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江西省吉安市西路片七校2022届高三数学上学期第一次联考试题理
江西省吉安市西路片七校2022届高三数学上学期第一次联考试题理
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江西省西路片七校2022届高三第一次联考数学试题(理科)第Ⅰ卷(选择题部分,共60分)一.选择题:(共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集,集合,集合,那么()A.B.C.D.2.若复数,其中为虚数单位,则复数的虚部是()A.B.C.D.3.若等差数列的公差为,且是与的等比中项,则该数列的前项和取最小值时,的值等于()A.7B.6C.5D.44.已知上的奇函数满足:当时,,则()A.B.C.D.5.下列命题正确的个数为()①“都有”的否定是“使得”;②“”是“”成立的充分条件;③命题“若,则方程有实数根”的否命题为真命题A.B.C.D.6.函数的图象大致是()-13-\n7.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积等于()A.B.C.D.8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示,即最终输出的,则一开始输入的的值为()-13-\nA.B.C.D.9.对锐角α若,则()A.B.C.D.10.如图所示,在梯形ABCD中,∠B=,,BC=2,点E为AB的中点,若向量在向量上的投影为,则()A.B.-2C.0D.11.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则()A.2B.1C.D.312.已知函数若关于的方程恰有四个不相等的实数根,则实数的取值范围是()A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题部分,共90分)二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者,则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是_____________.(结果用最简分数表示).-13-\n14.,则展开式中,项的系数为.15.已知满足的最大值为,若正数满足,则的最小值为.16.正三角形ABC的边长为2,将它沿高AD翻折,使点B与点C间的距离为,此时四面体ABCD的外接球的表面积为.三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)等差数列的前项和为,数列是等比数列,满足,(Ⅰ)求数列和的通项公式;(Ⅱ)令,设数列的前项和为,求.18.(本小题满分分)已知向量,,设函数,若函数的图象关于直线对称且.(Ⅰ)求函数的单调递减区间;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,,求的最大值.19.(本小题满分12分)高考改革新方案,不分文理科,高考成绩实行“3+3”的构成模式,第一个“3”是语文、数学、外语,每门满分150分,第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试,每门满分100分,高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况,“将A市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体B,从学生群体B中随机抽取了50名学生进行调查,他们选考物理,化学,生物的科目数及人数统计表如下:-13-\n选考物理、化学、生物的科目数123人数52520(Ⅰ)从所调查的50名学生中任选2名,求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率;(Ⅱ)从所调查的50名学生中任选2名,记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望;(Ⅲ)将频率视为概率,现从学生群体B中随机抽取4名学生,记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y,求事件“”的概率.20.(本小题满分12分)如图,四棱锥中,平面平面,底面为等腰梯形,,,,为正三角形.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)设的中点为,求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值.21.(本小题满分12分)已知椭圆:的离心率为,、分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上除长轴端点外的任意一点,且的周长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点作直线与椭圆交于、两点,点满足(为原点),求四边形面积的最大值,并求此时直线的方程.22.(本小题满分12分)已知函数.-13-\n(Ⅰ)当a>0时,求函数的单调递增区间;(Ⅱ)当a<0时,求函数在上的最小值;(Ⅲ)记函数的图象为曲线C,设点A(,),B(,)是曲线C上的不同两点,点M为线段AB的中点,过点M作x轴的垂直交曲线C于点N,判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB,并说明理由.-13-\n西路片七校联考测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案BABBBDCDCBAB二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.;14.;15.;16.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17.解析:(1)设数列的公差为,数列的公比为,则由得解得所以,.…………………5分(2)由(1)可知………………①………………②①-②得:…………………10分18.解:(1) …………………2分函数的图象关于直线对称,则-13-\n则,且,则…………………4分∴,令,解得∴函数的单调递减区间为 …………………6分(2),且A是△ABC内角,∴,则,所以,则, ∵,由余弦定理 则,而,所以,当且仅当时,所以的最大值为.…………………12分19.解:(1)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A则 所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为 ……………3分(2)由题意可知X的可能取值分别为0,1,2 , …………………6分 从而X的分布列为X012-13-\nP …………………8分(3)所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名 相应的概率为,所以~ …………………10分 所以事件“”的概率为 …………12分20.解:(1)在等腰梯形中,过点作于点,如图所示:有∴在中,有,即又因为平面平面且交线为,∴平面.---5分(2)由平面平面,且为正三角形,为的中点,∴,得平面.如图所示,以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,过点平行于所在直线为轴,建立空间直角坐标系.由条件,则,,.-13-\n则,,,.-------6分在等腰梯形中,过点作的平行线交延长线于点如图所示:则在中,有,,∴.-------7分(另解:可不做辅助线,利用求点坐标)∴,,设平面的法向量则,取,则,,∴面的法向量.-------9分同理有,,设平面的法向量则,取,则,,∴面的法向量.--10分设平面与平面所成二面角的平面角为,∴.即平面与平面所成二面角的余弦值为.-------12分(2)∵,∴四边形为平行四边形,显然直线的斜率存在,设的方程为,-13-\n把代入得,由得,∴,,∵………………………7分∴=,令,∴,∴…………………10分当且仅当,即时取等号,∴,此时的方程为。12分22.解:(1)∵f(x)=ax2+(1﹣2a)x﹣lnx,∴f′(x)=2ax+(1﹣2a)﹣=,∵a>0,x>0,∴2ax+1>0,解f′(x)>0,得x>1,∴f(x)的单调增区间为(1,+∞);…………………3分(2)当a<0时,由f′(x)=0,得x1=﹣,x2=1,①当﹣>1,即﹣<a<0时,f(x)在(0,1)上是减函数,∴f(x)在[,1]上的最小值为f(1)=1﹣a.②当≤﹣≤1,即﹣1≤a≤﹣时,f(x)在[,﹣]上是减函数,在[﹣,1]上是增函数,-13-\n∴f(x)的最小值为f(﹣)=1﹣+ln(﹣2a).③当﹣<,即a<﹣1时,f(x)在[,1]上是增函数,∴f(x)的最小值为f()=﹣a+ln2.综上,函数f(x)在区间[,1]上的最小值为:f(x)min=;…………………8分(3)设M(x0,y0),则点N的横坐标为x0=,直线AB的斜率k1==[a(x12﹣x22)+(1﹣2a)(x1﹣x2)+lnx2﹣lnx1]=a(x1+x2)+(1﹣2a)+,曲线C在点N处的切线斜率k2=f′(x0)=2ax0+(1﹣2a)﹣=a(x1+x2)+(1﹣2a)﹣,假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB,则k1=k2,即=﹣,∴ln==,不妨设x1<x2,=t>1,则lnt=,令g(t)=lnt﹣(t>1),则g′(t)=﹣=>0,∴g(t)在(1,+∞)上是增函数,又g(1)=0,-13-\n∴g(t)>0,即lnt=不成立,∴曲线C在点N处的切线不平行于直线AB.…………………12分-13-
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高中 - 数学
发布时间:2022-08-25 20:52:35
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