD=O,∴A1O⊥平面BDE.又A1O⊂平面A1BD,∴平面A1BD⊥平面BDE.19.(本小题满分12分)甲袋中装有大小相同的红球1个,白球2个;乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个,白球3个.先从甲袋中取出1个球投入乙袋中,然后从乙袋中取出2个小球.(1)求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率;(2)记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.解:(1)记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A,包含如下两个事件:从甲袋中取出1个红球投入乙袋,然后从乙袋取出的2个球中仅有1个红球;从甲袋中取出1个白球投入乙袋,然后从乙袋取出的2个球中仅有1个红球.分别记为事件A1,A2,且A1与A2互斥,则P(A1)=×=,P(A2)=×=,所以P(A)=+=.故从乙袋取出的2个小球中仅有1个红球的概率为.(2)ξ=0,1,2.P(ξ=0)=×+×=,P(ξ=1)=×+×=,P(ξ=2)=×+×=.所以随机变量ξ的分布列为ξ012P则E(ξ)=0×+1×+2×=.20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,椭圆C1:=1(a>b-13-\n>0)的左、右焦点分别为F1,F2.F2也是抛物线C2:的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=.(Ⅰ)求C1的方程;(Ⅱ)平面上的点N满足,直线l∥MN,且与C1交于A,B两点,若,求直线l的方程.解:(Ⅰ)由:知.设,在上,因为,所以,得,.在上,且椭圆的半焦距,于是消去并整理得,解得(不合题意,舍去).故椭圆的方程为.(Ⅱ)由知四边形是平行四边形,其中心为坐标原点,因为,所以与的斜率相同,故的斜率.设的方程为.由消去并化简得.设,,,.因为,所以.=.所以.此时,故所求直线的方程为,或.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x4+ax3+bx2+c,其图象在y轴上的截距为-5,在区间[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,又当x=0,x=2时取得极小值.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)能否找到垂直于x轴的直线,使函数f(x)的图象关于此直线对称,并证明你的结论;(Ⅲ)设关于x的方程f(x)=λ2x2-5()的两个非零实根为x1、x2.问是否存在实数m,使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|对任意t∈[-3,3]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.(Ⅰ)解:∵函数f(x)=x4+ax3+bx2+c,在y轴上的截距为-5,∴c=-5.∵函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,∴x=1时取得极大值,又当x=0,x=2时函数f(x)取得极小值.-13-\n∴x=0,x=1,x=2为函数f(x)的三个极值点,即f'(x)=0的三个根为0,1,2,∴f'(x)=4x3+3ax2+2bx=4x(x-1)(x-2))=4x3-12x2+8x.∴a=-4,b=4,∴函数f(x)的解析式:f(x)=x4-4x3+4x2-5.(Ⅱ)解:若函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴,设对称轴方程为x=t,则f(t+x)=f(t-x)对x∈R恒成立.即:(t+x)4-4(t+x)3+4(t+x)2-5=(t-x)4-4(t-x)3+4(t-x)2-5.化简得(t-1)x3+(t3-3t2+2t)x=0对x∈R恒成立.∴∴t=1.即函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴x=1.(Ⅲ)解:方程f(x)=λ2x2-5,即x4-4x3+4x2-5=λ2x2-5,即x4-4x3+4x2-λ2x2=0,亦即x2(x2-4x+4-λ2)=0,∵x=0是一个根,∴方程x2-4x+4-λ2=0的两根为|x1-x2|==2|l|0,要使m2+tm+2≤|x1-x2|对任意t∈[-3,3]恒成立,只要m2+tm+2≤0对任意t∈[-3,3]恒成立,令g(t)=tm+m2+2,则g(t)是关于t的线性函数.只要解得∴不存在实数m,使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|对任意t∈[-3,3]恒成立.22.(本小题满分10分)已知函数f(x)=|2x+1|-|x-3|.①解不等式f(x)≤4;②若存在x使得f(x)+a≤0成立,求实数a的取值范围.解析 ①y=|2x+1|-|x-3|=作出函数y=|2x+1|-|x-3|的图象,它与直线y=4的交点为(-8,4)和(2,4).∴|2x+1|-|x-3|≤4的解集为[-8,2].②由y=|2x+1|-|x-3|的图象可知,当x=-时,f(x)min=-.∴存在x使得f(x)+a≤0成立的条件是-a≥f(x)min,∴a≤.四、附加题(共10分)23.(每小题5分)(1)已知三棱锥的底面是边长为的正三角形,.若为的中心,则的长为.-13-\n(2)若函数,则的最小值是8.-13-
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